協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

53.3.1協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題

對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布這說明對(duì)于二維隨機(jī)變量，

除了每個(gè)隨機(jī)變量各

自的概率特性以外，

相互之間可能還有某種聯(lián)系.問

題是用一個(gè)什么樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.數(shù)

E((X-E(X))(Y-E(Y)))

反映了隨機(jī)變量X,Y

之間的某種關(guān)系.

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義定義

稱E((X-E(X))(Y-E(Y)))為X,Y

的協(xié)方差.

記

為cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))稱

為(X,Y)

的協(xié)方差矩陣.可以證明協(xié)方差矩陣為半正定矩陣.事實(shí)上，Pxy=cov(X*,Y*).若

Pxy=0,稱X,Y

不

相

關(guān)

.為X,Y

的

相

關(guān)

系

數(shù)，記為若D(X)>0,

D(Y)>0,稱

協(xié)

方

差

和

相關(guān)

系

數(shù)

的

計(jì)

算

利

用

函

數(shù)

的

期

望

或

方

差

計(jì)

算

協(xié)

方

差cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)若(X,Y)為

離

散

型

，若(X,Y)

為

連

續(xù)

型

，例1

已知X,Y

的聯(lián)合分布為：求

cov(X,Y),Pxy解O<p<1p+q=1YPXPOq1

OpO1

Op

qp

qX

Y1OOOPPq11cov(X,Y)=pq,pxy

=1例2

設(shè)(X,Y)～N(L?,σ?2,H?,G?2,p),求pxy

.解=G?G?PPxy

=p若(X,Y)～N(μ?,σ?2,L?,σ?2,p),則X,Y相

互

獨(dú)

立

—

X,

Y

不

相

關(guān)

.=a2E(X2)-b2E(Y2)-[aE(X)+bE(Y)[aE(X)-bE(Y)]由

→cov(U,V)=(a2-b2)o2而

D(U)=a2D(X)+b2D(Y)=(a2+b2)c2D(V)=a2D(X)+b2D(Y)=(a2+b2)o2U=aX+bY,V=aX-bY,a,b求Puv解

cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)例

3設(shè)X,Y相互

獨(dú)

立，且都

服

從

N(0,σ2),為

常

數(shù)，

且

都

不

為

零

，故

繼續(xù)討論：a,b

取何值時(shí)

，

U,V

不

相

關(guān)?此

時(shí)

，U,V是

否獨(dú)立

?

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì)cov(X,Y)=cov(Y,X)=E(XY)-E(X)E(Y)cov(aX,bY)=abcov(X,Y)cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z)cov(X,X)=D(X)lcov(X,Y)l2≤D(X)D(Y)當(dāng)

D(X)>0,D(Y)>0

時(shí)

，當(dāng)且僅

當(dāng)P(Y-E(Y)=t?(X-E(X)))=1時(shí)，等式成立—Cauchy-Schwarz不等式.對(duì)任何

實(shí)數(shù)

t,g(t)≥04cov2(X,Y)-4D(X)D(Y)≤0即

Icov(X,Y)l2≤D(X)D(Y)等

號(hào)

成

立

一

→

g(t)=0證

明

令g(t)=E[(Y-E(Y))-t(X-E(X))]2=D(Y)-2tcov(X,Y)+t2D(X)有兩個(gè)相等的實(shí)零點(diǎn)g(t?)=0

即→→D[(Y-E(Y))-t?(X-E(X))]=0→P[(Y-E(Y))-t?(X-E(X))=0]=1P[(Y-E(Y))-t?(X-E(X))=0]=1即P[(Y-E(Y))=t?(X-E(X))]=1即

Y與

X

有線性關(guān)

系的

概

率

等

于

1

,這種線性關(guān)系

為相

關(guān)

系

數(shù)

的

性

質(zhì)l

pxy

l≤1□l

pxyl=1

→Cauchy-Schwarz

不

等

式的

等

號(hào)

成→即Y與

X

有

線

性

笑

系的

概

率

等

于1

,

這

種

線

性

關(guān)

系為Pxy

=1

→cov(X,Y)>0P(Y*=X*)=1X,Y相互

獨(dú)立

X,Y

不相關(guān).若X,Y服

從

二

維

正

態(tài)

分

布，X,Y相互獨(dú)立X,Y不相

關(guān).P(Y*=-X*)=1X,Y不相關(guān)cov(X,Y)=0E(XY)=E(X)E(Y)→D(X±Y)=D(X)+D(Y)Pxy=-1→

cov(X,Y)<0Pxy=1,P(x'=Y')=1E(X)=p,E(Y)=p,D(X)=pq,D(Y)=pq,E(XY)=p,D(XY)=pq,cov(X,Y)=pq,pxy5在例

1

中

已知X,Y的聯(lián)

合

分

布

為O<p<1p+q=1PYOqpO1OOX1例4設(shè)

(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,

求

Pxz.解

E(X)=E(Y)=1,D(X)=D(Y)=4, cov(X,Y)=2cov(X,Z)=cov(X,X)+cov(X,Y)=6D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=12設(shè)X,…,X為n個(gè)r.v.,

記b?=cov(X,X)…

,n.則稱由b;組成的矩陣為隨機(jī)變

的協(xié)方差矩陣B.即53.3.2協(xié)方差矩陣以前講過的n維正態(tài)分布的形式中就有協(xié)方差矩陣

.定義,i,j=1,2,量X,…,X?顯

然

b?=DX?,i=1,2,…,nbik=bki,i,k=1,2,...,n.故協(xié)方差矩陣B是對(duì)稱矩陣.

由柯西-許瓦

茲

不

等式

有

bz≤b?bx,i,k=1,2,A,n如果我們記X=(X?,X?,A,X)1,DX

=E[X-EX][X-EX]'則有DX=E[X-EX][X-EX]=B因此B

為

X=(X?,X?,A,X)的方差，其中EX=(EX?,EX?,A

EX,)

稱為列隨機(jī)向量X

的數(shù)學(xué)

期望

.如

果

記t=(t?,…,t?)',

上

式即

為

t2Bt=tDXt≥0證明

設(shè)f(x;,xx),f(x?,x?,A,x)

分

別

為(X,,X)以及

(X?,X?,A,X)

的

概

率

密

度

函

數(shù)

，

則協(xié)方差矩陣的性質(zhì)對(duì)

任

意

實(shí)

數(shù)t?,…,tn,有f(x?,x?,A,x,)dx?A

dx≥0這

表

示B

是非負(fù)定

的

，

由矩陣論

的

二

次

型

理

論

知,對(duì)

任

意

正

整

數(shù)k(1≤k≤n)

有f(x?,x?,A,x,)dx?A

dx?如果X?,…,Xn

相互獨(dú)立，則B

為對(duì)角矩陣.證明

因?yàn)閄?,…,X

相互獨(dú)立，所以當(dāng)k≠I時(shí)，bx=

0

所以B

為對(duì)角矩陣.作業(yè)

P208習(xí)題三35,

36·

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擊

此

處

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輯

母

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第感射各

位

的.

第

三

級(jí)-

第

四

級(jí)第五級(jí)束指

導(dǎo)

!映結(jié)批評(píng)藝數(shù)為

你

遮

風(fēng)

擋

雨

。為你

送

去

溫

暖

。為

你

送

去

光

明

。照

亮

你

的

心

靈

。母

要

是

溫暖

。母

要

是

關(guān)

懷

。

母

愛