事件的相互獨立性

2．2．2事件的互相獨立性（教學設(shè)計）教學目的：知識與技能：理解兩個事件互相獨立的概念。過程與辦法：能進行某些與事件獨立有關(guān)的概率的計算。情感、態(tài)度與價值觀：通過對實例的分析，會進行簡樸的應(yīng)用。教學重點：獨立事件同時發(fā)生的概率教學難點：有關(guān)獨立事件發(fā)生的概率計算教學過程：一、復習引入：1．等可能性事件：如果一次實驗中可能出現(xiàn)的成果有個，并且全部成果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每個基本領(lǐng)件的概率都是，這種事件叫等可能性事件2．等可能性事件的概率：如果一次實驗中可能出現(xiàn)的成果有個，并且全部成果都是等可能的，如果事件包含個成果，那么事件的概率3互斥事件:不可能同時發(fā)生的兩個事件．普通地：如果事件中的任何兩個都是互斥的，那么就說事件彼此互斥4．對立事件:必然有一種發(fā)生的互斥事件．5．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么＝6．條件概率：在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率：乘法公式：.二、師生互動，新課解說：思考:三張獎券中只有一張能中獎,現(xiàn)分別由三名同窗有放回地抽取,事件A為“第一名同窗沒有抽到中獎獎券”,事件B為“最后一名同窗抽到中獎獎券”.事件A的發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率嗎顯然，有放回地抽取獎券時，最后一名同窗也是從原來的三張獎券中任抽一張，因此第一名同窗抽的成果對最后一名同窗的抽獎成果沒有影響，即事件A的發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率．于是P（B|A）=P(B）,P（AB）=P(A)P(B|A）=P（A）P(B).1．互相獨立事件的定義：設(shè)A,B為兩個事件，如果P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B互相獨立（mutuallyindependent).事件（或）與否發(fā)生對事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做互相獨立事件若與是互相獨立事件，則與，與，與也互相獨立2．互相獨立事件同時發(fā)生的概率：問題：甲壇子里有3個白球，2個黑球，乙壇子里有2個白球，2個黑球，從這兩個壇子里分別摸出1個球，它們都是白球的概率是多少事件：從甲壇子里摸出1個球，得到白球；事件：從乙壇子里摸出1個球，得到白球“從這兩個壇子里分別摸出1個球，它們都是白球”是一種事件，它的發(fā)生，就是事件，同時發(fā)生，記作．（簡稱積事件）從甲壇子里摸出1個球，有5種等可能的成果；從乙壇子里摸出1個球，有4種等可能的成果于是從這兩個壇子里分別摸出1個球，共有種等可能的成果同時摸出白球的成果有種因此從這兩個壇子里分別摸出1個球，它們都是白球的概率．另首先，從甲壇子里摸出1個球，得到白球的概率，從乙壇子里摸出1個球，得到白球的概率．顯然．這就是說，兩個互相獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積普通地，如果事件互相獨立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即．3．對于事件A與B及它們的和事件與積事件有下面的關(guān)系：例題選講：例1（課本P54例3）某商場推出二次開獎活動，凡購置一定價值的商品能夠獲得一張獎券．獎券上有一種兌獎號碼，能夠分別參加兩次抽獎方式相似的兌獎活動．如果兩次兌獎活動的中獎概率都是0.05，求兩次抽獎中下列事件的概率：(1)都抽到某一指定號碼；(2)恰有一次抽到某一指定號碼；(3)最少有一次抽到某一指定號碼．解：(1)記“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事件A,“第二次抽獎抽到某一指定號碼”為事件B，則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事件AB．由于兩次抽獎成果互不影響，因此A與B互相獨立．于是由獨立性可得，兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.05×=.(2)“兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”能夠用（A）U（B）表達．由于事件A與B互斥，根據(jù)概率加法公式和互相獨立事件的定義，所求的概率為P(A）十P（B）=P（A）P（）+P（）P（B)=0.05×)+)×=0.095.(3)“兩次抽獎最少有一次抽到某一指定號碼”能夠用（AB)U(A）U（B）表達．由于事件AB,A和B兩兩互斥，根據(jù)概率加法公式和互相獨立事件的定義，所求的概率為P(AB)+P（A）+P（B)=+0.095=0.0975.變式訓練1：甲、乙二射擊運動員分別對一目的射擊次，甲射中的概率為，乙射中的概率為，求：（1）人都射中目的的概率；（2）人中恰有人射中目的的概率；（3）人最少有人射中目的的概率；（4）人至多有人射中目的的概率解：記“甲射擊次，擊中目的”為事件，“乙射擊次，擊中目的”為事件，則與，與，與，與為互相獨立事件，（1）人都射中的概率為：，∴人都射中目的的概率是．（2）“人各射擊次，恰有人射中目的”涉及兩種狀況：一種是甲擊中、乙未擊中（事件發(fā)生），另一種是甲未擊中、乙擊中（事件發(fā)生）根據(jù)題意，事件與互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和互相獨立事件的概率乘法公式，所求的概率為：∴人中恰有人射中目的的概率是．（3）（法1）：2人最少有1人射中涉及“2人都中”和“2人有1人不中”2種狀況，其概率為．（法2）：“2人最少有一種擊中”與“2人都未擊中”為對立事件，2個都未擊中目的的概率是，∴“兩人最少有1人擊中目的”的概率為．（4）（法1）：“至多有1人擊中目的”涉及“有1人擊中”和“2人都未擊中”，故所求概率為：．（法2）：“至多有1人擊中目的”的對立事件是“2人都擊中目的”，故所求概率為例2：在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關(guān)，只要其中有1個開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率解：分別記這段時間內(nèi)開關(guān)，，能夠閉合為事件，，．由題意，這段時間內(nèi)3個開關(guān)與否能夠閉合互相之間沒有影響根據(jù)互相獨立事件的概率乘法公式，這段時間內(nèi)3個開關(guān)都不能閉合的概率是∴這段時間內(nèi)最少有1個開關(guān)能夠閉合，，從而使線路能正常工作的概率是．答：在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率是．變式訓練2（1）：如圖添加第四個開關(guān)與其它三個開關(guān)串聯(lián)，在某段時間內(nèi)此開關(guān)能夠閉合的概率也是，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率（）變式訓練2（2）：如圖兩個開關(guān)串聯(lián)再與第三個開關(guān)并聯(lián)，在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率辦法一：辦法二：分析要使這段時間內(nèi)線路正常工作只要排除開且與最少有1個開的狀況例3.已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機的概率為．（1）假定有5門這種高炮控制某個區(qū)域，求敵機進入這個區(qū)域后未被擊中的概率；（2）要使敵機一旦進入這個區(qū)域后有以上的概率被擊中，需最少布置幾門高炮（列式不計算）分析:由于敵機被擊中的就是最少有1門高炮擊中敵機，故敵機被擊中的概率即為最少有1門高炮擊中敵機的概率解:（1）設(shè)敵機被第k門高炮擊中的事件為(k=1,2,3,4,5)，那么5門高炮都未擊中敵機的事件為．∵事件，，，，互相獨立，∴敵機未被擊中的概率為=∴敵機未被擊中的概率為．（2）最少需要布置門高炮才干有以上的概率被擊中，仿（1）可得：敵機被擊中的概率為1-∴令，∴兩邊取慣用對數(shù)，得∵，∴∴最少需要布置11門高炮才干有以上的概率擊中敵機點評：上面例1和例2的解法，都是解應(yīng)用題的逆向思考辦法采用這種辦法在解決帶有詞語“至多”、“最少”的問題時的運用，經(jīng)常能使問題的解答變得簡便課堂練習：（課本P55練習NO：1；2；3）三、課堂小結(jié)，鞏固反思：兩個事件互相獨立，是指它們其中一種事件的發(fā)生與否對另一種事件發(fā)生的概率沒有影響普通地，兩個事件不可能即互斥又互相獨立，由于互斥事件是不可能同時發(fā)生的，而互相獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提的互相獨立事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積,這一點與互斥事件的概率和也是不同的四、學時必記：1、普通地，如果事件互相獨立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即．2、對于事件A與B及它們的和事件與積事件有下面的關(guān)系：3、若與是互相獨立事件，則與，與，與也互相獨立五、分層作業(yè)：A組：1.若事件A,B互相獨立,且P(A)=P(B)=,則P(AB)=()A.0B.C.D.【解析】選C.由于事件A,B互相獨立,故P(AB)=P(A)·P(B)=×=.2.甲、乙兩人投球命中率分別為,,甲、乙兩人各投一次,正好命中一次的概率為()A. B. C. D.【解析】選=×+×=.3.國慶節(jié)放假,甲去北京旅游的概率為,乙、丙去北京旅游的概率分別為,.假定三人的行動互相之間沒有影響,那么這段時間內(nèi)最少有1人去北京旅游的概率為()A. B. C. D.【解析】選B.由于甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為,,,因此,他們不去北京旅游的概率分別為,,.因此,最少有1人去北京旅游的概率為P=1-××=.4.臺風在危害人類的同時,也在保護人類.臺風給人類送來了淡水資源,大大緩和了全球水荒,另外還使世界各地冷熱保持相對均衡.甲、乙、丙三顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風,在同一時刻,甲、乙、丙三顆衛(wèi)星精確預(yù)報臺風的概率分別為,,,各衛(wèi)星間互相獨立,則在同一時刻最少有兩顆預(yù)報精確的概率是.【解析】設(shè)甲、乙、丙預(yù)報精確依次記為事件A,B,C,不精確記為,,,則P(A)=,P(B)=,P(C)=,P()=,P()=,P()=,最少兩顆預(yù)報精確的事件有AB,AC,BC,ABC,這四個事件兩兩互斥且獨立.因此最少兩顆預(yù)報精確的概率為P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=××+××+××+××=+++=.答案:B組：年10月莫言獲得諾貝爾文學獎后,其家鄉(xiāng)山東高密政府準備投資億元打造旅游帶,涉及莫言故居周邊的莫言文化體驗區(qū),紅高粱文化休閑區(qū),愛國主義教育基地等.為此,某文化旅游公司向社會公開征集旅游帶建設(shè)方案,在收到的方案中甲、乙、丙三個方案引發(fā)了專家評委的注意,現(xiàn)已知甲、乙、丙三個方案能被選中的概率分別為,,,且假設(shè)各自能否被選中是無關(guān)的.求甲、乙、丙三個方案只有兩個被選中的概率.【解析】記甲、乙、丙三個方案被選中的事件分別為A,B,C,則P(A)=,P(B)=,P(C)=.“只有兩個方案被選中”可分為三種情形:①甲未被選中,乙、丙被選中,概率為P(·B·C)=P()·P(B)·P(C)=××=.②乙未被選中,甲、丙被選中,概率為P(A··C)=P(A)·P()·P(C)=××=.③丙未被選中,甲、乙被選中,概率為P(A·B·)=P(A)·P(B)·P()=××=.以上三種狀況是互斥的,因此只有兩個方案被選中的概率為:P=++=.2、（課本P59習題B組NO：2）六、教學反思：1.理解兩個事件互相獨立的概念。2.能進行某些與事件獨立有關(guān)的概率的計算。3.通過對實例的分析，會進行簡樸的應(yīng)用。備用題：1．在一段時間內(nèi)，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定兩人的行動互相之間沒有影響，那么在這段時間內(nèi)最少有1人去此地的概率是(C)2．從甲口袋內(nèi)摸出1個白球的概率是，從乙口袋內(nèi)摸出1個白球的概率是，從兩個口袋內(nèi)各摸出1個球，那么等于（C）2個球都是白球的概率2個球都不是白球的概率2個球不都是白球的概率2個球中正好有1個是白球的概率3．電燈泡使用時間在1000小時以上概率為，則3個燈泡在使用1000小時后壞了1個的概率是（B）4．某道路的、、三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條路上行駛時，三處都不停車的概率是（A）5．（1）將一種硬幣連擲5次，5次都出現(xiàn)正面的概率是；（2）甲、乙兩個氣象臺同時作天氣預(yù)報，如果它們預(yù)報精確的概率分別是與，那么在一次預(yù)報中兩個氣象臺都預(yù)報精確的概率是．6．棉籽的發(fā)芽率為，發(fā)育為壯苗的概率為，（1）每穴播兩粒，此穴缺苗的概率為；此穴無壯苗的概率為．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率為