2023年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組訓(xùn)練+過關(guān)檢測-等腰三角形

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一《核心考點(diǎn)＋重點(diǎn)題型＋高分秘籍＋題組特訓(xùn)＋過關(guān)檢測》(全國通用版)第18講 等腰三角形核心考點(diǎn)1：等腰三角形等腰三角形的定義等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）．推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．（簡稱：三線合一）推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°．3．等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等．推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．核心考點(diǎn)2：等邊三角形1．等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．2．性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°．3．判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．三角形是解決一切平面幾何問題的基礎(chǔ)，而等腰三角形、等邊三角形是三種特殊的三角形，更是中考數(shù)學(xué)中的重中之重，對于特殊三角形的概念、性質(zhì)、判定方法要熟練掌握。對于涉及這種特殊三角形的?？碱}型更要常練。1——利用等腰三角形性質(zhì)求角度1．如圖，在△ABC中，，將△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)D在邊上，交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①；②平分；③，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，推出即可判斷②；利用兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可判斷①；利用相似三角形的性質(zhì)得到，再證明，即可判斷③．【詳解】解：∵將△ABC以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∴平分，故②正確；∵，∴，故①正確；∴，∵，∴，∴，故③正確；故選：D．【反思】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記各定理是解題的關(guān)鍵．2——利用等腰三角形“三線合一”求長度2．如圖，在△ABC中，于點(diǎn)D，則的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)含的直角三角形性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，故選：B．【反思】此題考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，含的直角三角形性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將△ABE沿折疊，使點(diǎn)落在矩形內(nèi)點(diǎn)處，連接，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，過作于，根據(jù)折疊可知是等腰三角形，可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，過作于，∵將沿折疊，使點(diǎn)落在矩形內(nèi)點(diǎn)處，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴是等腰三角形，∴是中點(diǎn)，平分，且平分，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，根據(jù)題意，矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即，∴在中，，∴，即，∴，∵，∴，故選：D．【反思】本題中主要考查矩形，直角三角形，相似三角形的綜合，理解矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，，，是上一點(diǎn)，連接．把沿翻折得到，且于點(diǎn)，且，連接，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B．3 C．2 D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可計(jì)算出、的長，根據(jù)等面積法可計(jì)算出的長，再由翻折的性質(zhì)可得，在中，可計(jì)算出的長，即可得到的長，再在中應(yīng)用等面積法即可得到答案．【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，∵，，∴，在中，，，∴，∵，∴，∴，在中，，，∴，由翻折可知，，∵，∴，∴，∴，，設(shè)，則，，在中，，，解得：，∴，，設(shè)點(diǎn)到的距離為，∵，∴，解得：，∴點(diǎn)到的距離為2．故選：C【反思】本題主要考查的等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，翻折的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)只是說是解題的關(guān)鍵．3——利用等邊三角形的性質(zhì)求角5．如圖，直線，等邊△ABC的頂點(diǎn)C在直線b上，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)B作，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作，∵，，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，故選：D．【反思】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．等邊三角形三個(gè)角都是．4——利用等腰三角形的性質(zhì)解決“將軍飲馬”問題6．如圖，△ABC是等邊三角形，是邊上的高，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，則的長度即為與和的最小值，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得即可解決問題；【詳解】如圖，連接，與交于點(diǎn)，此時(shí)最小，∵是等邊三角形，是邊上的高，∴，∴，∴，即的長度即為與和的最小值，∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C【反思】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．5——等腰三角形與圓的結(jié)合問題7．已知：如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則AD的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，則，根據(jù)折疊可知，，從而得到△OBD是等邊三角形，進(jìn)而得到，，再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：連接，則，∵將扇形沿著過點(diǎn)B的直線折疊，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴的長；故選：C．【反思】本題考查求弧長．熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形，是解題的關(guān)鍵．6——利用等邊三角形性質(zhì)計(jì)算線段長度問題8．如圖，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)E，，，當(dāng)時(shí)，則的長為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把△BAE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可證是等邊三角形，，利用勾股定理求出的長即可求解．【詳解】以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把△BAE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則．∴是等邊三角形，∴，∴，，∴．故選B．【反思】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．7——利用等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)與判定證明9．如圖，在△ABC中，，是上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長和，交于點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，，求的長．【分析】（1）根據(jù)得到，結(jié)合垂直以及等角的余角相等即可證明；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論以及題目條件得到是等邊三角形然后根據(jù)已知條件計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，，，，而，，是等腰三角形；（2）解：，，，，，，，，是等邊三角形，，．【反思】本題主要考查等腰三角形的判定以及余角的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰及等邊三角形的性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．10．如圖所示，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，延長到E，使．(1)求證：；(2)求的長度．【分析】（1）證明，可得結(jié)論；（2）連接，過得到A作于點(diǎn)H，則，，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：連接，過得到A作于點(diǎn)H，則，，∵，∴，∴．【反思】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．11．如圖1，和△ECD都是等腰直角三角形，，，，的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊上．(1)求證：；(2)如圖2，若，，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，求的長．【分析】（1）連接，由“”可證，可得，，由勾股定理可求解；（2）過點(diǎn)C作于H，根據(jù)（1）中的結(jié)論可求，從而求出，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可求的長，由勾股定理可求的長．【詳解】（1）證明：連接，如圖1所示：∵和都是等腰直角三角形，，，∴，，，，∴，∵在和中，，∴，∴，，∴，∴是直角三角形，∴，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)C作于H，如圖2所示：∵，，，∴解得：或（舍去），∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∵是等腰直角三角形，，，∴，∴，∴．【反思】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明△ECA≌△DCB，是解答本題的關(guān)鍵．——學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要抓住核心！數(shù)學(xué)的內(nèi)容越學(xué)越多，感覺也越來越亂，這是很多同學(xué)對數(shù)學(xué)的第一印象。怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)，這也是所有同學(xué)最關(guān)心的問題，其實(shí)要學(xué)好數(shù)學(xué)，就一個(gè)關(guān)鍵——抓住問題的核心。平面幾何的核心就是特殊三角形——等腰三角形、直角三角形！秘籍十三：抓住問題的核心！一、選擇題1．如圖，在中，，的垂直平分線交邊于D點(diǎn)，交邊于E點(diǎn)，若與的周長分別是20，12，則為（

）A．4 B．6 C．8 D．102．已知邊長為4的等邊，D、E、F分別為邊的中點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．3 C．4 D．3．如圖，等腰內(nèi)接于，點(diǎn)D是圓中優(yōu)孤上一點(diǎn)，連接，已知，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．如圖，若，內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)P，點(diǎn)A，B分別在射線上移動(dòng)，當(dāng)周長最小時(shí)，則的度數(shù)為（

）A．60° B．80° C．100° D．120°5．如圖，等腰中，，，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，則的度數(shù)為（

）A．45° B．50° C．55° D．60°6．如圖，在中，，邊BC在x軸上，且點(diǎn)，點(diǎn)，則的面積為（

）A．10 B．12 C．20 D．267．如圖，在正方形中，，為的中點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)點(diǎn)處，連接，則的長為（

）A． B． C． D．8．如圖，已知長方形沿著直線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)E，，則的長為（

）A．9 B．10 C．11 D．129．如圖，在一個(gè)直角三角形中，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形，其作法不一定正確的是（

）A． B． C． D．10．如圖，將長方形沿折疊，B，C分別落在點(diǎn)H，G的位置，與交于點(diǎn)M．下列說法中，不正確的是（

）．A． B．C． D．11．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)M在邊上，若平分，則的長是（）A． B．1 C． D．12．如圖，中，，BD平分交AC于G，∥交的外角平分線于M，交、于F、E，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．13．如圖，等邊三角形中，D、E分別為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總使，與交于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，則等于（

）A．1 B．2 C． D．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)M，N，且，，等邊的頂點(diǎn)A，B分別在線段上，則的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．415．如圖，在中，以各邊為邊分別作三個(gè)等邊三角形，，，若，，，則下列結(jié)論：①；②四邊形是平行四邊形；③；④，其中正確的有(

)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)二、解答題16．如圖，是等腰三角形，，，分別在的右側(cè)，的左側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，與相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)作射線交于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．①補(bǔ)全圖形，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)?shù)亩葦?shù)在給定范圍內(nèi)發(fā)生變化時(shí)，的度數(shù)是否也發(fā)生變化？若不變，請直接寫出的度數(shù)；若變化，請給出的度數(shù)的范圍．17．如圖，在中，已知點(diǎn)D在線段的反向延長線上，過的中點(diǎn)F作線段交的平分線于E，交于G，且．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求長．18．在中，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，O，C重合）．過點(diǎn)A，點(diǎn)C作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接．(1)如圖1，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，請判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(3)若，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請直接寫出線段的長．19．如圖，在中，，，E為邊的中點(diǎn)，以為邊作等邊，連接，．(1)求證：為等邊三角形；(2)若，在邊上找一點(diǎn)H，使得最小，并求出這個(gè)最小值．20．在中，，，，垂足為G，且．，其兩邊分別交邊，于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)求證：是等邊三角形；(2)求證：．一、選擇題1．如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交于點(diǎn)D、E．若，，則的長為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．已知等腰三角形一邊長為4，另一邊長為6，則這個(gè)等腰三角形的面積等于（

）A． B． C． D．或3．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接．若，，則的大小為（

）A． B． C． D．4．如圖，在正方形中，，為的中點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)點(diǎn)處，連接，則的長為（

）A． B． C． D．5．如圖1為一張正三角形紙片，其中D點(diǎn)在上，E點(diǎn)在上．以為折痕將B點(diǎn)往右折如圖2所示，分別與相交于F點(diǎn)、G點(diǎn)．若，，，，則長度為（

）A．7 B．8 C．9 D．106．如圖，已知是等邊三角形，，，點(diǎn)，分別是，邊上的點(diǎn)，且．連接，若的周長是，則的邊長是（

）A． B． C． D．7．如圖，已知點(diǎn)分別是等邊邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B．6 C．9 D．128．如圖，在等邊中，，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿方向運(yùn)動(dòng)．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以相同的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)E也隨之停止運(yùn)動(dòng)．連接，將沿折疊，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，與重疊部分的面積為y，則下列圖象能大致反映y與t之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．9．點(diǎn)D是等邊三角形的邊上的一點(diǎn)，且，現(xiàn)將折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在和上，若，則的長為（

）A． B． C． D．10．如圖，在等邊三角形中，，．如果點(diǎn)M，N都以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在線段上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段上由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，是一個(gè)直角三角形，則t的值為（

）A． B． C．或 D．或11．如圖，已知的半徑為，正三角形的邊長為6，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．612．如圖，為的外心，為正三角形，與相交于點(diǎn)，連接．若，，則為（

）A．110° B．90° C．85° D．80°13．如圖，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），分別以、為邊在直線的同側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④連接，則是等邊三角形，以上結(jié)論正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)14．如圖，P為外一點(diǎn)，分別切于點(diǎn)A、B，是的直徑，若，，則的周長為（

）A．8 B． C．20 D．15．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)恰好在邊上，則點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為（）A．10 B．20 C． D．二、解答題16．在中，已知，，點(diǎn)P、D分別在上．(1)如圖1，若，則______°（直接寫答案）(2)如圖1，在（1）的條件下，求證：是等腰三角形．(3)如圖2中，若，點(diǎn)P在上移動(dòng)，且滿足，于點(diǎn)E，試問：此時(shí)的長度是否變化？若變化，說明理由：若不變，請予以證明．17．如圖，中，，AB的垂直平分線DE交AB、AC于E、D．(1)若的周長為21，求BC的長；(2)若，求的度數(shù)．18．已知，點(diǎn)為等邊三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且．(1)如圖（1），，求證：；(2)如圖（2），點(diǎn)在內(nèi)部，且，求證：；(3)如圖（3），點(diǎn)在內(nèi)部，為上一點(diǎn)，連接，若，求證：．19．在中，，，為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，則的大??；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，的形狀是三角形；②如圖3，直線與交于點(diǎn)，滿足．P為直線上一動(dòng)點(diǎn)．說明P點(diǎn)在什么位置時(shí)，有最大值；請直接寫出這個(gè)最大值．（提示：作點(diǎn)D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)）20．如圖，是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，(1)求點(diǎn)與之間的距離；(2)求的度數(shù)．中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一《核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組特訓(xùn)+過關(guān)檢測》(全國通用版)第18講 等腰三角形題組特訓(xùn)詳解選擇題1．如圖，在中，，的垂直平分線交邊于D點(diǎn)，交邊于E點(diǎn)，若與的周長分別是20，12，則為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】首先根據(jù)是的垂直平分線，可得；然后根據(jù)的周長，的周長，可得的周長的周長，據(jù)此求出的長度是多少即可．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∵的周長，的周長，∴的周長的周長，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．此題還考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的周長的求法，要熟練掌握．2．已知邊長為4的等邊，D、E、F分別為邊的中點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．3 C．4 D．【答案】C【分析】連接，設(shè)與相交于點(diǎn)H，首先說明是線段的垂直平分線，可證，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)與相交于點(diǎn)H，∵是等邊三角形，D、E、F分別為邊的中點(diǎn)，∴，，∴,，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．3．如圖，等腰內(nèi)接于，點(diǎn)D是圓中優(yōu)孤上一點(diǎn)，連接，已知，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出，再由同弧所對的圓周角相等即可得解答．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．4．如圖，若，內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)P，點(diǎn)A，B分別在射線上移動(dòng)，當(dāng)周長最小時(shí)，則的度數(shù)為（

）A．60° B．80° C．100° D．120°【答案】B【分析】作點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，，其中交于A，交于B，此時(shí)的周長最小值等于的長，由軸對稱性質(zhì)可知：，，，，且，從而得出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，，其中交于A，交于B，此時(shí)的周長最小值等于的長，由軸對稱性質(zhì)可知：，，，，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，將的周長最小值轉(zhuǎn)化為的長是解題的關(guān)鍵．5．如圖，等腰中，，，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，則的度數(shù)為（

）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要是等腰三角形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)，理解性質(zhì)并熟練的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，邊BC在x軸上，且點(diǎn)，點(diǎn)，則的面積為（

）A．10 B．12 C．20 D．26【答案】A【分析】作軸于點(diǎn)Ｄ，求得，，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：作軸于點(diǎn)Ｄ，∵，∴，，，∵，∴，，∵，∴，∴，∴的面積為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．7．如圖，在正方形中，，為的中點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)點(diǎn)處，連接，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得，即可求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，則，進(jìn)而得出，則，即可求出，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，∵四邊形為正方形，，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，∵沿折疊得到，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．8．如圖，已知長方形沿著直線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)E，，則的長為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】由四邊形為長方形可知，，從而得出，結(jié)合折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出．設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于x的等式，解出x的值，即得出答案．【詳解】∵四邊形為長方形，∴，∴．由折疊的性質(zhì)可知，，∴，∴．設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．9．如圖，在一個(gè)直角三角形中，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形，其作法不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對尺規(guī)作圖進(jìn)行分析，再利用等腰三角形的判定條件逐一進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：A、如圖1，由作法可知，，即是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、如圖2，由作法可知，所做線段為的垂直平分線，但不能證明線段相等，無法推出等腰三角形，符合題意，選項(xiàng)正確；C、如圖3，由作法可知，所做線段為的垂直平分線，，即是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、如圖4，由作法可知，所做線段為的垂直平分線，，即是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握尺規(guī)作圖的基本圖形做法是解題關(guān)鍵．10．如圖，將長方形沿折疊，B，C分別落在點(diǎn)H，G的位置，與交于點(diǎn)M．下列說法中，不正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】由折疊的性質(zhì)知，，，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證，可證選項(xiàng)B正確；由點(diǎn)到直線的距離可得，故選項(xiàng)A不正確；由折疊的性質(zhì)知，再由，可得選項(xiàng)C正確，利用平行線的性質(zhì)可得，，可證選項(xiàng)D正確．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作，由折疊的性質(zhì)知，，，由題意知，，∴，，∴，∴，故選項(xiàng)B正確，不合題意；∵，∴，故選項(xiàng)A不正確，符合題意；由折疊的性質(zhì)得：，∵，∴，故選項(xiàng)C正確，不合題意；∵，∴，由題意知，∴，∴，故選項(xiàng)D正確，不合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是牢記折疊前后對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等．11．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)M在邊上，若平分，則的長是（）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由矩形的性質(zhì)得出，，，，由平行線的性質(zhì)得出，再由角平分線證出，又勾股定理求出即可．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、勾股定理等，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，中，，BD平分交AC于G，∥交的外角平分線于M，交、于F、E，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過證明，即可解決問題；【詳解】解：∵，∴，∵∥，∴，∴，∴，∴，∵，∴，同理可證：，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定及其性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．13．如圖，等邊三角形中，D、E分別為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總使，與交于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，則等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，，證，推出，求出，求出，即可求出答案．【詳解】證明：∵是等邊三角形，∴，，在和中，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定等邊三角形性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，證明全等三角形是關(guān)鍵．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)M，N，且，，等邊的頂點(diǎn)A，B分別在線段上，則的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】證明為直角三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，∴，∴為直角三角形，∵，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是求出的長．15．如圖，在中，以各邊為邊分別作三個(gè)等邊三角形，，，若，，，則下列結(jié)論：①；②四邊形是平行四邊形；③；④，其中正確的有(

)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】由，得出，則①正確；由等邊三角形的性質(zhì)得，則，由證得，得，同理，得，得出四邊形是平行四邊形，則②正確；由平行四邊形的性質(zhì)得，則③正確；，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，則④不正確；即可得出結(jié)果．【詳解】解：，，，，故①正確；，都是等邊三角形，，又，，和都是等邊三角形，，，，，在與中，，，，同理可證：，，四邊形是平行四邊形，故②正確；，故③正確；，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，故④不正確；正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、解答題16．如圖，是等腰三角形，，，分別在的右側(cè)，的左側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，與相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)作射線交于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．①補(bǔ)全圖形，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)?shù)亩葦?shù)在給定范圍內(nèi)發(fā)生變化時(shí)，的度數(shù)是否也發(fā)生變化？若不變，請直接寫出的度數(shù)；若變化，請給出的度數(shù)的范圍．【答案】(1)見解析(2)①補(bǔ)全圖形見解析，；②不變，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等角對等邊以及等邊三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)等角對等邊即可得證；（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，根據(jù)（1）的結(jié)論與已知條件得出垂直平分,進(jìn)而得出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，繼而在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；②設(shè)，根據(jù)①的方法與步驟進(jìn)行驗(yàn)證即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵等邊三角形和等邊三角形，∴，∵，∴，即，∴，（2）①如圖所示，由（1）可得，又∵，∴垂直平分,∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴；②不變設(shè)，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在中，已知點(diǎn)D在線段的反向延長線上，過的中點(diǎn)F作線段交的平分線于E，交于G，且．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求長．【答案】(1)答案見解析(2)12【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)證明，然后根據(jù)角平分線的定義得出，則可證明為等腰三角形；（2）證明，從而得到的長，則可求得的長．【詳解】（1）解：，，平分，，

，，是等腰三角形；（2）是的中點(diǎn)，，

在和中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定定理．18．在中，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，O，C重合）．過點(diǎn)A，點(diǎn)C作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接．(1)如圖1，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，請判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(3)若，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請直接寫出線段的長．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)或【分析】（1）如圖，延長交于K，，證明，從而可得，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得；（2）如圖，延長交于點(diǎn)K，由已知證明，，繼而可證得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得；（3）分點(diǎn)P在上與上兩種情況分別畫圖進(jìn)行解答即可得．【詳解】（1）解：如下圖中，延長交于K，，，，，，，是直角三角形，；（2），理由如下：如下圖，延長交于點(diǎn)K，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，；（3）如下圖中，點(diǎn)P在線段上，延長交于點(diǎn)K，作于H，，，在中，，，，是等腰三角形，觀察圖形可知，只有，在中，，，如下圖中，點(diǎn)P在線段上，作于G，同法可得：，，，，，，是等腰三角形，，，，，綜上所述：的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在中，，，E為邊的中點(diǎn)，以為邊作等邊，連接，．(1)求證：為等邊三角形；(2)若，在邊上找一點(diǎn)H，使得最小，并求出這個(gè)最小值．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得，即可得，再證明，即有，，接著有，問題隨之得解；（2）作點(diǎn)E關(guān)于直線對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)H，則點(diǎn)H即為符合條件的點(diǎn)，連接、，由作圖可知：最小值為，問題隨之得解．【詳解】（1）在中，，E為邊的中點(diǎn)，∴，，，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴結(jié)合，為等邊三角形；（2）作點(diǎn)E關(guān)于直線對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)H，則點(diǎn)H即為符合條件的點(diǎn)，連接、，如圖，由作圖可知：最小值為，，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，在中，，，∴，，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱中的最短路徑問題、勾股定理等，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與判定定理、利用軸對稱添加輔助線確定最短路徑問題是解題的關(guān)鍵.20．在中，，，，垂足為G，且．，其兩邊分別交邊，于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)求證：是等邊三角形；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出，再由，即可得出結(jié)論；（2）由是等邊三角形，得出，，證出，由證明，得出，進(jìn)而可證得．【詳解】（1）證明：∵，，∴．∵，∴．又∵，∴是等邊三角形．（2）證明：∵是等邊三角形，∴，．∵，∴．∴，∴．在與中，，∴．∴．又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．過關(guān)檢測詳細(xì)解析一．選擇題1．如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交于點(diǎn)D、E．若，，則的長為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，從而得到，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由，列出方程，求出x，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，，∴，設(shè)，∵，∴，∵，∴，解得：，即，∵，，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．已知等腰三角形一邊長為4，另一邊長為6，則這個(gè)等腰三角形的面積等于（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分兩種情況討論，當(dāng)4為腰，6為底時(shí)，當(dāng)4為底，6為腰時(shí)，分別求出這個(gè)等腰三角形的面積即可．【詳解】解：當(dāng)4為腰，6為底時(shí)，過點(diǎn)A作，如圖所示：則，∵，，∴，∴，∴；當(dāng)4為底，6為腰時(shí)，過點(diǎn)A作，如圖所示：則，∵，，∴，∴，∴；綜上分析可知，這個(gè)等腰三角形的面積等于或，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，注意分類討論．3．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接．若，，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，，得到，根據(jù)計(jì)算選擇即可．【詳解】∵，，∴，∵，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握兩個(gè)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在正方形中，，為的中點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)點(diǎn)處，連接，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得，即可求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，則，進(jìn)而得出，則，即可求出，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，∵四邊形為正方形，，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，∵沿折疊得到，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．5．如圖1為一張正三角形紙片，其中D點(diǎn)在上，E點(diǎn)在上．以為折痕將B點(diǎn)往右折如圖2所示，分別與相交于F點(diǎn)、G點(diǎn)．若，，，，則長度為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】先證明，得到，求出的長，然后求出線段長即可．【詳解】解：正三角形∴∵∴∴即∴∵，，∴∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．6．如圖，已知是等邊三角形，，，點(diǎn)，分別是，邊上的點(diǎn)，且．連接，若的周長是，則的邊長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長至，使，連接，由“”可證，，可得，，，即可求解．【詳解】解：延長至F，使，連接，∵是等邊三角形，∴，∵，，∴是等腰三角形，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴的周長．∵的周長是∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知點(diǎn)分別是等邊邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】連接交于點(diǎn)，連接，此時(shí)的值最小，最小值為．【詳解】解：連接交于點(diǎn)，連接，如下圖：∵是等邊三角形，D是的中點(diǎn)，∴，∴，此時(shí)的值最小，最小值為∵分別是等邊邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴的值最小值為6．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱求最短距離，解題關(guān)鍵是掌握軸對稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質(zhì)．8．如圖，在等邊中，，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿方向運(yùn)動(dòng)．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以相同的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)E也隨之停止運(yùn)動(dòng)．連接，將沿折疊，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，與重疊部分的面積為y，則下列圖象能大致反映y與t之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用分類討論的思想方法求得y與t的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合自變量的取值范圍判定出函數(shù)的大致圖象．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：，①當(dāng)時(shí)，與重疊部分的面積為，由題意得：，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，如圖，∵是等邊三角形，∴，∴．∴；②當(dāng)時(shí)，與重疊部分的面積為梯形，如圖，由題意得：，則，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．∵，∴為等邊三角形，∴，∴，同理：，∴為等邊三角形，∴，綜上，y與t之間函數(shù)關(guān)系式為，由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可知，第一個(gè)函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線的一部分，第二個(gè)函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線的一部分，∴A大致反映y與t之間函數(shù)關(guān)系，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，利用分類討論的思想方法解答和熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．點(diǎn)D是等邊三角形的邊上的一點(diǎn)，且，現(xiàn)將折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在和上，若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可知，，進(jìn)而可求出．由折疊的性質(zhì)可知，即得出，從而可得出，即證明，得出，代入數(shù)據(jù)，即可求出的長，進(jìn)而即可求出的長．【詳解】解：∵三角形為等邊三角形，∴，，∴．由折疊的性質(zhì)可知，∴，∴，∴，∴，即，解得：，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)．熟練掌握三角形相似的判定定理及其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．如圖，在等邊三角形中，，．如果點(diǎn)M，N都以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在線段上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段上由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，是一個(gè)直角三角形，則t的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意，用含t的式子表示出，分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，，求出t的值；當(dāng)時(shí)，，求出t的值．【詳解】解：∵是等邊三角形，cm，∴cm，∵點(diǎn)M、N都以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，即，解得：．當(dāng)時(shí)，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，即，解得：，綜上所述：t的值為或時(shí)，是直角三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)三角形的動(dòng)點(diǎn)問題，涉及到了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用各個(gè)性質(zhì)定理和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．11．如圖，已知的半徑為，正三角形的邊長為6，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．6【答案】A【分析】連接、，過點(diǎn)作于，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)垂線段最短解答即可．【詳解】解：連接、，過點(diǎn)作于，∵是的切線，∴，∴，當(dāng)時(shí)，最小，取最小值，∵為等邊三角形，∴，∴，∴∴，∴的最小值為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．12．如圖，為的外心，為正三角形，與相交于點(diǎn)，連接．若，，則為（

）A．110° B．90° C．85° D．80°【答案】C【分析】由三角形的外心可知，結(jié)合，先求出，再利用是正三角形以及外角的性質(zhì)即可求解的度數(shù)．【詳解】解：是的外心，是正三角形故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查外心的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握外心的性質(zhì)及外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．13．如圖，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），分別以、為邊在直線的同側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④連接，則是等邊三角形，以上結(jié)論正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，證明從而可判斷①，由可得再利用三角形的內(nèi)角和定理可判斷②，得出，進(jìn)而證明，判斷③，得出，即可判斷④【詳解】解：為等邊三角形，即故①正確；故②正確；則在中，故③正確；又是等邊三角形，故④正確故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì),掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，P為外一點(diǎn)，分別切于點(diǎn)A、B，是的直徑，若，，則的周長為（

）A．8 B． C．20 D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理得到，進(jìn)而證明是等邊三角形，得到，由此利用三角形周長公式求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴；∵分別切于點(diǎn)A、B，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴的周長為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)恰好在邊上，則點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為（）A．10 B．20 C． D．【答案】D【分析】連接，證明是等邊三角形，得出，從而得出，證明是等邊三角形，得出，根據(jù)勾股定理，結(jié)合含角的直角三角形性質(zhì)，求出即可．【詳解】解：如圖，連接，∵將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵在中，，∴，∴，∴，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形，求出的長．二、解答題16．在中，已知，，點(diǎn)P、D分別在上．(1)如圖1，若，則______°（直接寫答案）(2)如圖1，在（1）的條件下，求證：是等腰三角形．(3)如圖2中，若，點(diǎn)P在上移動(dòng)，且滿足，于點(diǎn)E，試問：此時(shí)的長度是否變化？若變化，說明理由：若不變，請予以證明．【答案】(1)(2)見解析(3)PE的值不變，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)