歷史相似性及其教學啟示

華東師大數(shù)學系汪曉勤歷史相似性及其教學啟示歷史相似性及其教學啟示歷史發(fā)生原理海克爾〔E.Haeckel,1843-1919〕生物發(fā)生學定律——“個體發(fā)育史重蹈種族開展史〞在教育中的應用：“個體認知的發(fā)生遵循人類認知開展的過程。〞就數(shù)學教育而言，個體數(shù)學理解的開展遵循數(shù)學思想的歷史開展順序。歷史相似性及其教學啟示…thishistoryoftheembryo(ontogeny)mustbecompletedbyasecond,equallyvaluable,andcloselyconnectedbranchofthought----thehistoryofrace(phylogeny).Bothofthesebranchesofevolutionaryscienceare,inmyopinion,intheclosestcausalconnection;thisarisesfromthereciprocalactionofthelawsofheredityandadaptation…歷史相似性及其教學啟示HerbertSpenser(1894)

對孩子的教育在方式和順序上都必須符合歷史上人類的教育，換言之，個體知識的發(fā)生必須遵循人類知識的發(fā)生過程。

歷史相似性及其教學啟示BencharaBranford(1908)我的目的是展示人類幾何知識演進的實際方式與學生最樂意與最有效吸收該經(jīng)驗的方式之間的相似性。需要特別指出的是，我并非在試圖證明人類與個體幾何知識開展的必然相似性……我所希望做的是要說明，為教育之目的，幾何學的最有效的講授方式乃是遵循科學歷史演進的順序。歷史相似性及其教學啟示人類與個體數(shù)學經(jīng)驗的開展〔BencharaBranford,1908〕歷史相似性及其教學啟示人類與個體數(shù)學經(jīng)驗的開展〔BencharaBranford,1908〕歷史相似性及其教學啟示人類與個體數(shù)學經(jīng)驗的開展〔BencharaBranford,1908〕歷史相似性及其教學啟示人類與個體數(shù)學經(jīng)驗的開展〔BencharaBranford,1908〕歷史相似性及其教學啟示人類與個體數(shù)學經(jīng)驗的開展〔BencharaBranford,1908〕歷史相似性及其教學啟示F·克萊因〔F.Klein,1849-1925〕：生物發(fā)生學的一項根本定律指出，個體的成長要經(jīng)歷種族成長的所有階段，順序相同，只是所經(jīng)歷的時間縮短?！蚁虢淌跀?shù)學和其他任何事情一樣，至少在原那么上要遵照這項定律?！茖W的教學方法只是誘導去作科學的思考，並不是一開頭就教人去碰冷漠的、經(jīng)過科學洗練的系統(tǒng)。推廣這種自然的真正科學的教學的主要障礙是缺乏歷史知識。歷史相似性及其教學啟示F·克萊因〔F.Klein,1849-1925〕歷史相似性及其教學啟示龐加萊〔H.Poincaré,1854-1912〕：動物學家堅持認為，在一個短時期內，動物胚胎的發(fā)育重蹈所有地地質年代其祖先們的開展歷史。人的思維開展似乎也是如此。教育工作者的任務就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過某些階段而不跳過任何階段。鑒于此，科學史應該是我們的指南。歷史相似性及其教學啟示龐加萊〔H.Poincaré,1854-1912〕歷史相似性及其教學啟示波利亞

只有理解人類如何獲得某些事

實或概念的知識，我們才能對

人類的孩子應該如何獲得這樣

的知識作出更好的判斷。G.Pólya〔1887-1985〕歷史相似性及其教學啟示弗賴登塔爾

年輕的學習者重蹈人類的

學習過程，盡管方式改變

了。H.Freudenthal〔1905-1990〕歷史相似性及其教學啟示弗賴登塔爾〔ICME-4,1980〕：數(shù)學史乃是一個不斷進步的系統(tǒng)化的學習過程。兒童無需重蹈人類的歷史，但他們也不可能從前人止步的地方開始。從某種意義上說，兒童應該重蹈歷史，盡管不是實際發(fā)生的歷史，而是倘假設我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會發(fā)生的歷史。H.Freudenthal(1905-1990)歷史相似性及其教學啟示弗賴登塔爾關于“歷史發(fā)生原理〞觀點歷史相似性及其教學啟示M·克萊因：

我堅信歷史順序是教學的指

南。我們無需完完全全追隨

歷史，但如果大數(shù)學家在作

出某些創(chuàng)造時遇到困難，我

們的學生也必會遇到。M.Kline(1908-1992)歷史相似性及其教學啟示M·克萊因：

數(shù)學家花了幾千年時間才理解無理數(shù)，而我們竟貿(mào)然給中學生講戴德金分割。數(shù)學家花了三百年才理解復數(shù)，而我們竟馬上就教給學生復數(shù)是一個有序實數(shù)對。數(shù)學家花了約一千年才理解負數(shù)，但現(xiàn)在我們卻只能說負數(shù)是一個有序自然數(shù)對。從伽利略到狄利克雷，數(shù)學家一直絞盡腦汁歷史相似性及其教學啟示去理解函數(shù)的概念，但現(xiàn)在卻由定義域、值域和有序對〔第一個數(shù)相同時第二個數(shù)也必須相同〕來玩弄把戲。從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達和笛卡兒，沒有一個數(shù)學家意識到字母可用來代表一類數(shù)，但現(xiàn)在卻通過簡單的集合思想馬上產(chǎn)生了集合這個概念。歷史相似性及其教學啟示皮亞杰、加西亞科學在歷史跨越過程中所做出的各種進步，不是以隨意的形式呈現(xiàn)的，而是按一定順序排列的。與心理發(fā)生一樣，是以一系列連續(xù)的“階段〞呈現(xiàn)。促成歷史時期跨越的轉化機制與那些促成心理階段跨越的轉化機制是相似的。研究之一：符號代數(shù)E.Harper(1987)研究問題：學生對符號代數(shù)的認知過程是否與符號代數(shù)的歷史開展過程相似？研究方法：測試。丟番圖?算術?：“兩數(shù)的和與差，證明這兩個數(shù)總能求出。〞被試：英國兩所文法學校1-6年級各12名學生，共144人。研究之一：符號代數(shù)G.H.Nezzelmann?希臘代數(shù)?(1842)：代數(shù)學的開展經(jīng)歷三個階段：研究之一：符號代數(shù)修辭代數(shù)解法：文字表達丟番圖的解法：設和為100，差為40，較小數(shù)為x，那么較大數(shù)為x+40。這樣就有2x+40=100，從而得x=30。因此兩數(shù)分別為30、70。韋達的解法：設和為a，差為b。又設較小數(shù)為x，那么較大數(shù)為x+b，于是2x+b=a，故得x=(a-b)/2。因此兩數(shù)分別為(a-b)/2、(a+b)/2。研究之一：符號代數(shù)1修辭的解法Jane〔二年級，12歲零8月〕：“和除以2，差除以2。和除以2的商與差除以2的商相加，得到第一個數(shù)；從和除以2的商中減去差除以2的商，得到第二個數(shù)。例如：和＝8，差＝2，8/2＝4，2/2=1，第一個數(shù)＝4+1=5；第二個數(shù)＝4-1=3。〞研究之一：符號代數(shù)2丟番圖的解法Barry〔三年級，13歲零10個月〕：x–y=2〔1〕x+y=8〔2〕〔1〕+〔2〕得2x=10，x=5。代入〔2〕得：5+y=8，y=8-5，y=3。對于任何數(shù)，你都可以這樣做。〞研究之一：符號代數(shù)

3

韋達的解法設兩數(shù)為x和y，n=x和y的和，m=x和y的差，一般的方程為n=x+y，m=x-y。兩式相加，m+n=2x。求得x，回代，求出y。研究之一：符號代數(shù)類型學生數(shù)一年級二年級三年級四年級五年級六年級修辭法444130丟番圖法013554韋達法0101620合

計46771424研究之一：符號代數(shù)研究結論：學生對符號代數(shù)的認知開展過程與符號代數(shù)的歷史開展過程具有相似性。

研究之二：角的概念Keiser(2004)

研究對象：6年級學生

研究問題：6年級學生是如何理解角概念的？他們在理解0

、180

和360

時有困難嗎？

研究方法：課堂觀察和訪談。研究之二：角的概念歷史回溯：古希臘人從關系、質和量三方面之一來定義角，歐幾里得在?幾何原本?中將角定義為“平面上兩條不在同一直在線的直線彼此之間的傾斜度〞〔關系〕。卡普斯〔Carpus〕將角定義為“包含它的兩線或兩面之間的距離〞〔量〕。而普羅克拉斯〔Proclus〕那么認為必須同時從大小〔量〕、存在研究之二：角的概念的形狀和特征〔質〕、兩條直線之間的關系三方面來定義角。但在古希臘時代，無論從哪一種定義，都未能很完善地刻劃這個概念。另外，歷史上數(shù)學家在理解0、180和360三種特殊角時遇到了困難，許多數(shù)學家給出的“角〞的定義〔其中包括希爾伯特?幾何根底?中的定義〕都不含這三種角。研究之二：角的概念研究發(fā)現(xiàn)：學生對角的理解也分成三種情形：(1)強調“質〞的方面：一些學生認為，隨著正多邊形邊數(shù)的增加，“角〞越來越小；即形狀越“尖〞的“角〞越大。(2)強調“量〞的方面：一些學生認為，邊越長或者邊所界區(qū)域越大，角越大；研究之二：角的概念(3)強調“關系〞方面：一個學生不同意把角看作“兩條射線之間的‘寬度’，他認為角是將一條邊〔終邊〕旋轉后與始邊之間的一種“關系〞。課堂上學生同樣很難理解0、180和360這三種特殊角，因為在他們的概念表像中并不存在這些角。研究之二：角的概念如Claire在研究者對她進行的訪談中對這些角提出質疑：“如果它〔180〕是一個角的話，那么它就需要有兩條邊，我看不出哪兒有兩條邊相交。〞“角有頂點以及兩條不同的線。我知道〔在180中〕有兩條直線，但你說不出頂點在哪兒。〞“〔對于360的角〕圓是沒有任何角的，所以我不研究之二：角的概念明白。〞……研究結論學生對角概念的理解具有歷史相似性。教材和學生都可以從前人理解角概念的困難中獲得諸多啟示。研究之三：平面概念K.Zormbala,C.Tzanakis研究對象：51位大學非數(shù)學專業(yè)畢業(yè)、從事各種職業(yè)的對象〔社會學家、小學教師、德文和英文教師、心理學家、律師、醫(yī)生〕研究問題：非數(shù)學專業(yè)畢業(yè)生是如何理解平面概念的？研究之三：平面概念研究方法：問卷調查。調查問題：(1)請描述什么是平面；(2)在你看來，“平面〞和“外表〞有何不同？(3)作出一個平面。研究之三：平面概念類別對平面的描述百分比歷史上數(shù)學家的定義1平面是直線恰好與其相合的表面15.9%海倫（Heron,1世紀）2平面是包含經(jīng)過其上任意兩點的直線的表面4.8%辛松（R.Simson,1687-1768）3平面是由三點及經(jīng)過它們的直線所確定的表面12.7%皮埃里（M.Pieri,1860-1930）4平面是與兩個已知點等距的點的集合1.6%萊布尼茨（G.W.Leibniz,1646-1716）5平面是一個光滑的直的表面。12.7%巴門尼德（Parmenides,前5世紀）、歐幾里得（前3世紀）研究之三：平面概念類別對平面的描述百分比歷史上數(shù)學家的定義6其他回答（如“平面由其上一點及與其垂直的一條直線完全確定”）7.9%高斯(C.F.Gauss,1777-1855)、波爾約（W.Bolyai,1775-1856）7不清楚的、邏輯循環(huán)或前后不一致的回答11.5%

8不正確的回答15.9%9不完全的回答6.3%

10具體的現(xiàn)實情境（如平靜的水面、桌面、球在其上任一點處都能保持平衡的表面）6.3%

11沒有回答4.8%研究之三：平面概念萊布尼茨辛松高斯研究之三：平面概念研究結論

被試對平面概念的理解與歷史上巴門尼德(Parme-nides,前5世紀)、海倫(Heron,1世紀)、萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646～1716)、辛松(R.Simson,1687-1768)、高斯(C.F.Gauss,1777-1855)、皮埃里(M.Pieri,1860-1930)等數(shù)學家的理解具有相似性。研究之四：實無窮概念研究問題：高中生比較無窮集合時采用何種策略？是否具有歷史相似性？研究方法：測試與訪談被試：江蘇省某中學高二、高三兩個年級各一個班，共94人。他們只具有一些初步的集合和元素的知識，尚未接觸過無窮集合的知識，也不曾閱讀過有關康托爾集合論方面的書籍。研究之四：實無窮概念實無窮測試題1、正整數(shù)集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比平方數(shù)集

{1，4，9，16，25，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道解釋你的答案。2、正整數(shù)集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比偶數(shù)集{2，4，6，8，10，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道解釋你的答案。研究之四：實無窮概念3、觀察長度分別為4厘米和6厘米的線段AB和CD，假設比較AB和CD上的點，CD上的點是否比AB上的點更多？A、是B、否C、不知道解釋你的答案。研究之四：實無窮概念

4、再觀察線段AB和CD，連接CA和DB，并延長，交于點O，設P是CD上任意一點，連接PO，交AB于P

。CD上的點是否比AB上的點更多？

A、是；B、否；C、不知道解釋你的答案。研究之四：實無窮概念5、設，，那么集合A和B是否具有同樣多的元素？A、是;B、否;C、不知道解釋你的答案。研究之四：實無窮概念

兩個集合A和B都滿足：

(1)A和B都是無窮集合；

(2)B是A的真子集；

(3)A和B的元素之間存在一一對應關系。研究之四：實無窮概念情

境題次集合A集合B算

術1正整數(shù)集平方數(shù)集2正整數(shù)集偶數(shù)集幾何3線段CD線段AB4線段CD線段AB算術＋幾何5區(qū)間

[0,2]區(qū)間[0,1]研究之四：實無窮概念研究發(fā)現(xiàn)：學生比較無窮集合所用的策略類型1集合A與集合B中的元素個數(shù)均為無窮，所以元素一樣多。類型2集合A與集合B的元素都是無窮多，無法比較。類型3集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。類型4集合A與B之間存在一一對應關系，兩個集合中的元素一樣多。研究之四：實無窮概念歷史相似性古希臘G.Galilei(1638)：Dialoguesconcerningtwonewsciences：兩條不相等的線段AB和CD上的點可以構成一一對應；正整數(shù)集和正整數(shù)平方所構成的集合之間可以建立一一對應關系。伽利略沒能解決局部與整體“相等〞的矛盾。他認為無窮大量都是一樣的，不能比較大小，即不能將“大于〞、“小于〞和“等于〞這樣的詞用于無窮大量。研究之四：實無窮概念19世紀，高斯〔C.F.Gauss,1777-1855〕、柯西〔A.L.Cauchy,1789-1857〕、魏爾斯特拉斯〔K.Wierestrass,1815-1897〕等都無法接受無窮集合，因為它們和伽利略一樣，無法解決“局部等于整體〞這個矛盾。波爾察諾〔B.Bolzano,1781-1848〕ParadoxesoftheInfinite：包含關系準那么－－“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素。〞研究之四：實無窮概念康托爾〔G.Cantor,1845-1918〕創(chuàng)立集合論，將實無窮作為一個概念引入數(shù)學。他定義了“勢〞這個概念〔或稱“基數(shù)〞〕，并提出比較兩個無窮集合的一一對應準那么：“兩個集合A和B具有相同的勢〔基數(shù)〕，當且僅當在A和B之間存在一一對應。〞研究之四：實無窮概念研究結論

高中生對實無窮的理解、困惑以及所用的策略與歷史上的數(shù)學家，如亞里士多德、伽利略、波爾察諾等的理解、困惑以及所用策略是相似的，因而對實無窮概念而言，歷史發(fā)生原理是成立的。研究之五：虛數(shù)與發(fā)散級數(shù)研究問題：中學生對虛數(shù)和發(fā)散級數(shù)的理解是否具有歷史相似性？研究方法：測試被試：江蘇揚州某中學高一3個班級共155名學生，他們在學校里都沒有學過復數(shù)和無窮級數(shù)概念。研究之五：虛數(shù)與發(fā)散級數(shù)(1)瑞士大數(shù)學家歐拉〔L.Euler,1707～1783〕曾經(jīng)遇到這樣的題目：求。歐拉的結果是：。丹麥著名數(shù)學家鄒騰〔H.G.Zeuthen,1839～1920〕在大學考試中也遇到類似題目：求。鄒騰的答案是。你認為歐拉和鄒騰的答案對嗎？請發(fā)表任何評論。研究之五：虛數(shù)與發(fā)散級數(shù)(2)1703年，意大利數(shù)學家格蘭第〔G.Grandi,1671～1742〕研究了的和〔有無窮多個加數(shù)，1和-1交替出現(xiàn)〕。你能求出這個和嗎？研究之五：虛數(shù)與發(fā)散級數(shù)第1題結果答

案歐拉和鄒騰都不對歐拉和鄒騰都對歐拉錯，鄒騰對歐拉對，鄒騰錯對錯不明確人數(shù)7461956百分比47.7%39.4%5.8%3.2%3.9%研究之五：虛數(shù)與發(fā)散級數(shù)第2題結果答案0或101/2-1或0

n,n-1,2n不能求解未給答案人數(shù)901510763195百分比58.1%9.7%6.5%4.5%3.8%1.9%12.3%3.2%研究之五：虛數(shù)與發(fā)散級數(shù)研究結論就虛數(shù)和無窮級數(shù)概念而言，學生的認知過程重蹈歷史開展過程。本研究支持了F·克萊因、龐加萊、波利亞、弗賴登塔爾、M·克萊因這些論斷。研究之六：函數(shù)概念研究問題：高中生是如何理解函數(shù)概念的？是否具有歷史相似性？研究方法：測試與訪談。用自己的語言描述什么是函數(shù)。被試：洛陽某中學高一和高三兩個年級的局部學生，其中高一122人，高三116人。研究之六：函數(shù)概念類別定

義高一高三總計A變量的對應關系59（48.4%）19（16.4%）78（32.8%）B集合的對應關系6（4.9%）20（17.2%）26（10.9%）C映

射0（0）20（17.2%）20（8.4%）D解析式11（9.0%）7（6.0%）18（7.6%）E運算9（7.4%）8（6.9%）17（7.1%）F變量的依賴關系3（2.5%）10（8.6%）13（5.5%）G圖像5（4.1%）7（6.0%）12（5.0%）H模糊或錯誤的定義14（11.4%）9（7.9%）23（9.7%）I其它6（4.9%）8（6.9%）14（5.9%）J未回答9（7.4%）8（6.9%）17（7.1%）研究之六：函數(shù)概念類別對函數(shù)的理解歷史上的代表數(shù)學家1運算格雷戈里（1667）2解析式伯努利（1696、1718）；歐拉（1748）；拉格朗日（1797）；布爾（1854）3曲線（圖像）歐拉（1748）4變量的依賴關系萊布尼茨（1714）；歐拉（1755）；拉克洛瓦（1797）；柯西（1821、1823）；羅巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；斯托克斯（1847）5變量的對應關系孔多塞（1778）；傅立葉（1822）；羅巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；黎曼（1851）；漢克爾（1870）；哈代（1908）；古爾薩（1923）6映

射戴德金（1887）7集合的對應關系坦納里（1904）；卡拉泰奧多里（1917）；維布倫（20世紀）；布爾巴基（1939）8序偶集皮亞諾（1911）；豪斯多夫（1914）；布爾巴基（1939）研究之六：函數(shù)概念研究結論

盡管中學生已經(jīng)學過函數(shù)概念，但他們對函數(shù)的理解卻是多種多樣的，與17世紀以后到20世紀上葉不同時空數(shù)學家的理解有著高度的相似性。研究之七：數(shù)的大小關系Thomaidis,Y.Tzanakis,C.研究問題：中學生對負數(shù)的大小關系的理解是否具有歷史相似性？研究方法：測試。被試：16歲初中生〔第一組30人，測試安排在即將開始學不等式解法之時；第二組28人，測試安排在剛學完同一內容之時，兩組被試均已學過實數(shù)大小關系、不等式根本性質、絕對值和平方根〕。研究之七：數(shù)的大小關系測試題：(1)不等式x2>9〔或x2<9〕的解是什么？(2)假設x2<y2〔或x2>y2〕，那么x和y的關系如何？(3)設a、b和c為三個負整數(shù)，那么要使三者變成正數(shù)，所需加上的最小整數(shù)是多少？研究之七：數(shù)的大小關系x2>9x2<y2最小整數(shù)正確8(27%)2(7%)7(23%)不完整--6(20%)6(20%)錯誤22(73%)19(63%)9(30%)空白--3(10%)8(27%)第1組測試結果統(tǒng)計(N=30)研究之七：數(shù)的大小關系x2<9x2>y2最小整數(shù)正確9(32%)3(11%)3(11%)不完整--2(7%)6(21%)錯誤19(68%)20(71%)9(32%)空白--3(11%)10(36%)第2組測試結果統(tǒng)計(N=28)研究之七：數(shù)的大小關系類別解法人數(shù)正誤A平方根與絕對值511112

不等式x2>9的解法〔第1組〕研究之七：數(shù)的大小關系類別解法人數(shù)正誤B因式分解4F直接給出答案33111不等式x2>9的解法〔第1組〕研究之七：數(shù)的大小關系類別解法人數(shù)正誤G文字表達1.小于-3且大于3的數(shù)12.不能取-3和3之間的數(shù)，故11

4.除去-3,-2,-1,0,1,2,3,15.大于3的數(shù)及其相反數(shù)1

1

不等式x2>9的解法〔第1組〕研究之七：數(shù)的大小關系類別解法人數(shù)正誤A平方根1111B因式分解5不等式x2<9的解法〔第2組〕研究之七：數(shù)的大小關系類別解法人數(shù)正誤C因式分解與符號表2

D解相應方程511

1不等式x2<9的解法〔第2組〕研究之七：數(shù)的大小關系類別解法人數(shù)正誤E利用三項式符號法則3

F直接回答211

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不等式x2<9的解法〔第2組〕研究之七：數(shù)的大小關系類別解法人數(shù)正誤F直接回答11不等式x2<9的解法〔第2組〕研究之七：數(shù)的大小關系研究結論學生對負數(shù)大小關系的理解、存在的困難和所犯的錯誤與歷史上數(shù)學家的理解、錯誤與困難是相似的。但這種相似性受到今天教學因素的影響，故不能說是“嚴格的相似〞。歷史相似性及其教學啟示Furinghetti:將數(shù)學史用于數(shù)學教學的過程案例1三角形內角和定理案例2相似三角形的應用時間作者或著作工作相似三角形性質前2000年？巴比倫祭司分割直角三角形面積之比等于對于邊平方比前6世紀泰勒斯測量金字高度及輪船與海岸距離對應邊成比例前6世紀歐帕里諾斯開掘直線穿山隧道對應角相等前2世紀周髀算經(jīng)測量太陽直徑對應邊成比例1世紀九章算術遠距離測量對應邊成比例案例2相似三角形的應用案例2相似三角形的應用案例2相似三角形的應用案例2相似三角形的應用案例2相似三角形的應用隧道全長1036米，寬1.8米，高1.8米案例2相似三角形的應用薩莫斯島上的穿山隧道(前530年)案例2相似三角形的應用泰勒斯是如何測量金字塔高度的？Thales(about624BC-about547BC)案例2相似三角形的應用泰勒斯是如何測量輪船離海岸距離的？案例3一元二次方程的概念案例3一元二次方程的概念例1矩形面積為12，寬為長的3/4。問該矩形的長、寬各為多少？〔埃及紙草書〕例2矩形面積為60，長比寬多7。問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程。例3矩形面積為60，長比寬多7。長寬之和為17，問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程?！舶捅葌惸喟妗嘲咐?一元二次方程的概念例4長為30英尺的梯子豎直靠在墻上，當梯子的頂端沿墻向下滑動6英尺時，底端離墻滑動多遠？例5在例3中，如果梯子的頂端沿墻再一次向下滑動6英尺，那么底端將再一次滑動多遠？試列出底端再一次滑動的距離所滿足的方程。案例3一元二次方程的概念例6如圖，有一所正方形的學校，南門和北門各開在南、北面圍墻的正中間。在北門的正北方20米處有一顆大榕樹。一個學生從南門出來，朝正南方走14米，然后轉向西走1775米，恰好見到學校北面的大榕樹。問這所學校每一面圍墻的長度是多少？試列出方程。案例3一元二次方程的概念案例4解一元二次方程的因式分解法哈里奧特〔T.Harriot,1560-1621〕：案例4解一元二次方程的因式分解法笛卡兒〔R.Descartes,1596-1690〕?幾何學?〔1637〕：將一元一次方程x-2=0和x-3=0相乘，得一元二次方程，它的兩個根為2和3。借鑒歷史，教師可以先給出下面的例子。例1解以下方程：〔1〕(x-4)(x+4)=0；〔2〕(x-3)(x-4)=0；〔3〕(2x+3)(x-1)=0。案例4解一元二次方程的因式分解法在得到諸方程的根之后，教師進一步問：上面三個方程是否一元二次方程？讓學生將方程左邊展開，得到一般形式的一元二次方程之后，讓學生思考：對于一般的一元二次方程，我們能否反過來把左邊分解成兩個一次因式的乘積，從而得出兩個根呢？例2解以下方程：〔1〕；〔2〕。案例5二元一次方程組的概念例1、列一元一次方程，解以下各文字題：〔1〕長方形的長和寬的1/4倍之和等于7，長、寬之和等于10。求長和寬?！补虐捅葌惸喟妗场?〕兩塊地共1畝，第一塊地畝產(chǎn)4擔糧食，第二塊地畝產(chǎn)3擔糧食。第一塊地的產(chǎn)量比第二塊的產(chǎn)量多擔。問：兩塊地的面積各為多少？〔古巴比倫泥版〕案例5二元一次方程組的概念〔3〕每立方寸玉重7兩；每立方寸石重6兩?，F(xiàn)有一塊邊長為3寸的立方石塊，其中含有玉，總重11斤。問：這塊立方石塊所含玉、石的重量各為多少？〔中國?九章算術?〕〔4〕兩數(shù)之和為100，差為40，求這兩個數(shù)。〔丟番圖?算術?〕案例5二元一次方程組的概念〔5〕某人工作1月〔30天〕，得7比贊〔古羅馬貨幣〕；怠工一月，付給工頭4比贊。月末，他從工頭處得到1比贊。問：此人工作幾天？怠工幾天？〔斐波納契?計算之書?〕〔6〕為了鼓勵兒子學好算術，兒子每做對一道題，父親給他8分錢；做錯一道題，罰5分錢。做完26道題后，誰也不用給誰錢。問：兒子做對了幾道題？〔克拉維斯?代數(shù)?〕案例5二元一次方程組的概念教師先讓學生解上述諸題，然后讓學生答復：所選擇的未知量是什么？另一個量是什么？如何表示？根據(jù)題意得到怎樣的一元一次方程？最后，教師作出總結，如下表所示。案例5二元一次方程組的概念題次未知量另一個量一元一次方程（1）長方形的長（x）（2）第一塊地的面積（x）（3）玉的體積（x）（4）較小的數(shù)（x）（5）工作天數(shù)（x）（6）做對題數(shù)（x）案例5二元一次方程組的概念接著，教師讓學生思考：上面六個問題各涉及兩個量，我們在求解的時候，只設其中一個為x，而另一個量那么根據(jù)題設的其中一個數(shù)量關系，用x來表示，最后利用另一個數(shù)量關系，得到關于x的一元一次方程。如果我們把另一個量也看作未知量，并設為y，情形又如何呢？在學生討論之后，讓他們答復：兩個未知量分別是什么？根據(jù)題意可得怎樣的等式？有幾個等式？案例5二元一次方程組的概念題次未知量之一未知量之二方程一方程二（1）長方形長（x）長方形的寬（y）（2）第一塊地面積（x）第二塊地面積（y）（3）玉的體積（x）石的體積（y）（4）較小的數(shù)（x）較大的數(shù)（y）（5）工作天數(shù)（x）怠工天數(shù)（y）（6）做對題數(shù)（x）做錯題數(shù)（y）案例5二元一次方程組的概念例2、閱讀以下問題，設未知數(shù)，分別列出一元一次方程和二元一次方程組：〔1〕有一位行人黃昏經(jīng)過一個樹林，忽聽得林間有人在說話，細聽方知是一群竊賊在討論分贓之事。只聽得竊賊說：“每人6匹，那么多出5匹；每人7匹，那么又少了8匹。〞問：共有幾個竊賊，幾匹贓物？〔高彥休?唐闕史?〕〔2〕假設干人共同出錢購物，假設每人出8元，那么多了3元；假設每人出7元，那么又少了4元。問：共有幾個人？物價是多少？〔?九章算術?〕案例6三角公式眾所周知，今天的數(shù)學課本是用比來定義三角函數(shù)的。但在漫長的歷史長河中，數(shù)學家和天文學家所用的三角函數(shù)都不過是于一條線段而已。六種三函數(shù)的起源如下表所示。案例6三角公式三角函數(shù)起源符號或譯名數(shù)學/天文學家地區(qū)時代正弦半弦jyāAryabhata印度6世紀余弦余角半弦kotijyāAryabhata印度6世紀正切轉影umbra

versaHabashal-Hasib阿拉伯9世紀余切直影umbra

rectaHabashal-Hasib阿拉伯9世紀正割直角三角形斜邊hypotenusaAbu’l-Wefa阿拉伯10世紀余割直角三角形斜邊hypotenusaAbu’l-Wefa阿拉伯10世紀案例6三角公式阿布·韋發(fā)〔Abu’l-Wefa,940～998〕：案例6三角公式雷提庫斯〔G.J.Rheticus,1514-1576〕拋棄了傳統(tǒng)的把三角函數(shù)定義，轉而將三角函數(shù)看作是角的函數(shù)，并利用直角三角形中三邊來定義六種函數(shù)。他將正弦、余弦、余割分別稱為perpendiculum、basis和hypotenusa。他知道下面的關系：案例6三角公式韋達〔F.Viète,1540～1603〕他給出了同角三角函數(shù)更多的關系式：案例6三角公式案例6三角公式帕普斯〔Pappus,3世紀末〕?數(shù)學匯編?案例6三角公式案例7

等比數(shù)列求和萊因得紙草書〔約公元前1650年〕案例7

等比數(shù)列求和萊因得紙草上的等比數(shù)列問題

案例7

等比數(shù)列求和

案例7

等比數(shù)列求和歐幾里得?幾何原本?〔公元前3世紀〕第9卷命題35

案例7

等比數(shù)列求和

案例7

等比數(shù)列求和等比數(shù)列求和公式的幾何探求

案例8

二次冪和阿爾·海賽姆〔Al-Haitham,965～1039〕：10-11世紀波斯數(shù)學家案例8

二次冪和

案例8

二次冪和吉爾森〔R.LeviBenGershon,1288-1344〕?計算者之書?(MaasehHoshev)案例8

二次冪和邊長分別為1、2、3、…n的n個正方形面積之和即為二次冪和案例8

二次冪和吉爾森公式的幾何圖示：擴縮法案例8

二次冪和案例8

二次冪和三角形法案例8

二次冪和案例8

二次冪和案例8

二次冪和案例8

二次冪和體積法案例8

二次冪和案例9三次冪和阿爾·卡克西〔Al-Karkhi,953～1029〕案例9三次冪和階梯法案例10復數(shù)之引入課本的引入x2+1=0〔〕(在初中，老師告訴我們，負數(shù)沒有平方根；現(xiàn)在，老師又說了，到底怎么回事？難道方程非要有根不可嗎？郁悶??！)案例10復數(shù)之引入x3＋px＝q邦貝利〔4，〕

、案例10復數(shù)之引入萊布尼茨：x2+y2=2,xy=2萊布尼茨驚嘆：“在一切分析中，我從來沒有見過比這更奇異、更矛盾的事實了。我覺得自己是第一個不通過開方而將虛數(shù)形式的根化為實數(shù)值的人。〞案例10復數(shù)之引入惠更斯〔C.Huygens,1629～1695〕的驚訝：“含有虛數(shù)的不可開根相加結果竟就是一個實數(shù)，你的這一結果令人驚訝，前所未有。人們決不相信會等於，這里面隱藏著我們無法理解的東西。〞案例10復數(shù)之引入迄今為止，同學們一直都在實數(shù)的海洋里遨游。那么，有沒有實數(shù)之外的數(shù)呢？請大家探索以下問題：，，(1)求x+y；(2)分別求x和y。案例11曲線的切線為什么需要求曲線的切線？講解17世紀數(shù)學家遇到的三類問題光的反射；曲線運動；曲線交角笛卡兒：“切線問題是我所知道的、甚至也是我一直想要知道的最有用的、最一般的問題。〞案例11曲線的切線如何求曲線的切線？

讓學生回憶或思考：圓的切線是如何定義的？

案例11曲線的切線給出三次曲線和正弦曲線的切線；

案例11曲線的切線案例11曲線的切線引入17世紀數(shù)學家的作圖法：案例11曲線的切線案例11曲線的切線最后，給出現(xiàn)代求法。歷史相似性及其教學啟示結論

數(shù)學歷史為數(shù)學教學提供了新視角。為了將數(shù)學史融入數(shù)學教學，數(shù)學教師在進行教學設計時有必要研究歷史專題、了解歷史脈絡、借鑒歷史順序、運用歷史資料。歷史相似性及其教學啟示教師首先需要了解所教概念的歷史開展過程，并確定歷史開展過程中的假設干關鍵環(huán)節(jié)，一個環(huán)節(jié)開展到下一個環(huán)節(jié)的動因是什么？數(shù)學家遇到何種困難和障礙？在此根底上，重構這些環(huán)節(jié)，設計出一系列由易至難、環(huán)環(huán)相扣的問題情境〔可以是歷史上的問題或改編的問題〕，實施于課堂。歷史相似性及其教學啟示設想將師范課程?數(shù)學史?改為?數(shù)學史與數(shù)學教育?，或?數(shù)學史與數(shù)學教學設計?歷史相似性及其教學啟示值得研究的假設干案例〔高中局部〕1、對數(shù)概念的開展與引入2、極限概念的開展與引入3、函數(shù)概念的開展與引入4、算法概念的開展與引入5、數(shù)列單元的HPM教學設計〔以古代數(shù)學文本中的數(shù)列問題為根本材料〕歷史相似性及其教學啟示6、數(shù)列單元的HPM教學設計7、等可能事件的概率HPM教學設計8、圓錐曲線單元的HPM教學設計9、數(shù)學期望的HPM教學設計10、和角公式單元的教學設計11、空間向量的坐標運算單元的教學設計12、歐拉定理的教學設計歷史相似性及其教學啟示References[1]Fauvel,J.1991.UsinghistoryinMathematicsEducation.FortheLearningofMathematics.11(2):3-6.[2]Harper,E.1987.GhostsofDiophantus.EducationalStudiesinMathematics,18:75-90歷史相似性及其教學啟示[3]Bagni,G.T.2000.Difficultieswithseriesinhistoryandintheclassroom.In:Fauvel,J.&vanMaanen,J.(eds.).Historyinmathematicseducation.Dordrecht:KluwerAcademicPublishers,82-85[4]Keiser,J.M.2004.Struggleswithdevelopingtheconceptofangle:comparingsixth-gradestudents’discoursetothehistoryofangleconcept.Mathema-ticalThinkingandLearning,6(3):285-306歷史相似性及其教學啟示[5]Zormbal