高中數(shù)學同步講義（人教A版必修一）：第17講 3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲担▽W生版）

第03講3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲嫡n程標準學習目標①理解單調(diào)函數(shù)的定義，理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性的定義．②掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟．③掌握函數(shù)單調(diào)區(qū)間的寫法.④理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.⑤.會借助單調(diào)性求最值.⑥掌握求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．通過本節(jié)課的學習，要求掌握函數(shù)單調(diào)性的證明，會求常用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大與最小值.并能通過函數(shù)的單調(diào)性求待定參數(shù)的值.知識點01：函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)與減函數(shù)1.1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).1.2減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).2、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間．3、常見函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)（）當時，在上單調(diào)遞增當時，在上單調(diào)遞減反比例函數(shù)（）當時，在和上單調(diào)遞減當時，在和上單調(diào)遞增二次函數(shù)（）對稱軸為當時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增當時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減知識點02：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明1、定義法：一般用于證明，設(shè)函數(shù)，證明的單調(diào)區(qū)間為①取值：任取，，且；②作差：計算；③變形：對進行有利于符號判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需討論參數(shù)；④定號：通過變形，判斷或（），如有必要需討論參數(shù)；⑤下結(jié)論：指出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性2、圖象法一般通過已知條件作出函數(shù)的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.3、性質(zhì)法（1）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與在給定區(qū)間上的單調(diào)性相反；（2）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；（3）和的公共定義區(qū)間，有如下結(jié)論；增增增不確定增減不確定增減減減不確定減增不確定減【即學即練1】（2023春·青海西寧·高二?？奸_學考試）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，理由見詳解【詳解】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減；理由如下：取，規(guī)定；則因為，所以所以所以函數(shù)在上單調(diào)遞減知識點03：函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在實數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱是函數(shù)的最大值；2、最小值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在實數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱是函數(shù)的最小值；知識點四：復合函數(shù)的單調(diào)性（同增異減）一般地，對于復合函數(shù)，單調(diào)性如下表示，簡記為“定義域優(yōu)先，同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性相同時，復合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性不同時，復合函數(shù)為減函數(shù)：：令：和增增增增減減減增減減減增【即學即練2】（2023·全國·高三專題練習）當時，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，因為，所以，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，故，當時，即，所以，所以函數(shù)的值域為：.故選：C．題型01定義法判斷或證明函數(shù)單調(diào)性【典例1】（2023·高一課時練習）下列有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的說法，不正確的是（

）A．若為增函數(shù)，為增函數(shù)，則為增函數(shù)B．若為減函數(shù)，為減函數(shù)，則為減函數(shù)C．若為增函數(shù)，為減函數(shù)，則為增函數(shù)D．若為減函數(shù)，為增函數(shù)，則為減函數(shù)【典例2】（2023秋·廣東·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，且，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．【變式1】（2023秋·高一課時練習）求證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【變式2】（2023春·新疆烏魯木齊·高一新疆師范大學附屬中學校考開學考試）設(shè)函數(shù)．（1）用定義證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)；【變式3】（2023·全國·高一專題練習）求證：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．題型02求函數(shù)單調(diào)區(qū)間【典例1】（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中校考階段練習）函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B．C．， D．【變式1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一校考開學考試）如圖是函數(shù)的圖象，則函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B． C． D．題型03復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間【典例1】（2023·高一課時練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·海南海口·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和【變式1】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．題型04根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【典例1】（2023秋·四川達州·高一?？茧A段練習）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______【典例2】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則整數(shù)的取值可以為（）A． B． C．0 D．1【變式1】（2023春·青海西寧·高二?？奸_學考試）已知在上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．【變式2】（2023·全國·高一專題練習）“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型05根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【典例1】（2023秋·高一課時練習）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B．(2，3)C．(1，2) D．(1，3)【典例2】（2023春·廣東深圳·高二深圳市高級中學?？奸_學考試）已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù),滿足,且當時,.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;(2)若,解不等式.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)y＝f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(2m－3)>f(－m)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)【變式2】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則的取值范圍是______．題型06根據(jù)單調(diào)性（圖象）求最值或值域【典例1】（多選）（2023秋·云南怒江·高一?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域為，其圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．的單調(diào)遞減區(qū)間為B．的最大值為C．的最小值為D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【典例2】（2023春·重慶·高二統(tǒng)考階段練習）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求實數(shù)a，b，并確定函數(shù)的解析式；（2）判斷在（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（3）寫出的單調(diào)減區(qū)間，并判斷有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值．（本小問不需要說明理由）【變式1】（2023·全國·高一專題練習）設(shè)對任意的有，且當時，.(1)求證是上的減函數(shù)；(2)若，求在上的最大值與最小值.【變式2】（2023秋·高一單元測試）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)(1)求實數(shù)的值，判斷函數(shù)在,上的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在,上的最大值和最小值．題型07根據(jù)函數(shù)的最值（值域）求參數(shù)【典例1】（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)在時有最大值為，則的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)，它的最大值為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【典例4】（2023·全國·高一專題練習）已知(1)根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)(2)若函數(shù)（）的最大值與最小值之差為1，求實數(shù)的值【變式1】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）設(shè)若是的最小值，則的取值范圍是.【變式1】（2023秋·江西宜春·高一?？计谀┮阎瘮?shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)若在區(qū)間上有最大值3，求實數(shù)的值.題型08二次函數(shù)最值問題（含參）【典例1】（2023·高一課時練習）已知函數(shù)的表達式，若，求函數(shù)的最值．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知二次函數(shù)滿足，且．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【變式1】（2022秋·寧夏銀川·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)（）的最小值為–1．(1)求實數(shù)a的值；(2)當，時，求函數(shù)的最小值．【變式2】（2022秋·陜西西安·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值【變式3】（2022秋·廣東深圳·高一深圳市高級中學?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，求時的最小值．題型09函數(shù)不等式恒成立問題【典例1】（2023秋·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學?？计谥校┮阎?(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，解不等式.【典例2】（2023·江蘇·高一專題練習）已知函數(shù)，(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若對任意的時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式1】（2023·高一課時練習）已知函數(shù).(1)若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.題型10函數(shù)不等式有解問題【典例1】（2023·高一課時練習）已知函數(shù)(1)解關(guān)于的不等式；(2)已知，當時，若對任意的，總存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上的最大值為3，最小值為．(1)求的解析式；(2)若，使得，求實數(shù)的取值范圍．【變式1】（2023·高一單元測試）若存在實數(shù)，使得不等式成立，求x的取值范圍．【變式2】（2023·高一課時練習）已知，其中為常數(shù)．(1)若的解集為或，求的值；(2)使，求實數(shù)的取值范圍．題型11重點方法（分類討論）【典例1】（2023·高一課時練習）定義一種運算，設(shè)（t為常數(shù)），且，則使函數(shù)最大值為4的值是__________．【典例2】（2023·全國·高三對口高考）設(shè)的定義域為，對于任意實數(shù)，則的最小值__________．題型12數(shù)學思想方法（數(shù)形結(jié)合）【典例1】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．3.2.1單調(diào)性與最大（小）值A(chǔ)夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）在區(qū)間(0，＋∞)上不是增函數(shù)的函數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇揚州·高一期末）的圖象大致是（

）A．B．C．D．3．（2023秋·高一課時練習）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇·高一專題練習）關(guān)于的不等式的解集為，且不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）已知函數(shù)若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的值域為，則a的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023秋·高一課時練習）已知函數(shù)，對于任意的恒成立，則實數(shù)的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（2023春·廣東河源·高一龍川縣第一中學?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023春·甘肅武威·高一統(tǒng)考開學考試）下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．10．（2023秋·高一課時練習）下列函數(shù)中滿足“對任意，∈(0,＋∞)，都有＞0”的是(

)A．＝－ B．＝－3＋1C．＝＋4＋3 D．＝－三、填空題11．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)是上的嚴格減函數(shù)，則的取值范圍是______．12．（2023春·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學?？计谥校┖瘮?shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________.四、解答題13．（2023·高一課時練習）已知在上的圖像如圖所示.（1）指出的單調(diào)區(qū)間.（2）分別指出在區(qū)間及上的最大、最小值.14．（2023·高一課時練習）己知函數(shù)為定義在上的減函數(shù)，且，試求實數(shù)m的取值范圍．15．（2023·全國·高三專題練習）利用定義證明函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).B能力提升1．（2023·全國·高三對口高考）對于任意，函數(shù)的值恒大于零，則x的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023·北京·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，存在常數(shù)，使得對任意，都有，當時，．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則t的最小值為（