暑期培訓(xùn)課件7 22上午差分方程模型

差分方程模型第四講養(yǎng)老保險(xiǎn)

第一講差分方程第二講蛛網(wǎng)模型第三講商品銷售量預(yù)測(cè)第五講減肥計(jì)劃第六講按年齡分組的種群增長(zhǎng)第七講差分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性1、差分方程簡(jiǎn)介

規(guī)定只取非負(fù)整數(shù)，記為變量在點(diǎn)的取值，則稱為的一階向前差分，稱為的二階差分。由、及的差分給出的方程稱為的差分方程。其中含的最高階差分的階數(shù)稱為該差分方程的階數(shù)。差分方程也可以寫成不顯含差分的形式，例如二階差分方程可以寫成

滿足一階差分方程的序列稱為差分方程的解，若解中含有獨(dú)立的常數(shù)的個(gè)數(shù)等于差分方程的階數(shù)時(shí)，稱此解為該差分方程的通解。

稱如下形式的差分方程

為階常系數(shù)線性差分方程，其中是常數(shù)，。其對(duì)應(yīng)的齊次方程為

求非齊次常系數(shù)線性差分方程的通解的步鄹：

1.先求解對(duì)應(yīng)的特征方程

2.根據(jù)特征根的不同情況，求解齊次方程的通解若特征方程有個(gè)不同的實(shí)根，則齊次方程的通解為；若是特征方程的重實(shí)根，則齊次方程的通解為；若特征方程有單重復(fù)根，則齊次方程的通解為，其中為的模，為的幅角；

若特征方程有k重復(fù)根，則方程(2)的通解為

3.求非齊次方程的一個(gè)特解，若為齊次方程的通解，則非齊次方程的通解為。對(duì)特殊形式的特解可以使用待定系數(shù)法求非齊次方程的特解。例如，為t的k次多項(xiàng)式時(shí)可以證明：若b不是特征根，則方程(1)有形如的特解，也是t的k次多項(xiàng)式；若b是r重特征根，則方程(1)有形如的特解。進(jìn)而可以用待定系數(shù)法求出，從而得到方程(1)的一個(gè)特解。例1.求解兩階差分方程

解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，其特征根為，故齊次方程的通解為，原方程有形如的特解，帶入原方程求得，所以原方程的通解為在應(yīng)用差分方程研究問(wèn)題時(shí)，需要討論解的穩(wěn)定性。對(duì)常系數(shù)非齊次線性差分方程，若不論其對(duì)應(yīng)齊次方程的通解中的任意常數(shù)如何取值，當(dāng)時(shí)，，則稱方程的解是穩(wěn)定的。2、常系數(shù)線性差分方程的

采用上述解析解法求解常系數(shù)線性非齊次差分方程比較繁瑣，下面介紹

變換，將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程去求解

設(shè)有離散序列

，則

的

變換定義為其中是復(fù)變量，上式右端的級(jí)數(shù)的收斂域是某個(gè)圓的外部的反變換記作

變換解法幾個(gè)常用離散函數(shù)的變換

(3)單邊指數(shù)函數(shù)的變換(為不等于1的正常數(shù))(1)單位沖激函數(shù)的變換(2)單位階躍函數(shù)的變換(1)線性性質(zhì)設(shè)，則

變換的性質(zhì)(2)平移性質(zhì)：設(shè)，則例2.求解齊次差分方程

解令，對(duì)差分方程取變換得對(duì)上式取反變換，便得差分方程的解為1、問(wèn)題的提出

在自由競(jìng)爭(zhēng)的社會(huì)中，很多領(lǐng)域會(huì)出現(xiàn)循環(huán)波動(dòng)的現(xiàn)象。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，可以從自由集市上某種商品的價(jià)格的變化看到如下現(xiàn)象：在某一時(shí)期，商品的上市量大于需求，引起價(jià)格下跌，生產(chǎn)者覺(jué)得該商品無(wú)利可圖，轉(zhuǎn)而經(jīng)營(yíng)其他商品，一段時(shí)間之后，隨著產(chǎn)量的下降，供不應(yīng)求又會(huì)導(dǎo)致價(jià)格上升，又會(huì)有很多生產(chǎn)商進(jìn)行該商品的生產(chǎn)，隨之而來(lái)的是商品過(guò)剩，價(jià)格下降。在沒(méi)有外界干預(yù)的情況下，這種現(xiàn)象會(huì)反復(fù)出現(xiàn)。如何從數(shù)學(xué)的角度來(lái)描述上述現(xiàn)象呢？2、模型假設(shè)(1)設(shè)時(shí)段商品數(shù)量為，其價(jià)格為，這里把時(shí)間離散化為時(shí)段，一個(gè)時(shí)期相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)周期。

(2)同一時(shí)段的商品價(jià)格取決于該時(shí)段商品的數(shù)量，稱為需求函數(shù)。出于對(duì)自由經(jīng)濟(jì)的理解，商品的數(shù)量越多，其價(jià)格就越低。故可以假設(shè)需求函數(shù)為一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)。

(3)下一時(shí)段的商品數(shù)量由上一時(shí)段的商品價(jià)格決定，稱為供應(yīng)函數(shù)，由于價(jià)格越高可導(dǎo)致產(chǎn)量越大，所以可以假設(shè)供應(yīng)函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)。3、模型求解

在同一坐標(biāo)系中同時(shí)做出供應(yīng)函數(shù)和需求函數(shù)的圖形，設(shè)兩條曲線相交于則為平衡點(diǎn)。因?yàn)榇藭r(shí)

若某個(gè)有，則可推出即商品的數(shù)量保持在，價(jià)格保持在。不妨假設(shè)下面考慮在圖上的變化如右圖所示。當(dāng)給定后，價(jià)格由上的點(diǎn)決定，下一時(shí)段的數(shù)量由上的點(diǎn)決定，又可由上的點(diǎn)決定。依此類推，可得一系列的點(diǎn)圖上的箭頭表示求出的次序，由圖知即市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定。并不是所有的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)都趨于穩(wěn)定，若給定的和的圖形如右圖所示，得到的就不趨于，此時(shí)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)趨于不穩(wěn)定。圖1和圖2中的折線形如蛛網(wǎng)，故把這種模型稱為蛛網(wǎng)模型。在進(jìn)行市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)分析中，取決于消費(fèi)者對(duì)某種商品的需求程度及其消費(fèi)水平，

取決于生產(chǎn)者的生產(chǎn)、管理等能力。

當(dāng)已知需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)之后，可以根據(jù)和的性質(zhì)判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。當(dāng)較小時(shí)，的穩(wěn)定性取決于和在點(diǎn)的斜率，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不穩(wěn)定。

這一結(jié)論的直觀解釋是，需求曲線越平，供應(yīng)曲線越陡，越有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。設(shè)在點(diǎn)附近取和的線性近似，于是得從上兩式中消去得

…………..以上個(gè)式子相加，有若是穩(wěn)定點(diǎn)，則應(yīng)有，所以點(diǎn)穩(wěn)定的條件是同理點(diǎn)不穩(wěn)定的條件是

4、模型修正

在上述模型的基礎(chǔ)上，對(duì)供應(yīng)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。下面在決定商品的生產(chǎn)數(shù)量時(shí)，不僅考慮前一時(shí)期的價(jià)格，而且考慮了價(jià)格，取，在附近取線性近似，則有于是得將上述兩式整理得到二階線性差分方程

其特征方程為經(jīng)計(jì)算得其特征根結(jié)論：若方程的特征根均在單位圓內(nèi)，則為穩(wěn)定點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，該特征方程有兩個(gè)實(shí)根，因則有，故此時(shí)不是穩(wěn)定點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)共軛復(fù)根，共軛復(fù)根的模的絕對(duì)值為要使點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn)只需與前面的模型的結(jié)果相比，的范圍擴(kuò)大了。這是由于經(jīng)營(yíng)管理者的水平提高帶來(lái)的結(jié)果。商品銷售量預(yù)測(cè)

在利用差分方程建模研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常需要根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)并用最小二乘法來(lái)擬合出差分方程的系數(shù)。其系統(tǒng)穩(wěn)定性的討論要用到代數(shù)方程的求根。例3某商品前五年的銷售量見(jiàn)右表1?，F(xiàn)希望根據(jù)前五年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)第六年起該商品在各季度中的銷售量。第一

年第二年第三年第四年第五年11112131516216182024253252627303241214151517

由于該問(wèn)題的數(shù)據(jù)少，用回歸分析效果不一定好。如果認(rèn)為銷售量并非逐年等量增長(zhǎng)而是按前一年或者前幾年同期銷售量的一定比例增長(zhǎng)的，則可建立相應(yīng)的差分方程模型。以第一季度為例，以表示第t年第一季度的銷售量，建立形式如下的差分方程上述差分方程不一定能使所有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合，較為合理的辦法是用最小二乘法求一組總體吻合較好的數(shù)據(jù)。即選取使得最小。根據(jù)這一方程可以迭代求解以后各年第一季度銷售量的預(yù)測(cè)值。第7年銷售量預(yù)測(cè)值居然小于第6年的，稍作分析，不難看出，如分別對(duì)第一季度建立差分方程，則根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)擬合出的系數(shù)可能會(huì)相差甚大，但對(duì)同一種商品，這種差異應(yīng)當(dāng)是微小的，故應(yīng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立一個(gè)共用于各個(gè)季度的差分方程，為此，將季度編號(hào)為，令，利用全體數(shù)據(jù)來(lái)擬合求擬合得到最好的系數(shù)。即求使得最小。于是得二階差分方程為由此式可得，這個(gè)結(jié)果還是較為可信的。y0=[1112131516]';y=y0(3:5);x=[y0(2:4),y0(1:3),ones(3,1)];z=x\y求得y0=[1116251212182614132027151524301516253217]';y=y0(9:20);x=[y0(5:16),y0(1:12),ones(12,1)];z=x\y求得1、問(wèn)題的提出

某保險(xiǎn)公司的一份材料指出，在每月交費(fèi)200元至59歲年底，60歲開(kāi)始領(lǐng)取養(yǎng)老保險(xiǎn)金的約定下，男子若25歲開(kāi)始投保，屆時(shí)月養(yǎng)老金2282元；假定人的壽命為75歲，試求出保險(xiǎn)公司為了兌現(xiàn)保險(xiǎn)責(zé)任，每月應(yīng)至少有多少投資收益率（也就是投保人的實(shí)際收益率）？

2、模型的建立與求解

設(shè)投保人在投保后第個(gè)月所交保險(xiǎn)費(fèi)及利息的累計(jì)總額為，那么得到數(shù)學(xué)模型為分段表示的差分方程其中分別為60歲前所交月保險(xiǎn)費(fèi)和60歲起所領(lǐng)取的月養(yǎng)老金的數(shù)目（月），是所交保險(xiǎn)金獲得的利率，分別是自投保起至停交保險(xiǎn)費(fèi)和至停領(lǐng)取養(yǎng)老金的時(shí)間（月），這里，可推出差分方程的解（這里），得于是得到由于，可得如下方程減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)

在國(guó)人物質(zhì)生活越來(lái)越好的條件下，不少自感肥胖的人紛紛奔向減肥食品的柜臺(tái)。許多醫(yī)生和專家建議通過(guò)控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)來(lái)，才能在不傷害身體的條件下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目的。下面建立一個(gè)簡(jiǎn)單的體重變化規(guī)律的模型，并由此通過(guò)節(jié)食與運(yùn)動(dòng)制定合理、有效的減肥計(jì)劃。

1、模型分析

通常，當(dāng)體內(nèi)能量守恒被破壞時(shí)就會(huì)引起體重的變化，人們通過(guò)飲食吸收熱量，過(guò)多熱量轉(zhuǎn)化為脂肪，導(dǎo)致體重增加；而代謝和運(yùn)動(dòng)消耗熱量，會(huì)使體重減小。只要做適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化假設(shè)就可得到體重變化的關(guān)系。通常，制定減肥計(jì)劃以周為時(shí)間單位比較方便，所以這里采用離散時(shí)間模型：差分方程模型來(lái)討論。2、模型假設(shè)

根據(jù)上述分析，參考有關(guān)生理數(shù)據(jù)，作以下簡(jiǎn)化假設(shè)

(1)體重增加正比于吸收的熱量，平均每8000kcal增加體重1kg；

(2)正常代謝引起的體重減小正比于體重，每周每公斤體重消耗熱量一般在200kcal到320kcal之間,這相當(dāng)于重70kg的人每天消耗2000kcal到3200kcal(3)運(yùn)動(dòng)引起體重減小正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)

(4)為了安全與健康，每周體重減少不宜超過(guò)

1.5kg，每周吸收熱量不少于10000kcal

。

基本假設(shè)

記第周末體重為，第周吸收熱量為，熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)，代謝消耗系數(shù)（因人而異），則在不考慮運(yùn)動(dòng)情況下體重變化的基本方程為增加運(yùn)動(dòng)時(shí)只需將改為由運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和形式確定。減肥計(jì)劃的提出

通過(guò)制定一個(gè)具體的減肥計(jì)劃討論上述模型(1)的應(yīng)用。某人身高，體重，自述目前每周吸收熱量，體重長(zhǎng)期不變，試為他按照以下方式制定減肥計(jì)劃，使其體重減到并維持下去。

(1)在基本上不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一下兩階段計(jì)劃。第一階段：每周減肥，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到安全的下限；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)；

(2)若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，重新安排第二階段計(jì)劃；

(3)給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。減肥計(jì)劃的制訂

首先應(yīng)確定該人的代謝消耗系數(shù)，根據(jù)他每周吸收熱量，由(1)式得相當(dāng)于每周每公斤體重消耗熱量，由假設(shè)(2)可以知道，該人屬于代謝消耗相當(dāng)弱的人。第一階段要求體重每周減少，吸收熱量減至下限，即由基本模型可得將的數(shù)值代人，并考慮下限，有得，即第一階段共10周，按照吸收熱量，可使體重每周減少，至第10周末達(dá)到。

第二階段要求每周吸收熱量保持下限，由基本模型可得為了得到體重減至75kg所需的周數(shù)，將(3)式遞推可得已知，要求，再將的數(shù)值代入得

為了加速進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)調(diào)查資料得到以下各運(yùn)動(dòng)每小時(shí)每公斤體重消耗的熱量記表中熱量消耗，每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間，為利用基本模型，只需將改成取，則，即若增加運(yùn)動(dòng)（如每周跳舞8小時(shí)或自行車10小時(shí)），就可將第二階段的時(shí)間縮短為14周。運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50m/min)熱量消耗kcal7.03.04.42.57.9最簡(jiǎn)單的維持體重的方案，是尋求每周吸收熱量保持某常數(shù)c，使不變，所以得到

若不運(yùn)動(dòng)，容易算出，若運(yùn)動(dòng)，則評(píng)注

人的體重變化是有規(guī)律可循的，減肥也應(yīng)科學(xué)化，定量化。這個(gè)模型雖然只考慮了一個(gè)非常簡(jiǎn)單的情況，但是這對(duì)專門從事減肥活動(dòng)的人來(lái)說(shuō)不無(wú)參考價(jià)值。減肥活動(dòng)與每個(gè)人的特殊生理?xiàng)l件有關(guān)，特別是代謝消耗系數(shù)，不僅因人而異，而且即使同一個(gè)人在不同環(huán)境下也會(huì)有所變化。從上面的計(jì)算中我們看出，當(dāng)由0.025增加到0.028時(shí)（變化約12%），減肥所需時(shí)間就從19周減小到14周（變化約25%），所以應(yīng)用這個(gè)模型時(shí)要對(duì)作仔細(xì)的核對(duì)。按年齡分組的種群增長(zhǎng)1、模型建立將種群按年齡大小等間隔地分成個(gè)年齡組，比如每10歲或每5歲為1個(gè)年齡組，與年齡的離散化相對(duì)應(yīng)，時(shí)間也離散為時(shí)段，并且時(shí)段的間隔與年齡區(qū)間大小相等，即以10年或5年為1個(gè)時(shí)段。種群是通過(guò)雌性個(gè)體的繁殖而增長(zhǎng)的，所以用雌性個(gè)體數(shù)量的變化為研究對(duì)象比較方便，下面提到的種群數(shù)量均僅指其中的雌性。

記時(shí)段第年齡組的種群數(shù)量為第年齡組的繁殖率為，即第年齡組每個(gè)雌性個(gè)體在1個(gè)時(shí)間段內(nèi)平均繁殖的數(shù)量，第年齡組的死亡率為稱為存活率，這里我們假設(shè)不隨時(shí)段變化，在穩(wěn)定的環(huán)境下這個(gè)假設(shè)是合理的，可由統(tǒng)計(jì)資料獲得。的變化規(guī)律由以下事實(shí)得到：時(shí)段第1年齡組種群數(shù)量是時(shí)段k各年齡組繁殖數(shù)量之和，即時(shí)段第年齡組的種群數(shù)量是時(shí)段k第i年齡組存活下來(lái)的數(shù)量，即記時(shí)段k按種群按年齡組的分布向量為由繁殖率和存活率構(gòu)成的矩陣于是得到當(dāng)矩陣和按年齡組的初始分布向量已知時(shí)，可以預(yù)測(cè)任意時(shí)段種群按年齡組的分布為有了，當(dāng)然不難算出時(shí)段種群的數(shù)量。2、穩(wěn)定狀況分析

下面研究時(shí)間充分長(zhǎng)后，種群的年齡結(jié)構(gòu)及數(shù)量的變化。矩陣L中的元素滿足滿足(7)(8)矩陣稱為L(zhǎng)eslie矩陣，容易看出的穩(wěn)定形態(tài)完全由矩陣L決定，關(guān)于矩陣我們敘述下面兩個(gè)定理。

定理1矩陣有唯一的正的特征根

，且它是單重的該定理表明矩陣L的特征方程其對(duì)應(yīng)的正特征向量為矩陣L的其他個(gè)特征根都滿足。只有一個(gè)正單根，且容易驗(yàn)證

定理2若矩陣第一行有兩項(xiàng)順次的元素

都大于零，則(10)式中僅不等號(hào)成立，即且滿足其中是由及決定的常數(shù)。

附帶指出，對(duì)于種群增長(zhǎng)來(lái)說(shuō)該定理的條件通常是滿足的。

從上述定理可以對(duì)時(shí)間充分長(zhǎng)后種群按年齡組的種群的分布的性態(tài)做出如下分析（為簡(jiǎn)便起見(jiàn)記為）。由(13)式直接有這表明充分大時(shí)，種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，其各年齡組的數(shù)量占總量的比例，與特征向量中對(duì)應(yīng)分量占總量的比例是一樣的，即就表示了種群按年齡組分布的狀況，故稱為穩(wěn)定分布，它與初始分布無(wú)關(guān)。由(14)式又可得到或者更清楚的寫作這表明充分大時(shí)，種群的增長(zhǎng)也趨向穩(wěn)定，其各年齡組的數(shù)量都是上一時(shí)段同一年齡組數(shù)量的倍，即種群