課時第八章立體幾何初步8 6 3平面與垂直二

高一—人教A版—數(shù)學(xué)—必修二第八章8.6.3平面與平面垂直（二）廣州大同中學(xué)袁

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明確“直觀感知”與“推理論證”相結(jié)合的研究思路．2、掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理.3、能熟練運用平面與平面垂直的性質(zhì)定理進行相關(guān)的證明與計算．4、通過對平面與平面垂直性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推

理、數(shù)學(xué)計算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)平面與平面垂直的判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.b該命題正確嗎？符號語言：情境引入文字語言：圖形語言：類比：線面垂直性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)？b//αa（1）b與a平行b

問題1：如圖，已知平面α⊥平面β，α∩β=a，則β內(nèi)任意

直線b與直線a是什么位置關(guān)系？相應(yīng)地直線b與平面α是什么

位置關(guān)系？為什么？探索新知（2）b與a重合b?αb//αa（1）b與a平行b

問題1：如圖，已知平面α⊥平面β，α∩β=a，則β內(nèi)任意

直線b與直線a是什么位置關(guān)系？相應(yīng)地直線b與平面α是什么

位置關(guān)系？為什么？探索新知（1）b與a平行b（3）b與a相交（2）b與a重合b與α相交b?αb//αa

問題1：如圖，已知平面α⊥平面β，α∩β=a，則β內(nèi)任意

直線b與直線a是什么位置關(guān)系？相應(yīng)地直線b與平面α是什么

位置關(guān)系？為什么？探索新知（1）b與a平行（3）b與a相交（2）b與a重合b

問題1：如圖，已知平面α⊥平面β，α∩β=a，則β內(nèi)任意

直線b與直線a是什么位置關(guān)系？相應(yīng)地直線b與平面α是什么

位置關(guān)系？為什么？探索新知b與α相交當(dāng)b與a斜交時，b不垂直a,也不垂直平面α。b?αb//αa特別地：b⊥a？A圖8.6-30探索新知b分析：設(shè)b∩a=A,過點A在α

平面內(nèi)作c使得c⊥a所以b、c所成角即為二面角α-a-

β的平面角又因為α⊥β所以二面角α-a-

β的大小為900即b⊥cb⊥ac∩a=Ab⊥αa面面垂直的性質(zhì)定理平面與平面垂直的性質(zhì)定理：

兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這

兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直．這個定理說明了:平面與平面垂直的條件下增加條件平面內(nèi)垂直于交線的直線可以轉(zhuǎn)化為該直線與另一個平面垂直.符號語言：圖形語言：文字語言：ba例1、（定理辨析）判斷下列命題是否正確.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l下列命題.分析：直線在平面α內(nèi),與l可以平行、重合、相交，不一定垂直。（3）過平面α內(nèi)任意一點作交線的垂線，則垂線必垂直于平面β（）（1）平面α內(nèi)的任意一條直線必垂直于平面β（）√××l分析：直線與l垂直，不一定在平面α內(nèi)，所以直線可以圍繞l旋轉(zhuǎn)，還可以平移，所以他們可以平行，斜交，線在面內(nèi)，不一定垂直。（2）垂直于交線l的直線必垂直于平面β（）分析：線在面內(nèi)，且垂直于交線，這就是面面垂直的性質(zhì)定理。

問題2：設(shè)平面α⊥平面β，點P在平面α內(nèi)，過點P作平面β的

垂線a，則直線a與平面α具有什么位置關(guān)系？所以直線a與直線b重合，因此a?α．解：設(shè)α∩β＝c．過點P在平面α內(nèi)作直線b⊥c．由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知b⊥β．因為過一點有且僅有一條直線與平面β垂直，探索新知ba知識小結(jié)：1、過一點有且僅有一條直線與平面垂直。2、過平面內(nèi)一點作垂面的垂線，只需作

交線的垂線，且線在原平面內(nèi)。

第10題:已知平面α

,β,γ,且α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,求證l⊥γ.對應(yīng)練習(xí)（課本163頁）∴直線a與直線b重合，且為α與β的交線l，因此l⊥γ。證明：在l上找一點A，過點A在平面α內(nèi)作直線a垂直于γ∵點A在平面α內(nèi)，∴直線a在平面α內(nèi)過點A在平面β內(nèi)作直線b垂直于γ又∵過一點有且僅有一條直線與平面γ垂直，∵點A在平面β內(nèi)，∴直線b在平面β內(nèi)ab【例2】(即課本160頁例9）已知平面α⊥平面β，不在平面α內(nèi)

的直線a⊥β，判斷a與α的位置關(guān)系．

a∵α⊥β，又∵b?α

∴a//α．解：在α內(nèi)作垂直于α與β的交線的直線b．又a⊥β，∴a//b.又aα,b?α

即直線a與平面α平行∴b⊥β.例3：在三棱柱ABC-A1B1C1中，面ABC1上的射影E位于何處？，則點C在平思路：要找到點C在平面ABC1上的射影E位置需要通過點C在平面ABC1上找一點E使得CE垂直于平面ABC1思路一：線面垂直判定過C作CE垂直平面ABC1的兩條相交直線1、找C所在面垂直于面ABC1。2、過點C作交線的垂線思路二：面面垂直性質(zhì)例3：在三棱柱ABC-A1B1C1中，面ABC1上的射影E位于何處？，則點C在平分析：線線垂直AC⊥AB，CC1⊥AB線面垂直AB⊥平面ACC1面面垂直面ABC1⊥面ACC1，交線AC1線面垂直CE⊥AC1，CE⊥面ABC1E例3：在三棱柱ABC-A1B1C1中，面ABC1上的射影E位于何處？，則點C在平解：E∵AC⊥AB，CC1⊥AB，AC∩CC1=C∵AC=CC1（三線合一）∴AB⊥平面ACC1，又∵AB?面ABC1∴面ACC1⊥面ABC1，且交線是AC1∴只需從C點作交線AC1的垂線∴C在AC1上的垂足為AC1的中點E小結(jié)：平面外一點A作平面的射影時，（應(yīng)用面面垂直定理）可分為2步求解：第1步找過A點的平面與平面垂直，第2步只需作兩平面交線的垂線。（空間垂直問題轉(zhuǎn)化為平面垂直問題）思路：要證BC⊥平面PAB思路1：面面垂直性質(zhì)思路2：線面垂直判定1、BC所在的平面垂直平面PAB。2、BC垂直于兩平面的交線BC與平面PAB內(nèi)兩相交直線垂直。例4:(即課本160頁例10）如圖所示，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAB．

例4:(即課本160頁例10）如圖所示，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥

平面PBC．求證：BC⊥平面PAB．

E分析：線面垂直面面垂直線面垂直線線垂直線面垂直線線垂直例4:(即課本160頁例10）如圖所示，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAB．

：過點A作AE⊥PB，垂足為E．因為平面PAB⊥平面PBC，面PAB∩面PBC＝PB因為BC?平面PBC，所以AE⊥BC．又因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．又PA∩AE＝A，所以BC⊥平面PAB．所以AE⊥平面PBC，E2、利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面

垂直的問題時，要注意以下三點：(1)兩個平面垂直(2)直線必須在其中一個平面內(nèi)(3)直線必須垂直于它們的交線本題小結(jié)：1、證明線面垂直有兩種思路：(1)線面垂直判定定理(2)面面垂直性質(zhì)定理例4:(即課本160頁例10）如圖所示，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥

平面PBC．求證：BC⊥平面PAB．

例5、如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且面PAB⊥面ABCD．求證：平面PBC⊥平面PAB．分析：要證面面垂直只需證一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面垂直面面垂直的性質(zhì)定理知：兩平面內(nèi)有直線垂直于他們的交線時，那么這條直線就與另一個平面垂直。所以只需找兩平面內(nèi)垂直于交線的直線例5、如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且面PAB⊥面ABCD．求證：平面PBC⊥平面PAB．證明：面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=ABAB⊥BC，BC?面ABCD四棱錐P-ABCD的底面是矩形又因為BC?面PBCBC⊥面PAB平面PBC⊥平面PAB．一個定理：（面面垂直的性質(zhì)定理）兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直．課堂小結(jié)定理的三種功能：功能一、尋找點在平面內(nèi)的射影；功能二、證明線面垂直。功能三、為證明面面垂直指明了方向。定理的三種語言表示方示：1、文字語言；2、圖形語言；3、符號語言。課后作業(yè)課本第161頁-162頁

第1、2、3、4題。課堂到此結(jié)束謝謝大家觀看！高一—人教A版—數(shù)學(xué)—必修二第八章8.6.3平面與平面垂直（二）廣州大同中學(xué)袁

安答疑直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直判定性質(zhì)判定性質(zhì)四個定理的知識網(wǎng)絡(luò)：（線線垂直；線面垂直；面面垂垂）

又AC?平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上.選A.1、如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在底面ABC上的射影H必在 (

)A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部【解析】：因∠BAC=90，所以AC⊥AB,又因為AC⊥BC1,且AB∩BC1=B所以AC⊥平面ABC1.2、如圖所示,四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=600，△PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，E為AD的中點，求證:BC⊥平面PEB;分析：要證BC⊥平面PEB思路1：線面垂直判定思路2：面面垂直性質(zhì)1、BC所在的平面垂直平面PEB。2、BC垂直于兩平面的交線。BC或與其平行的直線與平面PEB內(nèi)兩相交直線垂直。證明：∴△ABD為正三角形，又∵△PAD為正三角形，E為AD的中點，∴PE⊥AD，BE⊥AD，又∵PE∩BE=EAD⊥面PEB,又∵AD//BC∴BC⊥平面PEB2、如圖所示,四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形且∠DAB=600，△PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面AB