2023~2024學(xué)年【導(dǎo)】3-1-1 課時2 橢圓的軌跡與標(biāo)準(zhǔn)方程的求法

第三章圓錐曲線的方程3.1.1課時2橢圓的軌跡與標(biāo)準(zhǔn)方程的求法1.鞏固橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點)3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題．(難點)

問題1：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義并推導(dǎo)出了它的標(biāo)準(zhǔn)方程，那橢圓的定義是什么？標(biāo)準(zhǔn)方程有哪幾種形式？

①平面內(nèi)到兩個定點

的距離之和等于常數(shù)（大于

）的點的軌跡叫做橢圓．其中

叫橢圓的焦點，

叫橢圓的焦距.F1F2知識回顧：②橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式：焦點在x軸上，焦點在y軸上,

問題2：求動點P的軌跡方程是什么意思？設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），則求動點P的軌跡方程就是求一個等式，里面含有x與y，我們可以記為f(x,y)=0，方程f(x,y)=0就是所求的軌跡方程.問題3：求動點P的軌跡又是什么意思？動點P的軌跡，就是動點P運(yùn)動而形成的曲線，比如直線，線段，或者圓，橢圓等等.思考：已知兩定點A，B，動點M滿足|MA|＋|MB|＝8，求動點M的軌跡.解：當(dāng)|AB|<8時，M的軌跡是一個橢圓；探究一：求軌跡方程的方法——定義法當(dāng)|AB|＝8時，M的軌跡是一條線段；當(dāng)|AB|>8時，M的軌跡是不存在。例1已知兩點A（-1，0），B（1，0），動點M滿足|MA|＋|MB|＝8，求動點M的軌跡方程。由題意知：|AB|=2,|MA|＋|MB|＝8>|AB|∴點M的軌跡是以A,B為焦點的橢圓其中2a＝8，2c＝2，∴a＝4，c＝1，b2＝a2－c2＝15定義法：若動點的軌跡特點符合某一基本軌跡(如橢圓、圓等)的定義，則可用定義求解．解：設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y）探究一：求軌跡方程的方法——定義法∴點M軌跡方程為

.

思考：

可以由圓通過“壓縮”或“拉伸”得到橢圓嗎?如何

“壓縮”或“拉伸”?由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎?xyPMO?D?xyPMO?D?將圓按照某個方向均勻地壓縮（拉長），可以得到橢圓.

例2如圖，在圓x2+y2=4上取任意一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點P在圓上運(yùn)動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？（當(dāng)點P經(jīng)過圓與x軸的交點時，規(guī)定點M與點P重合）探究二：求軌跡方程的方法——相關(guān)點法

動畫演示：

解：設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），點P的坐標(biāo)為（x0，y0），則點D的坐標(biāo)為（x0，0）.由點M是線段PD的中點，得

因為點P（x0，y0）在圓x2+y2=4上，所以x02+y02=4.①把x0=x，y0=2y代入方程①，得x2+4y2=4，所以點M的軌跡是橢圓.相關(guān)點法（代入法）：若動點M(x，y)隨著某已知方程的圖形上的另一動點P(x0，y0)運(yùn)動而運(yùn)動，且x0，y0可以用x，y表示，則可將P點的坐標(biāo)代入已知圖形的方程，即得動點M的軌跡方程．

例2如圖，在圓x2+y2=4上取任意一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點P在圓上運(yùn)動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？（當(dāng)點P經(jīng)過圓與x軸的交點時，規(guī)定點M與點P重合）

即

變式：如圖，在圓x2+y2=4上取任意一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.點M為DP延長線上的點，且P是DM的中點，當(dāng)點P在圓上運(yùn)動時，求點M的軌跡方程.（當(dāng)點P經(jīng)過圓與x軸的交點時，規(guī)定點M與點P重合）

解：設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），點P的坐標(biāo)為（x0，y0），則點D的坐標(biāo)為（x0，0）.由P是DM的中點，得

因為點P（x0，y0）在圓x2+y2=4上，所以x02+y02=4.①

所以點M的軌跡是橢圓.x=x0,y=2y0xyPMO?D?整理得

探究三：求軌跡方程的方法——直接法

追問：在求解過程中，是否有特殊點需要關(guān)注？直接法：根據(jù)題設(shè)條件，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出動點的坐標(biāo)，寫出動點坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，化簡得軌跡方程．

探究三：求軌跡方程的方法——直接法

動畫演示：練習(xí)（P109練習(xí)4）:已知A(-1，0)，B(1，0)，直線AM、BM交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商為2，求點M的軌跡方程．解：設(shè)點M的坐標(biāo)為（x,y），

因此，點M的軌跡是直線x=-3,并去掉點（-3，0）例3[探究]

通過例3的學(xué)習(xí)，體會橢圓的另一種生成方法：一個動點到兩個定點連線的斜率之積是一個負(fù)常數(shù)(不等于－1)，其軌跡即為橢圓，但要注意除去不符合題意的點。練習(xí)：已知點P（x,y）在運(yùn)動過程中，總滿足關(guān)系式則P的軌跡方程為（

）A.B.C.D.【解析】由題設(shè)可知P的運(yùn)動軌跡是橢圓，且焦點在X軸上，其坐標(biāo)分別為(1,0),(-1,0),2a=4故a=2，2c=2，c=1，b2=3所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．B