《高等數(shù)學(xué) 上冊(cè)》 課件 王娜 第6章 微分方程

第六章利用元素法解決:定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用定積分的應(yīng)用一、什么問(wèn)題可以用定積分解決?二、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題?第六章§6.1

定積分的元素法回顧曲邊梯形求面積的問(wèn)題一、問(wèn)題的提出abxyo定積分的換元法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值一、問(wèn)題的提出定積分的換元法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束abxyo（4）求極限，得A的精確值提示面積元素一、問(wèn)題的提出定積分的換元法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、問(wèn)題的提出定積分的換元法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束元素法的一般步驟定積分的換元法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達(dá)式第二步利用“積零為整,無(wú)限累加”求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法稱(chēng)為元素法

(或微元分析法

)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值二、旋轉(zhuǎn)體的體積一、平面圖形的面積三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)§6.2

定積分在幾何上的應(yīng)用第四章目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積1、直角坐標(biāo)系情形一、平面圖形的面積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題解兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)面積元素選為積分變量一、平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)系情形定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題解兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)選為積分變量一、平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)系情形定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題于是所求面積說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．問(wèn)題：積分變量只能選嗎？一、平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)系情形定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題解兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)選為積分變量一、平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)系情形定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積一、平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)系情形定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題解橢圓的參數(shù)方程由對(duì)稱(chēng)性知總面積等于4倍第一象限部分面積．一、平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)系情形定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題面積元素曲邊扇形的面積2、極坐標(biāo)系情形一、平面圖形的面積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題解由對(duì)稱(chēng)性知總面積=4倍第一象限部分面積2、極坐標(biāo)系情形一、平面圖形的面積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題解利用對(duì)稱(chēng)性知2、極坐標(biāo)系情形一、平面圖形的面積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線(xiàn)叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題解直線(xiàn)方程為二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題解二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題補(bǔ)充利用這個(gè)公式，可知上例中二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題解二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題解體積元素為二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)1、直角坐標(biāo)情形定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)解所求弧長(zhǎng)為1、直角坐標(biāo)情形定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)曲線(xiàn)弧為弧長(zhǎng)2、參數(shù)方程情形定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)解星形線(xiàn)的參數(shù)方程為根據(jù)對(duì)稱(chēng)性第一象限部分的弧長(zhǎng)2、參數(shù)方程情形定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)曲線(xiàn)弧為弧長(zhǎng)3、極坐標(biāo)情形定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)解3、極坐標(biāo)情形三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程上下限按順時(shí)針?lè)较虼_定2.旋轉(zhuǎn)體的體積繞

x

軸

:繞

y

軸

:(柱殼法)小結(jié)與作業(yè)定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題3.平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)曲線(xiàn)方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程注意:求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小小結(jié)與作業(yè)作業(yè)：1;2(2);5(2);7;12;15(1);22定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題練習(xí)題定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題練習(xí)題定積分在幾何上的應(yīng)用目錄上頁(yè)