2023-2024學年八年級數(shù)學上冊 專題1.3 三角形的外角（八大題型）（解析版）

專題1.3三角形的外角（八大題型）重難點題型歸納【題型1直接運用三角形的外角性質(zhì)求角度】【題型2利用三角形的外角性質(zhì)比較角的大小】【題型3三角形的外角與平行線的綜合運算】【題型4三角形外角與垂直的綜合運用】【題型5三角形外角與三角板的綜合運用】【題型6三角形外角與折疊綜合運用】【題型7三角形外角與內(nèi)外角平分線的綜合運用】【題型8三角形外角與內(nèi)外角平分線的規(guī)律綜合應用】【題型1直接運用三角形的外角性質(zhì)求角度】1.（2023?灞橋區(qū)校級四模）如圖，∠1＝45°，∠3＝100°，則∠2的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】C【解答】解：根據(jù)三角形外角性質(zhì)可知：∠2＝∠3﹣∠1＝100°﹣45°＝55°．故選：C．2．（2023?海港區(qū)一模）如圖，平面上直線a，b分別過線段OK兩端點（數(shù)據(jù)如圖），則a，b相交所成的銳角是（）A．20° B．30° C．70° D．80°【答案】B【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)得，a，b相交所成的銳角的度數(shù)是100°﹣70°＝30°．故選：B．3．（2023?湘潭模擬）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B＝40°，∠ACE＝65°，則∠A的度數(shù)為（）A．95° B．90° C．85° D．80°【答案】B【解答】解：∵∠ACE＝65°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，∠ACD＝2∠ACE＝130°，∵∠ACD＝∠A+∠B，∠B＝40°，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝90°，故選：B．【題型2利用三角形的外角性質(zhì)比較角的大小】4．（2023?任丘市三模）如圖，在△ABC中，E為邊AC上一點，延長AB到點F，延長BC到點D，連接DE．∠1，∠2，∠3的大小關(guān)系為（）A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3【答案】D【解答】解：∵∠2是△CDE的外角，∴∠2＝∠3+∠CED，∴∠2＞∠3，∵∠1是△ABC的外角，∴∠1＝∠2+∠A，∴∠1＞∠2，∴∠1＞∠2＞∠3．故選：D．5．（2022秋?榆林期末）如圖，點D為△ABC的邊BC延長線上一點，關(guān)于∠B與∠ACD的大小關(guān)系，下列說法正確的是（）A．∠B＞∠ACD B．∠B＝∠ACD C．∠B＜∠ACD D．無法確定【答案】C【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠B+∠A，∴∠B＜∠ACD．故選：C．6．（2022秋?通川區(qū)期末）如圖，∠A、∠1、∠2的大小關(guān)系是（）A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1【答案】B【解答】解：∵∠1是三角形的一個外角，∴∠1＞∠A，又∵∠2是三角形的一個外角，∴∠2＞∠1，∴∠2＞∠1＞∠A．故選：B．7．（2022春?息烽縣期中）如圖，△ABC中，點D在BC的延長線上，點F是AB邊上一點，延長CA到E，連EF，則∠1，∠2，∠3的大小關(guān)系是∠1＞∠2＞∠3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠1是△ABC的外角，∴∠1＞∠2，∵∠2是△AEF的外角，∴∠2＞∠3，∴∠1＞∠2＞∠3．故答案為：∠1＞∠2＞∠3．8．（2022春?淮陽區(qū)校級期末）如圖，已知CD是△ABC中∠ACB的外角平分線．（1）若∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，求∠B的大??；（2）請說明∠BAC＞∠B．【答案】（1）50°；（2）見解析．【解答】解：（1）∵∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠ACE﹣∠BAC＝150°﹣100°＝50°；（2）∵CD是△ABC中∠ACB的外角平分線，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠BAC是△ACD的外角，∴∠BAC＞∠ACD，∴∠BAC＞∠ECD，∵∠ECD是△BCD的外角，∴∠ECD＞∠B，∴∠BAC＞∠B．【題型3三角形的外角與平行線的綜合運算】9．（2023?德惠市二模）如圖，直線AB∥CD，連接BC，點E是BC上一點，∠A＝15°，∠C＝27°，則∠AEC的大小為（）A．27° B．42° C．45° D．70°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝27°，∴∠ABE＝∠C＝27°，∵∠A＝15°，∴∠AEC＝∠A+∠ABE＝42°，故選：B．10．（2023?南海區(qū)模擬）如圖，AB∥CD，將一塊三角板（∠E＝30°）按如圖所示方式擺放，若∠EHB＝55°，則∠FGC的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．85°【答案】B【解答】解：三角形外角的性質(zhì)可知∠EFG＝90°，∵∠EHB＝55°，∠E＝30°，∴∠EFB＝∠EHB﹣∠E＝55°﹣30°＝25°，∠HFG＝∠EFG﹣∠EFB＝90°﹣25°＝65°，∵AB∥CD，∴∠FGC＝∠EFG＝65°．故選：B．11．（2022秋?明水縣校級期末）如圖，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，則∠B＝（）A．30° B．40° C．50° D．80°【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝80°，∴∠EAC＝100°，∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC＝50°，∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝50°．故選：C．12．（2022秋?青島期末）如圖，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．60° D．80°【答案】B【解答】解：反向延長DE交BC于M，如圖：∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝80°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．故選：B．【題型4三角形外角與垂直的綜合運用】13．（2023?輝縣市二模）如圖，∠A+∠1＝40°，CD⊥AE，則∠2的度數(shù)為130°．【答案】130°．【解答】解：延長BC交AE于點F，如圖，∵∠DFC是△ABF的外角，∠A+∠1＝40°，∴∠DFC＝∠A+∠1＝40°，∵CD⊥A，∴∠FDC＝90°，∵∠2是△DCF的外角，∴∠2＝∠FDC+∠DFC＝130°．故答案為：130°．14．（2023?陽谷縣三模）已知：如圖，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交點，則∠BHC＝125度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：在△ABD中，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，∴∠BHC＝90°+35°＝125°．15．（2023春?西安月考）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于點D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分線．（1）求證：AM∥BC．（2）若DN平分∠ADC交AM于點N，判斷△ADN的形狀并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）△ADN是等腰直角三角形，理由見解析．【解答】（1）證明：∵∠B＝∠C，AD⊥BC，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD＝．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM＝∠MAC＝．∴∠MAD＝∠MAC+∠DAC＝＝．∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∴∠MAD+∠ADC＝180°∴AM∥BC．（2）解：△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥BC，∴∠AND＝∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN＝∠NDC＝∠AND．∴AD＝AN，∴△ADN是等腰直角三角形．16．（2022秋?廬陽區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分線，BF平分∠ABC交AE于點F，若∠ABC＝48°，求∠AFB的度數(shù)．【答案】∠AFB＝40°．【解答】解：∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝42°，又∵∠DAC＝10°，∴∠BAC＝52°，∴∠MAC＝128°，∵AE是∠BAC外角的平分線，∴∠MAE＝∠MAC＝64°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝24°，∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．【題型5三角形外角與三角板的綜合運用】17．（2023春?鐵西區(qū)期中）將一副三角尺按如圖所示的方式疊放，則∠1的度數(shù)為（）?A．45° B．60° C．15° D．75°【答案】D【解答】解：∵∠2＝30°，∠3＝45°，∴∠1＝∠2+∠3＝30°+45°＝75°．故選：D．18．（2023?前郭縣二模）將一副直角三角板按如圖方式疊放在一起，則∠α的度數(shù)是（）A．165° B．120° C．150° D．135°【答案】A【解答】解：∵圖中是一副直角三角板，∴∠A＝30°，∠DCE＝45°，∴∠ACD＝135°，∴α＝30°+135°＝165°．故選：A．19．（2023?撫松縣二模）將一副三角板按如圖所示放置，則∠BFD的度數(shù)為（）A．105° B．95° C．85° D．75°【答案】A【解答】解：由題意可得∠ACB＝30°，∠CED＝45°，∵∠BFE是△CEF的一個外角，∴∠BFE＝∠ACB+∠CED＝75°，∴∠BFD＝180°﹣∠BFE＝105°．故選：A．20．（2023?仙桃模擬）如圖是由一副三角板拼湊得到的，圖中的∠ABC的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．75° D．80°【答案】C【解答】解：∵∠F＝30°，∠BAC＝45°，∠BAC是△ABF的外角，∴∠ABF＝∠BAC﹣∠F＝15°，∵∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠CBF﹣∠ABF＝75°．故選：C．21．（2023?海口模擬）如圖，將一副三角板疊在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．75° D．85°【答案】C【解答】解：如圖，由題意得：∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，∴∠AED＝∠A＝30°，∴∠α＝∠D+∠AED＝75°．故選：C．【題型6三角形外角與折疊綜合運用】22．（2021秋?武昌區(qū)月考）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，則（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【答案】B【解答】解：如圖，延長BE、CD并交于點F，連接AF．由題可知：∠EAD＝∠EFD．∵∠1＝∠EAF+∠EFA，∠2＝∠DAF+∠AFD，∴∠1+∠2＝∠EAF+∠EFA+∠DAF+∠AFD．∴∠1+∠2＝∠EAD+∠EFD．∴∠1+∠2＝2∠EAD．故選：B23．（2021?西湖區(qū)校級二模）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE的外部時，則∠A與∠1和∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）A．∠A＝∠1﹣∠2 B．2∠A＝∠1﹣∠2 C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．3∠A＝2（∠1﹣∠2）【答案】B【解答】解：如右圖，設(shè)翻折前A點的對應點為F；根據(jù)折疊的性質(zhì)知：∠3＝∠4，∠F＝∠A；由三角形的外角性質(zhì)知：∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3；△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F；故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2，故選：B．24．（2009春?涼城縣校級期中）如圖，將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點P處，已知∠1+∠2＝124°，∠A＝62°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠ADE＝∠EDP，∠AED＝∠DEP，∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝180°+180°，∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°，∵∠1+∠2＝124°，∴∠ADE+∠AED＝118°，∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝62°．25．如圖，將△ABC沿EF折疊，使點C落到點C'處，則∠1+∠2＝2∠C．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】＝．【解答】解：連接CC′，由題意可知，∠C＝∠C′，∠1＝∠EC′C+∠ECC′，∠2＝∠FC′C+∠FCC′，∴∠1+∠2＝∠EC′C+∠ECC′+∠FC′C+∠FCC′＝∠C+∠C′＝2∠C．故答案為：＝【題型7三角形外角與內(nèi)外角平分線的綜合運用】26．（2023?珠暉區(qū)校級模擬）在△ABC中，∠B的平分線與∠C的外角平分線相交于點D，∠D＝40°，則∠A等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解答】解：∵△ABC中，∠B的平分線與∠C的外角平分線，∴2∠ACD＝2∠DBC+∠A，又∵∠ACD＝∠DBC+∠D，∴2（∠DBC+∠D）＝2∠DBC+∠A，∵∠D＝40°，∴∠A＝80°．故選：D．27．（2023春?豐澤區(qū)校級期中）如圖，△ABC的兩個外角的平分線相交于點O，若∠A＝80°，則∠O等于（）A．40° B．50° C．60° D．80°【答案】B【解答】解：∵∠A＝80°，∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠ACB+∠ABC＝100°，∴∠ECB+∠DBC＝260°，∵∠CBD、∠BCE的平分線相交于點O，∴∠OBC＝∠DCB，∠OCB＝∠ECB，∴∠OBC+∠OCB＝×260°＝130°，∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣130°＝50°，故選：B．28．（2023春?建湖縣期中）如圖，是一個缺角（∠A）的三角板模型，現(xiàn)要知道∠A的大?。當?shù)學活動課上，小李沒有采用先直接量得∠MBC和∠NCB的度數(shù)，再求得∠A的度數(shù)，而是分別畫出∠MBC的角平分線與∠NCB的外角平分線相交于點P，測得∠P＝26°，請告知∠A＝52°．【答案】52．【解答】解：∵∠MBC的角平分線與∠NCB的外角平分線相交于點P，∴，，∴，∵∠P＝26°，∴，∴∠ABC+∠ACB＝128°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝52°，故答案為：52．29．（2023春?宜興市月考）如圖，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF．以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，∵AD是∠EAC的平分線，∴∠EAC＝2∠EAD，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正確，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠CBD，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝2∠ADB，故②正確；∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∵CD是∠ACF的平分線，∴∠ADC＝∠ACF＝（∠ABC+∠BAC）＝（180°﹣∠ACB）＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABD，故③正確；由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠DCF＝∠BDC+∠DBC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCF＝∠ACF，∴∠BDC+∠DBC＝（∠ABC+∠BAC）＝∠ABC+∠BAC＝∠DBC+∠BAC，∴∠BDC＝∠BAC，故⑤錯誤；∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB，∵∠ABC與∠BAC不一定相等，∴∠ADB與∠BDC不一定相等，∴BD平分∠ADC不一定成立，故④錯誤；綜上所述，結(jié)論正確的是①②③共3個．故選：B．30．（2023?長陽縣一模）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結(jié)論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【答案】C【解答】解：∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③錯誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°