自動控制原理-非線性控制系統(tǒng)分析

1非線性控制系統(tǒng)分析8-1非線性控制系統(tǒng)概述線性控制系統(tǒng)是指系統(tǒng)中所有環(huán)節(jié)的輸入輸出都呈線性關(guān)系,若有的環(huán)節(jié)所具有的非線性特性不很強烈,且可對其線性化,則也可當作線性環(huán)節(jié)處理.但如此處理后,應(yīng)使對系統(tǒng)的分析和設(shè)計的精度滿足工程上的要求.

系統(tǒng)中只要有一個環(huán)節(jié)的非線性特性很強烈,對其線性化將影響對系統(tǒng)分析和設(shè)計的精度或者非線性環(huán)節(jié)屬本質(zhì)非線性無法對其線性化,則只能用非線性理論對系統(tǒng)進行分析和設(shè)計.

在工程實際中,大多數(shù)被控對象都具有非線性特性,因此學(xué)習和研究非線性控制理論具有很現(xiàn)實的意義.在某些情況下,在線性控制系統(tǒng)人為地加入適當?shù)姆蔷€性因素反而有利于控制質(zhì)量的提高.2

在系統(tǒng)中,只要有一個環(huán)節(jié)或元件有非線性特性,則整個系統(tǒng)就叫非線性系統(tǒng),如下圖所示.上圖中,大方框表示一具有理想繼電特性的非線性環(huán)節(jié),表示非線性系統(tǒng)中線性部分的傳遞函數(shù).

非線性的特性是各種各樣的,教材P.350圖8-1及P.379表8-1給出了一些工程上常見的典型非線性特性.

3飽和特性

在電子放大器中常見的一種非線性，如圖8－1所示，

飽和裝置的輸入特性的數(shù)學(xué)描述如下：

(8-1)xekbe0-e0

圖8－1飽和特性

4死區(qū)特性

死區(qū)特性也稱為不靈敏區(qū)，如圖8-2所示。其數(shù)學(xué)描述如下：

X(t)e(t)e0-e0k

圖8－2死區(qū)特性(8-3)5間隙

如圖8-3所示，它的數(shù)學(xué)描述如下：X(t)>0X(t)<0X(t)=0e0-e0eb-bkk

圖8－3間隙

(8-4)x...6繼電特性

在使用繼電特性時，有四種可供選擇的形態(tài)，如圖8－4a所示理想繼電特性0Me圖8-4(a)理想的繼電特性

（8-5）x7具死區(qū)的繼電特性（8-6）xe-e0e00圖8-4(b)具死區(qū)的繼電特性

8具磁滯回環(huán)的繼電特性e(t)>0,e>e0;e(t)<0,e>-e0e>0,e<e0;e<0,e<-e0

....xe-e0e00M圖8-4（c)具滯環(huán)的繼電特性

(8-7)9具磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性

e>0,e>e0e<0,e>me0e>0,-me<e<e0e<0,-e0<e<me0e>0,e<-mee<0,e<-e0......xe-e0-me00me0e0M圖8-4(d)具磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性

(8-8)10

1）相平面法是用圖解的方法分析一階，二階非線性系統(tǒng)的方法。通過繪制控制系統(tǒng)相軌跡，達到分析非線性系統(tǒng)特性的方法。

2）描述函數(shù)法是受線性系統(tǒng)頻率法啟發(fā)，而發(fā)展出的一種分析非線性系統(tǒng)的方法。它是一種諧波線性化的分析方法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中的推廣。

3）計算機求解法是利用計算機運算能力和高速度對非線性微分方程的一種數(shù)值解法。

研究非線性系統(tǒng)的方法11數(shù)有關(guān),還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)及輸入信號的形式和大小有關(guān).

由于非線性控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程,而從數(shù)學(xué)上講,非線性微分方程沒有一個統(tǒng)一的解法,再由于第二個特征,對非線性控制系統(tǒng)也沒有一個統(tǒng)一的分析和設(shè)計的方法,只能具體問題具體對待.

本章將介紹的分析非線性控制系統(tǒng)的相平面法和描述函數(shù)法,是在非線性控制系統(tǒng)滿足一定的條件下,將線性控制理論的某些內(nèi)容給以擴充和變通后得出的,因此具有一定的局限性.8-2非線性控制系統(tǒng)的特征非線性控制系統(tǒng)有如下兩個基本特征:(1)非線性控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程

(2)非線性控制系統(tǒng)的性能不僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參12非線性系統(tǒng)的運動特點(一)穩(wěn)定性與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)及系統(tǒng)的輸入信號和初始條件有關(guān)。研究時應(yīng)注意：

1、系統(tǒng)的初始條件；

2、系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。13非線性系統(tǒng)的運動特點tE0e(t)(二)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式

某些非線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。14

非線性系統(tǒng)，在初始狀態(tài)的激勵下，可以產(chǎn)生固定振幅和固定頻率的周期振蕩，這種周期振蕩稱為非線性系統(tǒng)的自激振蕩或極限環(huán)。非線性系統(tǒng)的運動特點(三)極限環(huán)（自激振蕩）15e(t)頻率0振幅K′<0>0K

′K′=0K非線性彈簧M重物粘性阻尼器B系統(tǒng)微分方程：M+B+Kx+x=0K′3x..x.(四)頻率響應(yīng)16系統(tǒng)進行強迫振蕩實驗時的微分方程是：M+B+Kx+x=PcoswtK′3x..x.17頻率響應(yīng)具有硬彈簧的機械系統(tǒng)ωω00x123465K′>0具有軟彈簧的機械系統(tǒng)ω0ω40x51326K′<0188-3相平面法

1.相平面法的基本概念所謂相平面法,是一種二階微分方程的圖解法.此法即可用于線性二階系統(tǒng),也可用于線性部分是二階的非線性系統(tǒng).該方法通過圖解法將一階和二階系統(tǒng)的運動過程轉(zhuǎn)化為位置和速度平面上的相軌跡，從而比較直觀、準確地反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)和穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件及參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響。相軌跡的繪制方法步驟簡單、計算量小，特別適用于分析常見非線性特性和一階和二階線性環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng)。設(shè)二階系統(tǒng)可用下面常微分方程描述:上面微分方程的解可用對的關(guān)系曲線表示,也可用與的關(guān)系曲線表示,當用后一種關(guān)系曲線時,是把曲線畫在的直角坐標平面上,而作為參變量在平面上并不出現(xiàn).19設(shè)下圖為式(1)在初始條件情況下的與的關(guān)系曲線.當時,平面上的點隨時間的增大,將沿曲線移動.當初始條件確定后,曲線也確定,則曲線上任何一點的坐標也確定.當?shù)闹荡_定后,由式(1)可知的值也唯一確定,從而系統(tǒng)的整個運動狀態(tài)也完全確定.整條曲線就清楚地描述了系統(tǒng)在某一初始條件下的運動性質(zhì).上圖中的平面叫相平面,曲線叫系統(tǒng)在某一初始條件下的相軌跡.由于系統(tǒng)的初始條件可有無窮多個,因此相應(yīng)的相軌跡也有無窮多條,這無窮多條相軌跡構(gòu)成的相軌跡簇叫相平面圖.因為20所以,當確定后,也唯一確定.而是相軌跡在處的曲線斜率,由于每一點上的斜率確定,所每一點上只能通過一條相軌跡,這說明由不同初始條件出發(fā)的相軌跡曲線互不相交.如果在相平面上某些點的,即曲線在這一點上的斜率不定,可有無窮多條相軌跡通過這一點,稱這一點為系統(tǒng)的平衡點,或叫奇點.在相平面的上方(如下圖),由于所以總是朝大的方向變化,故相軌跡上的點總是按圖中箭頭所指從左向右移動.在相平面的下方,由于所以總是朝小的方向變化,故相軌跡上的點總是按圖中箭箭頭所指從右向左移動.在軸上,由于,即不變化,達到最大值或最小值,故相軌跡曲線與軸的交點處的切線總垂直于軸.212.相軌跡作圖法

先以線性系統(tǒng)為例,說明相軌跡曲線的畫法.(1)解析法根據(jù)系統(tǒng)的微分方程求出相軌跡方程,然后由相軌跡方程繪制相平面圖,此方法僅用于簡單的一﹑二階線性系統(tǒng)或分段線性系統(tǒng).(a)線性一階系統(tǒng)系統(tǒng)自由運動的微分方程為:相軌跡方程為:設(shè)初始條件:,當T>0,相軌跡如下圖系統(tǒng)從任一初始點出發(fā),均將沿相軌跡收斂于原點.當T<0,相軌跡如圖中綠線所示.系統(tǒng)從任一初始點出發(fā)均將沿相軌跡發(fā)散至無窮.22(b)線性二階系統(tǒng)系統(tǒng)自由運動的微分方程為:式(5)可用兩個一階微分方程聯(lián)立表示:式(6)除以式(7):第一種情況,,式(8)為:對式(9)兩邊積分得:23式(10)中,,是由初始條件決定的積分常數(shù),當取不同的數(shù)值時,式(10)在平面上表示一簇同心的橢圓,如下圖所示.每一個橢圓相當于一個簡諧運動.由于在原點,,所以,原點叫奇點.這種奇點對于式(9)是唯一的一個,故又叫孤立奇點,又由于奇點附近的相軌跡是一簇封閉的曲線所以這樣的孤立奇點又叫中心點.在的其它各種情況下,通過對式(8)兩邊積分求出與間的解析表達式,不僅求解過程較困難和復(fù)雜即使由解析表達式畫相軌跡也不太容易.教材P.360~P.367給出了其它各種情況下的相軌跡圖及關(guān)于各奇點的概念.24(2)等傾線法等傾線法是對一般二階系統(tǒng)畫相軌跡的圖解法.設(shè)二階系統(tǒng)一般形式的微分方程如下:式(11)又可化為:正是相軌跡方程的導(dǎo)函數(shù),當取不同值時,的值也不同,即相軌跡上各點的曲線斜率不一樣,但對于一個微分方程,當初始條件不同時,其有一簇相軌跡,而這一簇相軌跡上各斜率相同的點連起來就可得一條曲線,這條曲線叫等傾線.從數(shù)學(xué)角度分析,有:令為某一常數(shù),則是關(guān)于的方程.25

當各不相同的相軌跡通過上面方程所表示的曲線時,各條相軌跡與這一曲線的交點處的斜率均等于例:設(shè)一二階線性系統(tǒng)的齊次微分方程為:即,此系統(tǒng)在初始條件激勵下呈衰減振蕩過程.由式(13)可得:令,得等傾線方程為:若令,則等傾線如下圖所示.如則等傾線如圖中藍線.依此類推,取不同的值,由式(15)畫出足夠密的一簇等傾線,然后按各條等傾線所表示的相軌跡在該條等傾線上的斜率將各點連成一條光滑的曲線,如左上圖所示.26圖中相軌跡表示系統(tǒng)在某一初始條件下的運動軌跡.此系統(tǒng)有一對實部為負的共軛復(fù)根,因此在任何一對初始條件激勵下,其自由運動均呈率減振蕩形式不同初始條件下的各條相軌跡從不同方向趨向于相平面的原點,這種奇點叫穩(wěn)定的焦點.3.由相平面圖求時間解曲線在相平面上得到的是表示與間函數(shù)關(guān)系的相軌跡曲線,但在工程上分析系統(tǒng)時,往往希望得到比較直觀的關(guān)于時間的函數(shù)圖象,因此要利用相平面上的相軌跡曲線來確定的曲線圖形.下圖表示相軌跡曲線中的某一段.若A點對應(yīng)的時刻為,

求B點對應(yīng)的時刻可在AB段沿相軌跡運動的方取若干個點27計算出相鄰兩點間的時間增量,則系統(tǒng)從點A運動到B點時,B點的時刻,而的計算有下面三種方法.(1)增量法設(shè)相軌跡上兩點位移增量較小,設(shè)為兩點處相軌跡上速度變量的平均值,則:(2)積分法設(shè)點對應(yīng)的時間為,點對應(yīng)的時間為,則其幾何意義見右圖.28(3)圓弧法

設(shè)相平面上某條相軌跡的某一段如下圖所示.用圓心坐標為,半徑為的圓上的一段圓弧來近似表示相軌跡上兩點間的一段曲線.設(shè)這段圓弧上的任一點坐標為,這點與圓心的連線和橫軸正方向間的夾角為,則有:若點與圓心的連線和橫軸正方向間的夾角為點與圓心的連線和橫軸正方向間的夾角為,且.積分法中的式(17)可轉(zhuǎn)化為:294.非線性系統(tǒng)的相平面分析例1.繼電型非線性系統(tǒng)階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)的分析.設(shè)系統(tǒng)初始條件:(1)單位階躍輸入信號對的微分方程式為:因與沒有直接關(guān)系.設(shè)法把變量換成變量.當時,代入式(19):由于與為非線性關(guān)系,將式(20)分段線性化,30由右圖得:區(qū)域令,則等傾線為一組平行于軸的直線.當時,31相軌跡為一組平行的曲線,所由相軌跡均趨向于的直線,如下圖所示.這一特定的相軌跡如上圖所示.32區(qū)域因相軌跡的斜率始終為-1,所以相軌跡為一簇平行的斜率為-1的直線,見下圖.特定的相軌跡為33區(qū)域相軌跡與區(qū)域類似,但所有相軌跡均趨向于直線,見下圖.特定的相軌跡為,最后形成一個極限環(huán).系統(tǒng)作持續(xù)振蕩,振蕩的幅值與及線性部分的時間常數(shù)和傳遞系數(shù)有關(guān).34(2)等速度輸入信號代入式(19)并分段線性化得:a)當R=1.2>0.8,

則:區(qū)域,所有相軌跡趨近于的水平直線.區(qū)域,所有相軌跡趨近于的水平直線.區(qū)域,所有相軌跡趨近于的水平直線.35相軌跡圖見下圖.由上圖可見,當初始偏差位置在點時,系統(tǒng)將沿軌線運動,當時,,顯然系統(tǒng)不穩(wěn)定.36b)當R=0.8,則區(qū)域,相軌跡在平面上任一點的斜率均為-1,相軌跡為一簇區(qū)域,所有相區(qū)域,所有相軌跡趨近于軌跡趨近于直線.斜率為-1的直線.37c)當時,分段線性化方程如下:區(qū)域,所有相軌跡趨近于的水平直線.同理可得區(qū)域的相軌跡簇和區(qū)域的相軌跡簇.從某一初始點出發(fā)的相軌跡見下圖,存在極限環(huán)38

例2.速度反饋對繼電型系統(tǒng)的性能影響

設(shè)有下圖所示無速度反饋的理想繼電型非線性系統(tǒng).分段線性化方程為:區(qū)域,其上相軌跡如左圖.區(qū)域,其上相軌跡如坐圖.從任一初始點出發(fā)的相軌跡也見左圖,系統(tǒng)呈衰減振蕩,振蕩時間較長.39其它參數(shù)不變,有速度反饋的理想繼電型非線性系統(tǒng)見下圖.分段線性化方程為:兩區(qū)域的分界線即開關(guān)線方程為:即斜率為過原點的直線,區(qū)域區(qū)域與無速度反饋相比,開關(guān)線向左傾斜了一個角度.40兩個區(qū)域的相軌跡簇見下圖.兩區(qū)域中各自分別總有一條相軌跡與開關(guān)線切于兩點.當相軌跡曲線與開關(guān)線交于線段內(nèi)時,系統(tǒng)狀態(tài)必將沿開關(guān)線迅速滑向原點.如左圖所示.如繼電非理想,即開關(guān)在切換時有滯后,則相軌跡在線段內(nèi)時,系統(tǒng)狀態(tài)呈抖動式地滑向原點,出現(xiàn)小幅振蕩.由上分析可知,有速度反饋的繼電型非線性系統(tǒng)的動態(tài)性能比無速度反饋的繼電型非線的動態(tài)性能要好.8-4描述函數(shù)法

1.描述函數(shù)的基本概念描述函數(shù)法又叫諧波線性化法.41非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)可由下圖所示.描述函數(shù)法的基本思想是用某一數(shù)學(xué)方法,將非線性系統(tǒng)諧波線性化后,引用分析線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)法.為此,非線性系統(tǒng)本身必須滿足以下幾個條件:(1)非線性環(huán)節(jié)N的特性不是時間的函數(shù),即是非時變的;(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號是幅值為A的正弦信號,不包含恒定直流分量;(3)非線性環(huán)節(jié)的輸出信號一般情況下是非正弦信號,從付里葉級數(shù)角度看,它是直流分量,一次諧波即基波分量及高次諧波分量的疊加.8-4描述函數(shù)法(諧波線性化法)1.描述函數(shù)的基本概念42如線性部分具有良好的低通慮波特性,能將y(t)中的高次諧波分量慮有效地慮掉,則可近似認為只有y(t)中的一次諧波分量y1(t)沿閉環(huán)通道傳送;

(4)要求沿閉環(huán)通道傳送的信號不能有的直流分量,因此非線性環(huán)節(jié)的特性必須斜對稱,即滿足如下關(guān)系式:,則的直流分量2.描述函數(shù)的定義非線性環(huán)節(jié)輸出信號一次諧波分量與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù),即:式(21)中:為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù);是非線性環(huán)節(jié)正弦輸入信號的幅值;為非線性環(huán)節(jié)輸出信號一次諧波分量的幅值;輸出一次諧波分量和輸入正弦信號的初相位之差.43描述函數(shù)式(21)的一般計算公式如下.設(shè)非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號,非線性環(huán)節(jié)的非正弦輸出信號經(jīng)付里葉級數(shù)展開后可表為:根據(jù)上述條件(4)有:根據(jù)上述條件(3)有:上式中:因此,左式中:,從而描述函數(shù)式(21)表為44描述函數(shù)的特性:(1)當非線性環(huán)節(jié)包含儲能元件時,其輸出與輸入信號的幅值和頻率有關(guān),故N也是輸入信號幅值和頻率的函數(shù),可用表示;(2)工程上大多數(shù)非線性環(huán)節(jié)包含儲能元件,它們的輸出信號僅與輸入信號的幅值有關(guān),故N也僅是輸入信號幅值的函數(shù),可用表示;(3)若非線性環(huán)節(jié)是單值函數(shù),則其描述函N是實數(shù),若非線性環(huán)節(jié)是多值函數(shù),則其描述函N是復(fù)數(shù);(4)若非線性環(huán)節(jié)輸出,其中,且它們都是單值非線性,描述函數(shù)分別為,則此非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為45特性(4)可用下圖說明:

采用描述函數(shù)法研究非線性系統(tǒng),其優(yōu)點是不管非線性系統(tǒng)的線性部分是幾階的,它均能被采用.但用它研究問題的范圍僅限于分析和校正非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,穩(wěn)定性的性質(zhì),如自激振蕩的穩(wěn)定性和振蕩參數(shù).不能研究非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能,且非線性系統(tǒng)無外加輸入信號,線性部分要具有良好的低通慮波特性,以滿足分析的精度要求.463.典型非線性特性描述函數(shù)的求取舉例

飽和非線性是最常見的一種非線性特性,如各類放大器就具有飽和非線性特性,其輸入輸出關(guān)系可用下圖表示.由圖可見,當時,即:因非線性為斜對稱,輸出可分段表為:對進行付里葉分解,由于非線性斜對稱故,取分解后的一次諧波,有:,由于為奇函數(shù),為偶函數(shù)所以47由于為奇函數(shù),則為偶函數(shù),所以48求取描述函數(shù)的其它例子請見教材P.376~P.379,工程上常見的非線性特性及其描述函數(shù)見教材P.379~P.380表8-1.4.非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法設(shè)一非線性系統(tǒng)方框圖如下所示.令系統(tǒng)在虛線處開環(huán),且假設(shè),則式(23)中,設(shè),式中是的幅值,則49若系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩,則有,比較式(23)和式(24)可得系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩的條件為:非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的上述條件,也可表為:的形式,推導(dǎo)如下:稱上式中為非線性特性的負倒描述函數(shù).有上分析可得兩個結(jié)論:(1)當非線性系統(tǒng)的線性部分的頻率特性與非線性環(huán)節(jié)的乘積等于-1時,系統(tǒng)將產(chǎn)生自激振蕩;(2)由于是關(guān)于的復(fù)變函數(shù),而50是關(guān)于A的復(fù)變函數(shù),因此兩者的曲線可畫在同一復(fù)平面上,而和A均作為參變量在復(fù)平面上并不出現(xiàn).則由兩者曲線的交點,可確定系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的性質(zhì),自激振蕩的頻率和幅值.由這一等式,可將線性系統(tǒng)中的奈氏穩(wěn)定判據(jù)推廣應(yīng)用到非線性系統(tǒng),說明如下:假如系統(tǒng)中沒有非線性環(huán)節(jié),則閉環(huán)特征方程的頻域表達式為:,即,與非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的條件復(fù)平面上的點相比較可知,線性系統(tǒng),在非線性系統(tǒng)的復(fù)平面上被負倒描述函數(shù)曲線所取代.從而奈氏判據(jù)用于非線性系統(tǒng)時可作如下表述:當非線性系統(tǒng)的線性部分傳遞函數(shù)的所有極點均在S的左半平面上時,(1)當曲線未被奈氏曲線包圍時,非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的,在穩(wěn)態(tài)時,系統(tǒng)不會產(chǎn)生自激振蕩.51如下圖所示.兩曲線相距越遠,系統(tǒng)越穩(wěn)定.其穩(wěn)定程度也可仿照線性系統(tǒng)穩(wěn)定裕量的概念,用幅值裕度和相角裕度來表征.但由于A值不同,曲線上的點與曲線的相對位置也不一樣,因而對于不同的A值就有不同的穩(wěn)定裕量數(shù)值,假如當A等于