2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題1.5 角度計(jì)算的經(jīng)典模型（八大題型）（原卷版）

專題1.5角度計(jì)算的經(jīng)典模型（八大題型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1雙垂直模型】【題型2A字模型】【題型38字模型】【題型4飛鏢模型】【題型5風(fēng)箏模型】【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】【題型7兩外角角平分線模型】【題型8內(nèi)外角平分線模型】【題型1雙垂直模型】雙垂直模型【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【典例1】AD、BE為△ABC的高，AD、BE相交于H點(diǎn)，∠C＝50°，求∠BHD．【變式1-1】如圖所示，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點(diǎn)P，若∠A＝60°，則∠BPC等于（）A．90° B．120° C．150° D．160°【變式1-2】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點(diǎn)．求∠ABE和∠BHC的度數(shù)．【題型2A字模型】A字模型圖1【條件】圖1中三種情況【結(jié)論】∠1=∠2圖2【結(jié)論】∠1+∠2=∠3+∠4【證明】根據(jù)內(nèi)角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4圖3【結(jié)論】∠1+∠2=180°+∠A【證明】∠1+∠2=（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）=180°+∠A【典例2】如圖，在△ABC中，E，G分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)，D是BC上的點(diǎn)，連接EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求證：AB∥DG；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠B＝35°，求∠2的度數(shù)．【變式2-1】探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2＝．（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過(guò)程，你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是．（4）如圖3，若沒(méi)有剪掉∠A，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式2-2】如圖，已知△ABC為直角三角形，∠C＝90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°【變式2-3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∠C＝45°，∠A＝50°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．95° B．85° C．75° D．50°【變式2-4】如圖，在三角形紙片ABC中∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為．【變式2-5】如圖，在△ABC中，E、F分別是AB、AC上的兩點(diǎn)，∠1+∠2＝235°，則∠A＝度．【變式2-6】在如圖所示的四邊形中，若去掉一個(gè)50°的角得到一個(gè)五邊形，則∠1+∠2＝度．【變式2-7】如圖，四邊形ABOC中，∠BAC與∠BOC的角平分線相交于點(diǎn)P，若∠B＝16°，∠C＝42°，則∠P＝°．【變式2-8】如圖，將△ACB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)50°后得到△ECD，點(diǎn)D恰好落在AB上，則∠CDB的度數(shù)是．【題型38字模型】8字模型【條件】AE、BD相交于點(diǎn)C【結(jié)論】∠A+∠B=∠D+∠E.【典例3】圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問(wèn)題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時(shí)，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）．【變式3-1】如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．【變式3-2】如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)是．【變式3-3】如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．【變式3-4】如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝°．【變式3-5】如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．【變式3-6】探究與發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)，四條線段AB、BC、CD、DA首尾順次相接，BC與AD相交于點(diǎn)O．（1）如圖1，若∠B＝24°，∠D＝42°，∠BAD和∠BCD的角平分線交于點(diǎn)M，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠B＝50°，∠D＝32°，∠BAM＝∠BAD，∠BCM＝∠BCD，求∠M的度數(shù)；（3）如圖3，設(shè)∠B＝x°，∠D＝y(tǒng)°，∠BAM＝∠BAD，∠BCM＝∠BCD，用含n、x、y的代數(shù)式表示∠M的度數(shù)（直接寫(xiě)答案）．【題型4飛鏢模型】飛鏢模型圖1圖2圖3【條件】四邊形ABPC如圖1所示【結(jié)論】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【典例4】探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品一圓規(guī)，我們，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖（1）觀察“規(guī)形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下問(wèn)題：①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°．②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．【變式4-1】一個(gè)零件的形狀如圖，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，檢驗(yàn)工人量得∠CDB＝148°，就斷定這個(gè)零件不合格，運(yùn)用三角形的有關(guān)知識(shí)說(shuō)明零件不合格的理由．【變式4-2】附加題：如圖，試說(shuō)明：①∠BDC＞∠A；②∠BDC＝∠B+∠C+∠A．如果點(diǎn)D在線段BC的另一側(cè)，結(jié)論會(huì)怎樣？【變式4-3】如圖，△ABC中，∠A＝30°，D為CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，∠D＝40°，則∠C為（）A．20° B．15° C．30° D．25°【變式4-4】如圖，點(diǎn)E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延長(zhǎng)線于D，已知∠D＝30°，∠C＝20°，則∠B的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．50°【變式4-5】如圖，作CE⊥AF于點(diǎn)E，CE與BF相交于點(diǎn)D，若∠F＝45°，∠C＝30°，則∠A＝°，∠DBC＝°．【題型5風(fēng)箏模型】【典例5】如圖1和圖2，在三角形紙片ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，沿DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'的位置．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A′落在CD邊上時(shí)，∠DAE與∠1之間的數(shù)量關(guān)系為③（只填序號(hào)），并說(shuō)明理由；①∠DAE＝∠1②∠DAE＝2∠1③∠1＝2∠DAE（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A落在△ABC內(nèi)部時(shí)，直接寫(xiě)出∠DAE與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系．【變式5-1】將紙片△ABC沿DE折疊使點(diǎn)A落在A′處的位置．（1）如果A′落在四邊形BCDE的內(nèi)部（如圖1），∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（2）如果A′落在四邊形BCDE的BE邊上，這時(shí)圖1中的∠1變?yōu)?°角，則∠A′與∠2之間的關(guān)系是．（3）如果A′落在四邊形BCDE的外部（如圖2），這時(shí)∠A′與∠1、∠2之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【變式5-2】如圖，在△ABC中，∠C＝40°，將△ABC沿著直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（）A．40° B．80° C．90° D．140°【變式5-3】如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)A落在四邊形BCDE內(nèi)時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有始終不變的關(guān)系是（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【變式5-4】如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β【變式5-5】紙片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)（如圖），若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為．【變式5-6】如圖所示，把一個(gè)三角形紙片ABC的三個(gè)頂角向內(nèi)折疊之后（3個(gè)頂點(diǎn)不重合），圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】【方法技巧】雙內(nèi)角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°+∠A.【典例6】【問(wèn)題】如圖①，在△ABC中，∠A＝74°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度數(shù)，對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形內(nèi)角和180°）．∴∠ABC+∠ACB＝（等式性質(zhì)）．∵∠A＝74°（已知），∴∠ABC+∠ACB＝（等量代換）．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC＝∠ABC（角平分線的定義）．同理，∠DCB＝；∴（∠ABC+∠ACB）＝（等式性質(zhì)）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝（等式性質(zhì)）．【拓展】如圖②，在△ABC中，∠A＝β，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．則∠D＝（）．【應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E＝146°，則∠A＝．【變式6-1】如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）當(dāng)BE＝5，CF＝3，則EF＝；（2）當(dāng)BE＞CF時(shí)，若CO是∠ACB的外角平分線，如圖2，它仍然和∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，試判斷EF，BE，CF之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式6-2】（1）如圖（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∠A＝40°求∠BOC的度數(shù)．（2）如圖（2），△A′B′C′外角的平分線相交于點(diǎn)O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度數(shù)．（3）由（1）、（2）可以發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？設(shè)∠A＝∠A′＝n°，∠BOC與∠B′O′C′是否還具有這樣的數(shù)量關(guān)系？這個(gè)結(jié)論你是怎樣得到的？【題型7兩外角角平分線模型】雙外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠EBC、∠BCF的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°-∠A.【典例7】如圖，△ABC兩個(gè)外角∠CBD、∠BCE的平分線相交于點(diǎn)O，∠A＝40°，求∠BOC的度數(shù)．【變式7-1】如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，我們?nèi)菀鬃C明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究：如圖2，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，則∠DBC+∠ECB∠A+180°（橫線上填＞、＜或＝）初步應(yīng)用：（2）如圖3，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝135°，則∠2﹣∠C＝．（3）解決問(wèn)題：如圖4，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫(xiě)出答案．（4）如圖5，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請(qǐng)利用上面的結(jié)論探究∠P與∠A、∠D的數(shù)量關(guān)系．【變式7-2】（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O．若∠A＝80°，求∠BOC的度數(shù)；（2）如圖②，△A′B′C′兩個(gè)外角（∠C′B′D、∠B′C′E）的平分線相交于點(diǎn)O′，∠A′＝80°，求∠B′O′C′的度數(shù)；（3）由（1）、（2），可以發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？設(shè)∠A＝∠A′＝n°，∠BOC與∠B′O′C′之間是否還具有這樣的關(guān)系？為什么？（4）如圖③，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于P點(diǎn)，則∠A和∠P的數(shù)量關(guān)系是．【題型8內(nèi)外角平分線模型】【方法技巧】?jī)?nèi)外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACE的角平分線【結(jié)論】∠P=∠A【典例8】（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求證：∠P＝90°+∠A；（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式8-1】在△ABC中，∠A＝40°：（1）如圖（1）BO、CO是△ABC的內(nèi)角角平分線，且相交于點(diǎn)O，求∠BOC；（2）如圖（2）BO、CO是△ABC的外角角平分線，且相交于點(diǎn)O，求∠BOC；（3）如圖（3）BO、CO分別是△ABC的一內(nèi)角和一外角角平分線，且相交于點(diǎn)O，求∠BOC；（4）根據(jù)上述三問(wèn)的結(jié)果，當(dāng)∠A＝n時(shí)，分別可以得出∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系（只需寫(xiě)出結(jié)論）．【變式8-2】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)有些具有特殊結(jié)構(gòu)，且結(jié)論又具有一般性的數(shù)學(xué)問(wèn)題我們常將其作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型加以識(shí)記，以積累和豐富自己的問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)【結(jié)論發(fā)現(xiàn)】小明在處理教材第43頁(yè)第21題后發(fā)現(xiàn)：三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與另一內(nèi)角的外角平分線的夾角的度數(shù)是三角形第三內(nèi)角度數(shù)的一半．【結(jié)論探究】（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)角∠ACB平分線CE與外角∠ABD的平分線BE的交點(diǎn)，則有∠E＝∠A請(qǐng)補(bǔ)齊下方的說(shuō)理過(guò)程．理由如下：因?yàn)椤螮BC+∠EBD＝180°，又因?yàn)樵凇鱁BC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，所以∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD＝∠E+∠（理由是：等式性質(zhì)）同理可得∠ABD＝∠A+∠．又因?yàn)锽E和CE分別是∠ABD和∠ACB的角平分線，所以∠EBD＝∠ABD，∠＝∠ACB．所以∠ABD＝∠E+∠ACB即∠E＝∠ABD﹣∠ACB＝（∠ABD﹣∠ACB）所以∠E＝∠A．請(qǐng)直接應(yīng)用上面的“結(jié)論發(fā)現(xiàn)”解決下列問(wèn)題：【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC＝4