幾何元素間的相對位置及綜合問題解題方法

直線與平面平行兩平面平行4.1平行問題第二頁1第二頁，共80頁。⒈

直線與平面平行DBCAP若：AB∥CD則：AB∥P若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。幾何條件：有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。第三頁2第三頁，共80頁。fg

f

g結(jié)論：直線AB不平行于定平面[例1]試判斷直線AB是否平行于定平面第四頁3第四頁，共80頁。n

●●a

c

b

m

abcmn[例2]過M點作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解d

dX第五頁4第五頁，共80頁。正平線[例3]過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。唯一解c

●●b

a

m

abcmnn

d

dX第六頁5第六頁，共80頁。b

a

af

fb[例4]試過點K作水平線AB平行于ΔCDE平面第七頁6第七頁，共80頁。直線與特殊位置平面平行

當(dāng)平面為投影面的垂直面時，只要平面有積聚性的投影和直線的同面投影平行，或直線也為該投影面的垂線，則直線與平面必定平行。第八頁7第八頁，共80頁。⒉

兩平面平行若一個平面內(nèi)的相交二直線與另一個平面內(nèi)的相交二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。

判別兩已知平面是否相互平行；過一點作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。幾何條件：兩平面平行的作圖問題有：第九頁8第九頁，共80頁。兩平面平行①若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。ⅠⅡⅢAB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ；

則：P∥Q第十頁9第十頁，共80頁。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。兩特殊位置平面平行第十一頁10第十一頁，共80頁。c

f

b

d

e

a

abcdefXf

g

abcdefga

b

c

d

e

X兩特殊位置平面平行兩一般位置平面平行第十二頁11第十二頁，共80頁。acebb

a

d

dfc

f

e

khk

h

OXm

m由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。[例1]

判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行，

已知AB∥CD∥EF∥MH第十三頁12第十三頁，共80頁。[例2]試判斷兩平面是否平行m

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行第十四頁13第十四頁，共80頁。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k[例3]已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。第十五頁14第十五頁，共80頁。[例4]試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因為PH平行SH，所以兩平面平行第十六頁15第十六頁，共80頁。直線與平面相交兩平面相交4.2相交問題第十七頁16第十七頁，共80頁。

直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。1.

直線與平面相交要討論的問題：(1)求直線與平面的交點。

(2)判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。

我們將分別討論一般位置的直線與平面或至少有一個處于特殊位置的情況。●●第十八頁17第十八頁，共80頁。2.

兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：①

求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線的方向。

②

判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。第十九頁18第十九頁，共80頁。4.2.1特殊位置線面相交直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交第二十頁19第二十頁，共80頁。1.直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交點可直接求出。b

ba

acc

m

mnn

k

k第二十一頁20第二十一頁，共80頁。2.判斷直線的可見性特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。kb

ba

acc

m

mn

nk

第二十二頁21第二十二頁，共80頁。例1求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性?？臻g及投影分析:

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。①

求交點②

判別可見性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見。

還可通過重影點判別可見性。⑴

平面為特殊位置abcmnc

n

b

a

m

k

●k●1

(2

)2●1●●X第二十三頁22第二十三頁，共80頁。km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵

直線為特殊位置空間及投影分析:

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①

求交點②

判別可見性

點Ⅰ位于平面上，在前，點Ⅱ位于MN上，在后，故k

1

為不可見。k

●2●1●●1

(2

)X第二十四頁23第二十四頁，共80頁。()k21k'2'1'例2求鉛垂線EF與一般位置平面△ABC的交點并判別

其可見性。第二十五頁24第二十五頁，共80頁。4.2.2一般位置平面與特殊位置

平面相交求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題，由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交線可直接求出。

1.求交線2.判斷平面的可見性第二十六頁25第二十六頁，共80頁。1.求交線MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

第二十七頁26第二十七頁，共80頁。2.判斷平面的可見性第二十八頁27第二十八頁，共80頁。2.判斷平面的可見性第二十九頁28第二十九頁，共80頁。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)●例3求兩平面的交線

MN并判別可見性。⑴空間及投影分析：①

求交線②

判別可見性

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。m●n●

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。

還可通過重影點判別可見性第三十頁29第三十頁，共80頁。a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●空間及投影分析：

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點m、n即為兩個共有點的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①

求交線②

判別可見性

點Ⅰ在MC上，點Ⅱ在FH上，點Ⅰ在前，點Ⅱ在后，故m

c

可見。作圖X211'(2')m′●●●n′●●第三十一頁30第三十一頁，共80頁。bc

d

e

f

a

b

acdef⑶投影分析

N點的水平投影n位于Δdef

的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個圖形內(nèi)。

所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。m●k●k

●nn'●①

求交線②

判別可見性作圖●m

●ΔDEF的正面投影積聚第三十二頁31第三十二頁，共80頁。4.2.3直線與一般位置平面相交以正垂面為輔助平面求線面交點

示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點

示意圖判別可見性

示意圖第三十三頁32第三十三頁，共80頁。1

2

QV21kk

步驟：1．過EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點K。示意圖以正垂面為輔助平面求直線EF與ΔABC平面的交點第三十四頁33第三十四頁，共80頁。ABCQ過EF作正垂面QEF以正垂面為輔助平面求線面交點示意圖ⅠⅡ第三十五頁34第三十五頁，共80頁。2PH1

步驟：1．過EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點K。k

k2

示意圖以鉛垂面為輔助平面求直線EF與ΔABC平面的交點1第三十六頁35第三十六頁，共80頁。過EF作鉛垂面P以鉛垂面為輔助平面求線面交點示意圖FCABPEFKEⅠⅡ第三十七頁36第三十七頁，共80頁。f

e

e直線EF與平面

ABC相交，判別可見性。利用重影點判別可見性124

3

（

）kk

(3)4示意圖(

)2

1

第三十八頁37第三十八頁，共80頁。4.2.4兩一般位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交求交線判別可見性第三十九頁38第三十九頁，共80頁。兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點的方法，作出兩平面的兩個共有點K、E。ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2．連接兩個共有點，畫出交線KE。示意圖例4求兩平面的交線第四十頁39第四十頁，共80頁。兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL第四十一頁40第四十一頁，共80頁。利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性3

4

()34

21()1

2

第四十二頁41第四十二頁，共80頁。4.2.5綜合性問題解法試過K點作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。綜合性問題解法

綜合性問題解法

綜合性問題解法

例5第四十三頁42第四十三頁，共80頁。過已知點K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH分析第四十四頁43第四十四頁，共80頁。m

n

h

hnmPV1

12

21．過點K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點H。3．連接KH，KH即為所求。作圖第四十五頁44第四十五頁，共80頁。直線與平面垂直兩平面互相垂直4.3垂直問題第四十六頁45第四十六頁，共80頁。4.3.1直線與平面垂直VHPAKLDCBE幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。第四十七頁46第四十七頁，共80頁。定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO第四十八頁47第四十八頁，共80頁。定理2：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線（逆）的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXO第四十九頁48第四十九頁，共80頁。a

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例6平面由

BDF給定，試過定點M作平面的垂線。第五十頁49第五十頁，共80頁。h

hh

hh

hkk

SVk

kPVk

kQH例7試過定點K作特殊位置平面的法線。第五十一頁50第五十一頁，共80頁。e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例8平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN

是否垂直于定平面。第五十二頁51第五十二頁，共80頁。幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。PAB4.3.2兩平面垂直第五十三頁52第五十三頁，共80頁。反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。ABⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠAB第五十四頁53第五十四頁，共80頁。g

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgXO例9平面由

BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面第五十五頁54第五十五頁，共80頁。g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d結(jié)論：兩平面不垂直XO例10試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面

是否垂直。第五十六頁55第五十六頁，共80頁。

5.4.1空間幾何元素定位問題

5.4.2空間幾何元素度量問題4.4綜合問題分析及解法

5.4.3綜合問題解題舉例第五十七頁56第五十七頁，共80頁。求解綜合問題主要包括：平行、相交、及垂直等問題側(cè)重于探求每一個單個問題的投影特性、作圖原理與方法。而實際問題是綜合性的，涉及多項內(nèi)容，需要多種作圖方法才能解決。綜合問題解題的一般步驟：

1.分析題意2.明確所求結(jié)果，找出解題方法3.擬定解題步驟空間幾何元素的定位問題（交點、交線）空間幾何元素的度量問題（如距離、角度）。第五十八頁57第五十八頁，共80頁。4.4.1空間幾何元素定位問題c

g

h

e

f

d

cefghdXO例11已知三條直線CD、EF和GH，求作一直線AB與

CD平行，并且與EF、GH均相交。第五十九頁58第五十九頁，共80頁。分析所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線EF、GH相交。ABCDHGEF第六十頁59第六十頁，共80頁。作圖過程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

第六十一頁60第六十一頁，共80頁。例12

試過定點A作直線與已知直線EF正交。第六十二頁61第六十二頁，共80頁。EQ分析FAK過已知點A作平面垂直于已知直線EF，并交于點K，連接AK，AK即為所求。第六十三頁62第六十三頁，共80頁。作圖2

11

22

1a

efaf

e

1

2PVk

k第六十四頁63第六十四頁，共80頁。4.4.2空間幾何元素度量問題度量問題—是解決距離和角度的度量問題，主要基礎(chǔ)是根據(jù)直角投影定理作平面的垂線或直線的垂面，并求其實長或?qū)嵭巍?/p>

1.距離的度量點到點之間的距離.

求二點之間線段的實長（直角三角形法）。

點到直線之間的距離.過點作平面垂直于直線，求出垂足，再求出點與垂足之間的線段實長。

點到平面之間的距離.過點作平面的垂線，求出垂足，

..再求出點與垂足之間的線段實長。第六十五頁64第六十五頁，共80頁。直線與直線平行之間的距離直線與交叉直線之間的距離直線與平面平行之間的距離平面與平面平行之間的距離過一直線上任一點作另一直線的垂線，余下方法同點到直線的距離。包含一直線作一平面平行于另一直線，在另一直線上任取一點，過點作平面的垂線，求出垂足，再求出點與垂足之間的線段實長。過直線上任一點作平面的垂線。方法同點到平面的距離。過一平面上任一點作另一平面的垂線。余下方法同點到平面的距離。第六十六頁65第六十六頁，共80頁。PQPPDBPPBPKAKALCKLLABKLABKCDELF第六十七頁66第六十七頁，共80頁。例13求點C到直線AB的距離。c

a

b

cabXO第六十八頁67第六十八頁，共80頁。分析PABCK過C點作直線AB的垂線CK一定在過C點并且與AB垂直的平面P內(nèi)，過C點作一平面與直線AB垂直，求出該平面與AB的交點K，最后求出垂線CK的實長即為所求。第六十九頁68第六十九頁，共80頁。作圖過程c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距離PV第七十頁69第七十頁，共80頁。例14求兩平行直線AB和CD的距離。c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距離PVd

d第七十一頁70第七十一頁，共80頁。例15

求Ｍ點到△ABC平面的距離。

作出垂線后，用輔助平面法求出垂線與△ＡＢＣ平面的交點（即垂足），再用直角三角形法求出線段的實長即可。hfe

bm

b

a

c