天津市大白高中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

天津市大白高中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．饕餮（tāotiè）紋，青銅器上常見的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現(xiàn)在距今五千年前長(zhǎng)江下游地區(qū)的良渚文化玉器上．有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為，有一點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經(jīng)過(guò)次跳動(dòng)后恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的概率為（）A. B.C. D.2．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到直線的距離為（）A. B.C. D.3．已知命題P：，，則命題P的否定為（）A.， B.，C.， D.，4．給出如下四個(gè)命題正確的是（）①方程表示的圖形是圓；②橢圓的離心率；③拋物線的準(zhǔn)線方程是；④雙曲線的漸近線方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④5．曲線與曲線的（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等 D.焦距相等6．過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線的方程為（）A. B.C. D.7．如圖，在直三棱柱中，，，E是的中點(diǎn)，則直線BC與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.8．已知兩圓相交于兩點(diǎn)，，兩圓圓心都在直線上，則值為（）A. B.C. D.9．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則數(shù)列（）A.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列10．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.11．已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，并交軸于點(diǎn)．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.12．設(shè)異面直線、的方向向量分別為，，則異面直線與所成角的大小為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若，則的值為__________14．已知數(shù)列滿足，，則______.15．已知直線，圓，若直線與圓相交于兩點(diǎn),則的最小值為______16．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，直線交拋物線E于兩點(diǎn)（1）求E的方程；（2）若以BC為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，求直線l的方程18．（12分）在等差數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，S9=81，，求：（1）Sn；（2）若S3、、Sk成等比數(shù)列，求k20．（12分）已知圓：與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過(guò)A的直線交拋物線于B，C兩點(diǎn)，且.（1）證明：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為定值；（2）若點(diǎn)C在圓內(nèi)，且過(guò)點(diǎn)C與垂直的直線與圓交于D，E兩點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積的最大值.21．（12分）已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）的右頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，，求面積的最大值.22．（10分）在水平桌面上放一只內(nèi)壁光滑的玻璃水杯，已知水杯內(nèi)壁為拋物面型（拋物面指拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的面），拋物面的軸截面是如圖所示的拋物線.現(xiàn)有一些長(zhǎng)短不一、質(zhì)地均勻的細(xì)直金屬棒，其長(zhǎng)度均不小于拋物線通徑的長(zhǎng)度（通徑是過(guò)拋物線焦點(diǎn)，且與拋物線的對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的弦），若將這些細(xì)直金屬棒，隨意丟入該水杯中，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)細(xì)棒重心最低時(shí)，達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)細(xì)棒交匯于一點(diǎn).（1）請(qǐng)結(jié)合你學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，猜想細(xì)棒交匯點(diǎn)的位置；（2）以玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系.設(shè)玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線方程為，將細(xì)直金屬棒視為拋物線的弦，且弦長(zhǎng)度為，以細(xì)直金屬棒的中點(diǎn)為其重心，請(qǐng)從數(shù)學(xué)角度解釋上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】本題首先可根據(jù)題意列出次跳動(dòng)的所有基本事件，然后找出沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的事件，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，次跳動(dòng)的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的事件有：（下，下，右），故到達(dá)點(diǎn)的概率，故選：B.2、C【解析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合余弦定理即同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求得，因此可得，進(jìn)而可得直線到直線的距離；【詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線到直線的距離，在三角形中，由余弦定理得因?yàn)椋允卿J角，所以，在直角三角形中，，故直線到直線的距離為；故選：C3、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定變換形式即可得出結(jié)果【詳解】命題：，，則命題的否定為，故選：B4、A【解析】對(duì)選項(xiàng)①，根據(jù)圓一般方程求解即可判斷①錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)②，求出橢圓離心率即可判斷②錯(cuò)誤，對(duì)③，求出拋物線漸近線即可判斷③正確，對(duì)④，求出雙曲線漸近線方程即可判斷④錯(cuò)誤?！驹斀狻繉?duì)于①選項(xiàng)，，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②選項(xiàng)，由題知，所以，所以離心率，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③選項(xiàng)，拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得拋物線，故準(zhǔn)線方程是，故③正確；對(duì)于④選項(xiàng)，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以，焦點(diǎn)在軸上，故漸近線方程是，故④錯(cuò)誤.故選：A5、D【解析】分別求出兩曲線表示的橢圓的位置，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率和焦距，比較可得答案.【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6，離心率為,焦距為8,曲線焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為,焦距為,故選：D6、B【解析】根據(jù)平行設(shè)直線方程，代入點(diǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入直線方程得到，解得.故直線方程為：.故選：B.7、D【解析】以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出答案.【詳解】解：由題意知，CA，CB，CC1兩兩垂直，以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得.因?yàn)椋裕手本€BC與平面所成角的正弦值為.故選：D.8、A【解析】由相交弦的性質(zhì)，可得與直線垂直，且的中點(diǎn)在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得的值，即可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線方程可得；進(jìn)而將、相加可得答案【詳解】根據(jù)題意，由相交弦的性質(zhì)，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點(diǎn)在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得，則，故中點(diǎn)為，且其在直線上，代入直線方程可得，1，可得；故；故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓和圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意利用平面幾何圓的知識(shí)來(lái)分析解答.9、B【解析】根據(jù)與的關(guān)系求出通項(xiàng)，然后可知答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的通項(xiàng)公式為，數(shù)列為等差數(shù)列同理，由等比數(shù)列定義可判斷數(shù)列不是等比數(shù)列.故選：B10、D【解析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.11、A【解析】由條件建立a，b，c的關(guān)系，由此可求離心率的值.【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.12、C【解析】利用空間向量夾角的公式直接求解.【詳解】，，，.由異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成的角為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解析】由拋物線的定義根據(jù)題意可知求得p,代入拋物線方程,分別求得y1,y2的值,即可求得y12+y2的值【詳解】由拋物線的定義可得，依據(jù)題設(shè)可得，則（舍去負(fù)值），故，故填.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義和性質(zhì)，利用已知相等關(guān)系求解拋物線方程，然后求解已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)，解題中需要熟練拋物的定義和性質(zhì)，靈活應(yīng)用.14、1023【解析】由數(shù)列遞推公式求特定項(xiàng)，依次求下去即可解決.【詳解】數(shù)列中，則，，，，，，故答案為：102315、【解析】求出直線過(guò)的定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線垂直于直線時(shí)，取得最小值，結(jié)合即可求解.【詳解】由題意知，圓，圓心，半徑，直線，，，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，則，可知當(dāng)距離最大時(shí)，有最小值，由圖可知，時(shí)，最大，此時(shí)，此時(shí).故的最小值為.故答案為：.16、【解析】求導(dǎo)，求出切線斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線方程，化簡(jiǎn)即可.【詳解】，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)利用橢圓的焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，列出方程求解即可(2)設(shè)，、，，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理，通過(guò)，求出，得到直線方程【小問(wèn)1詳解】由題意知：，，∴的方程是【小問(wèn)2詳解】設(shè)，、，，由題意知，由，得，∴，，，∵以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，∴，即，∴，解得，∴直線的方程是18、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；(2)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.詳解】（1）∵，∴，即∴（2）由（1）可得，即.利用累加法得【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.19、（1）Sn=n2（2）11【解析】(1)由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與下標(biāo)和性質(zhì)先求，然后結(jié)合可解；(2)由(1)中結(jié)論和已知列方程可解.【小問(wèn)1詳解】由，解得，又∵，∴，，∴【小問(wèn)2詳解】∵S3，S17–S16，Sk成等比數(shù)列，∴S3Sk=(S17–S16)2=，即9k2=332，解得：k=1120、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合，得到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）所設(shè)，表示出弦長(zhǎng)，再求出，進(jìn)而表示出四邊形ADBE的面積，據(jù)此求其最大值,【小問(wèn)1詳解】由題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線：，，，聯(lián)立，得，則，即，由韋達(dá)定理得，由，即，得，即，代入，得或，又拋物線開口向右，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【小問(wèn)2詳解】由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在圓內(nèi)，得，解得，又，得的斜率，故的方程為，即，故圓心到直線的距離為，由垂徑定理得，故，（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，所以四邊形的面積的最大值為.21、（1）；（2）【解析】（1）利用已知條件，結(jié)合橢圓方程求出，即可得到橢圓方程（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓與直線方程，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，列出三角形的面積，再利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】（1）解：由題意解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）點(diǎn)，右焦點(diǎn)，由題意知直線的斜率不為0，故設(shè)的方程為，，，聯(lián)立方程得消去，整理得，∴，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)：，所以面積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)和方程的求法，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理和運(yùn)算能力，屬于中檔題22、（1）拋物線的焦點(diǎn)或拋物面的焦點(diǎn)（2）答案見解析【解析】（1）結(jié)合通徑的特點(diǎn)可猜想得到結(jié)果；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，只要過(guò)點(diǎn)，則中點(diǎn)到的距離最小，根據(jù)，結(jié)合