一元一次方程模型的應(yīng)用 省賽獲獎(jiǎng)

一元一次方程模型的應(yīng)用本節(jié)內(nèi)容3.4動(dòng)腦筋某濕地公園舉行觀鳥節(jié)活動(dòng)，其門票價(jià)格如下：全價(jià)票20元/人半價(jià)票10元/人

該公園共售出1200張門票，得總票款20000元，問(wèn)全價(jià)票和半價(jià)票各售出多少?gòu)?？本?wèn)題中涉及的等量關(guān)系有：

全價(jià)票款+半價(jià)票款=總票款.因此，設(shè)售出全價(jià)票x張，則售出半價(jià)票（1200-x）張，根據(jù)等量關(guān)系，建立一元一次方程，得

x·20+(1200-x)·10=20000.去括號(hào)，得20x+12000-10x=20000.移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得10x=8000.即x=800.半價(jià)票為1200-800=400（張）.因此，全價(jià)票售出800張，半價(jià)票售出400張.例1某房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個(gè)，

如果椅子腿數(shù)與凳子腿數(shù)的和為60條，有幾張椅子

和幾條凳子？舉例分析

本問(wèn)題中涉及的等量關(guān)系有：

椅子數(shù)+凳子數(shù)=16，

椅子腿數(shù)+凳子腿數(shù)=60.解

設(shè)有x

張椅子，則有（16-x）條凳子.根據(jù)題意，得4x+3(16-x)=60.去括號(hào)，得4x+48-3x=60.移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x=12.凳子數(shù)為16-12=4（條）.答：有12張椅子，4條凳子.

運(yùn)用一元一次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟有哪些？說(shuō)一說(shuō)實(shí)際問(wèn)題建立方程模型解方程檢驗(yàn)解的合理性分析等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)練習(xí)1.（1）一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是60cm，且長(zhǎng)比寬多5cm，

求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)；答：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為17.5cm.

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是60cm，且長(zhǎng)與寬的比是

3∶2，求長(zhǎng)方形的寬.答：長(zhǎng)方形的寬為12cm.2.足球比賽的記分規(guī)則是：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分.某隊(duì)在某次比賽中共踢了

14場(chǎng)球，其中負(fù)5場(chǎng)，共得19分.問(wèn)這個(gè)隊(duì)共勝了多少場(chǎng).答：這個(gè)隊(duì)共勝了5場(chǎng).

李白喝酒李白街上走，提壺去打酒。遇店加一倍，見花喝一斗。三遇店和花，喝光壺中酒。試問(wèn)李酒仙，喝去多少酒？

？？？？？？0（）（）（）（）（）（花）花花花花花花花花店店店花店店店花

店店店花店店店花花花花花花花店店店花店店店花店店店花花花花花店店店花店店店花花花店店店花①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

？？？？？？0（）（）（）（）（）（花）花花花花花花花花店店店花店店店花

店店店花店店店花花花花花花花店店店花店店店花店店店花花花花花店店店花店店店花花花店店店花①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩2.1251.6251.3751.251.1250.8750.750.6250.50.375智力趣題：有一個(gè)財(cái)迷總想使自己的錢成倍增長(zhǎng)，一天他在一座橋上碰見一個(gè)老人，老人對(duì)他說(shuō)：“你只要走過(guò)這座橋再回來(lái)，你身上的錢就會(huì)增加一倍，但作為報(bào)酬你每走一個(gè)來(lái)回要給我32個(gè)銅板?！辈轮i算了算挺合適，就同意了。他走過(guò)橋又走回來(lái)，身上的錢果然增加一倍，他很高興地給了老人32個(gè)銅板。這樣走完第5個(gè)來(lái)回，身上的最后32個(gè)銅板都給了老人，一個(gè)銅板也沒(méi)剩下。財(cái)迷身上原有多少銅板？課堂作業(yè)1P106第九題2P108第五題本店清倉(cāng)大甩賣跳樓價(jià)？5折酬賓跳樓價(jià)?打折銷售問(wèn)題1、一件衣服標(biāo)價(jià)為元，商場(chǎng)打

折銷售，則衣服的售價(jià)是

元。2、一個(gè)籃球?qū)嶋H進(jìn)價(jià)為元，商場(chǎng)以元銷售，則商場(chǎng)賣一個(gè)籃球可獲利元，利潤(rùn)率是3、一雙運(yùn)動(dòng)鞋進(jìn)價(jià)元，將它提價(jià)后標(biāo)價(jià)，則標(biāo)價(jià)應(yīng)是

元。9100aab(b>a)

x%(b-a)

100(1+x%)0.9a熱身運(yùn)動(dòng)利潤(rùn)=售價(jià)－進(jìn)價(jià)打x折的售價(jià)=原價(jià)×售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)＝進(jìn)價(jià)×（１+利潤(rùn)率）利潤(rùn)率=進(jìn)價(jià)利潤(rùn)×100%

例1:“衣衣不舍”服裝店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)格賣出兩件衣服,其中一件盈利25%

，另一件虧損25%

，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧?猜一猜：兩件衣服的盈虧情況？討論：１、你從題中獲得了哪些信息？涉及哪些量？２、你是怎樣理解“盈利與虧損”的？３、怎樣表示盈利25%和虧損25%？算一算：兩件衣服的盈虧情況？銷售中的盈虧

算一算售價(jià)進(jìn)價(jià)

0.25x利潤(rùn)盈利20%60x虧損20%y60-0.25y解:設(shè)盈利20%的衣服進(jìn)價(jià)為x

元,

根據(jù)題意可列方程

x+0.25x=60

解得x=48

虧損20%的衣服的進(jìn)價(jià)為y元,

y-0.25y=60

y=80

總進(jìn)價(jià)為

x+y=總售價(jià)為120元128元因?yàn)榭傔M(jìn)價(jià)大于總售價(jià),所以虧了8元.

方法構(gòu)想1

例1:“衣衣不舍”服裝店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)格賣出兩件衣服,其中一件盈利25%

，另一件虧損25%

，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧?列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程：這和你的估算一致嗎？審題實(shí)際問(wèn)題設(shè)未知數(shù)列方程解方程檢驗(yàn)作答

方程是解決實(shí)際問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)工具。進(jìn)價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn)、利潤(rùn)率記住了？

理性提升上述問(wèn)題中涉及到哪些量？

●售價(jià)、進(jìn)價(jià)、利潤(rùn)的關(guān)系式：=商品售價(jià)—商品進(jìn)價(jià)商品利潤(rùn)

●進(jìn)價(jià)、利潤(rùn)、利潤(rùn)率的關(guān)系：利潤(rùn)率=商品進(jìn)價(jià)商品利潤(rùn)×100%

●標(biāo)價(jià)、折扣數(shù)、商品售價(jià)關(guān)系:商品售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×折扣數(shù)10

●商品售價(jià)、進(jìn)價(jià)、利潤(rùn)率的關(guān)系：商品進(jìn)價(jià)商品售價(jià)=×(1+利潤(rùn)率)關(guān)系式：

對(duì)數(shù)學(xué)中的困難不要著急，我堅(jiān)信你正在努力，以取得更好的成績(jī)。

——愛因斯坦1.開縣某琴行同時(shí)賣出兩臺(tái)電子琴，每臺(tái)售價(jià)為960元。其中一臺(tái)盈利20%，另一臺(tái)虧損20%。這次琴行是盈利還是虧損，或是不盈不虧？解：設(shè)盈利20%的那臺(tái)電子琴進(jìn)價(jià)為x元，它的利潤(rùn)是0.2x元，則x+0.2x=960得x=800

設(shè)虧損20%的那臺(tái)電子琴進(jìn)價(jià)為y元，它的利潤(rùn)是0.2y元，則

y-0.2y=960得y=1200

所以兩臺(tái)電子琴進(jìn)價(jià)為2000元，而售價(jià)1920元，進(jìn)價(jià)大于售價(jià)，因此兩臺(tái)電子琴總的盈利情況為虧本80元。

我能行12.某文具店有兩個(gè)進(jìn)價(jià)不同的計(jì)算器都賣64元，其中一個(gè)盈利60%，另一個(gè)虧本20%.這次交易中的盈虧情況？解：設(shè)盈利60%的那個(gè)計(jì)算器進(jìn)價(jià)為X元，它的利潤(rùn)是0.6X元，則

X+0.6X=64得X=40

設(shè)虧本20%的那個(gè)計(jì)算器進(jìn)價(jià)為Y元，它的利潤(rùn)是0.2Y元，則

Y–0.2Y=64得Y=80所以兩個(gè)計(jì)算器進(jìn)價(jià)為120元，而售價(jià)128元，進(jìn)價(jià)小于售價(jià)，因此兩個(gè)計(jì)算器總的盈利情況為盈利8元.再做一做！動(dòng)腦筋

某商店若將某型號(hào)彩電按標(biāo)價(jià)的八折出售，則此時(shí)每臺(tái)彩電的利潤(rùn)率是5％.已知該型號(hào)彩電的進(jìn)價(jià)為每臺(tái)4000元，求該型號(hào)彩電的標(biāo)價(jià).

本問(wèn)題中涉及的等量關(guān)系有：

售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤(rùn).

如果設(shè)每臺(tái)彩電標(biāo)價(jià)為x元，那么彩電的售價(jià)、利潤(rùn)就可以分別表示出來(lái)，如圖所示．進(jìn)價(jià)：4000元現(xiàn)售價(jià)：0.8x元標(biāo)價(jià)：x元利潤(rùn)：(4000×5%)元因此，設(shè)彩電標(biāo)價(jià)為每臺(tái)x元，根據(jù)等量關(guān)系，得0.8x-4000=4000×5%解得

x=

.因此，彩電標(biāo)價(jià)為每臺(tái)

元.52505250進(jìn)價(jià)：4000元現(xiàn)售價(jià)：0.8x元標(biāo)價(jià)：x元利潤(rùn)：(4000×5%)元例22011年10月1日，楊明將一筆錢存入某銀行，定期

3年，年利率是5%.若到期后取出，他可得本息和

23000元，求楊明存入的本金是多少元.舉例分析

顧客存入銀行的錢叫本金，

銀行付給顧客的酬金叫利息．

利息=本金×年利率×年數(shù)．本問(wèn)題中涉及的等量關(guān)系有：

本金

+

利息

=

本息和.解設(shè)楊明存入的本金是x元，化簡(jiǎn)，得1.15x=23000.根據(jù)等量關(guān)系，得

x+3×5%x=23000，解得x=20000.答：楊明存入的本金是20000元.練習(xí)

1.某市發(fā)行足球彩票，計(jì)劃將發(fā)行總額的49%作為獎(jiǎng)金，若獎(jiǎng)金總額為93100元，彩票每張2元，問(wèn)應(yīng)賣出多少?gòu)埐势辈拍軆冬F(xiàn)這筆獎(jiǎng)金？解

設(shè)發(fā)行彩票x張，根據(jù)題意，得·2x=93100.解這個(gè)方程，得x=95000答：應(yīng)賣出95000張彩票才能兌現(xiàn)這筆獎(jiǎng)金.2.2011年11月9日，李華在某銀行存入一筆一年期定期存

款，年利率是3.5%，一年到期后取出時(shí)，他可得本息和

3105元，求李華存入的本金是多少元.答：李華存入的本金是3000元.作業(yè)：

星期天早晨，小斌和小強(qiáng)分別騎自行車從家里同時(shí)出發(fā)去參觀雷鋒紀(jì)念館.已知他倆的家到雷鋒紀(jì)念館的路程相等，小斌每小時(shí)騎10km，他在上午10時(shí)到達(dá)；小強(qiáng)每小時(shí)騎15km，他在上午9時(shí)30分到達(dá).求他們的家到雷鋒紀(jì)念館的路程.動(dòng)腦筋我們知道，

由于小斌的速度較慢，因此他花的時(shí)間比小強(qiáng)花的時(shí)間多.本問(wèn)題中涉及的等量關(guān)系有：

因此，設(shè)他倆的家到雷鋒紀(jì)念館的路程均為skm，解得s=＿＿＿＿.

因此，小斌和小強(qiáng)的家到雷鋒紀(jì)念館的路程為

＿

km．根據(jù)等量關(guān)系，得1515例3小明與小紅的家相距20km，小明從家里出發(fā)騎

自行車去小紅家，兩人商定小紅到時(shí)候從家里

出發(fā)騎自行車去接小明.

已知小明騎車的速度為

13km/h，小紅騎車的速度是12km/h.

（1）如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么他們經(jīng)過(guò)多少小時(shí)相遇？（2）如果小明先走30min，那么小紅騎車要走多少小時(shí)才能與小明相遇？舉例分析由于小明與小紅都從家里出發(fā)，相向而行，所以相遇時(shí)，他們走的路程的和等于兩家之間的距離.不管兩人是同時(shí)出發(fā)，還是有一人先走，都有小明走的路程+小紅走的路程=兩家之間的距離(20km).（1）如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么他們經(jīng)過(guò)多少小時(shí)相遇？解（1）設(shè)小明與小紅騎車走了xh后相遇，

則根據(jù)等量關(guān)系，得

13x+12x=20.

解得x=0.8.

答：經(jīng)過(guò)0.8h他們兩人相遇.小明走的路程小紅走的路程（2）如果小明先走30min，那么小紅騎車要走多少小時(shí)才能與小明相遇？解（2）設(shè)小紅騎車走了th后與小明相遇，則根據(jù)等量關(guān)系，得

13(0.5+t)+12t=20.

解得t=0.54.

答：小紅騎車走0.54h后與小明相遇.小明先走的路程小紅出發(fā)后小明走的路程小紅走的路程練習(xí)1.

甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而

行．已知A，B兩地的距離為480km，且甲車以

65km/h的速度行駛．若兩車4h后相遇，則乙車

的行駛速度是多少？答：乙車的行駛速度是55km/h.2.一隊(duì)學(xué)生步行去郊外春游，每小時(shí)走4km，學(xué)生甲因故推遲出發(fā)30min，為了趕上隊(duì)伍，甲以6km/h的速度追趕，問(wèn)甲用多少時(shí)間就可追上隊(duì)伍？答：該生用了1小時(shí)追上了隊(duì)伍.

為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，某市出臺(tái)了新的家庭用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定：所交水費(fèi)分為標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)水費(fèi)與超標(biāo)部分水費(fèi)兩部分，其中標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)水費(fèi)為1.96元/t，超標(biāo)部分水費(fèi)為2.94元/t.

某家庭6月份用水12t，需交水費(fèi)27.44元．求該市規(guī)定的家庭月標(biāo)準(zhǔn)用水量.動(dòng)腦筋

本問(wèn)題首先要分析所交水費(fèi)27.44元中是否含有超標(biāo)部分，由于1.96×12=23.52（元），小于27.44元，因此所交水費(fèi)中含有超標(biāo)部分的水費(fèi)，即月標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)水費(fèi)+超標(biāo)部分的水費(fèi)=該月所交水費(fèi).設(shè)家庭月標(biāo)準(zhǔn)用水量為xt，根據(jù)等量關(guān)系，得

1.96x+(12-x)×2.94=27.44.解得x=8．因此，該市家庭月標(biāo)準(zhǔn)用水量為8t．例4現(xiàn)有樹苗若干棵，計(jì)劃栽在一段公路的一側(cè)，要求路的兩端各栽1棵，并且每2棵樹的間隔相等.方案一：如果每隔5m栽1棵，則樹苗缺21棵；方案二：如果每隔5.5m栽1棵，則樹苗正好完.

根據(jù)以上方案，請(qǐng)算出原有樹苗的棵數(shù)和這段路的長(zhǎng)度.舉例（１）相鄰兩樹的間隔長(zhǎng)與應(yīng)植樹的棵數(shù)有什么關(guān)系？（２）相鄰兩樹的間隔長(zhǎng)、應(yīng)植樹棵數(shù)與路長(zhǎng)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？分析觀察下面植樹示意圖，想一想：設(shè)原有樹苗x棵，由題意可得下表：方案間隔長(zhǎng)應(yīng)植樹數(shù)路長(zhǎng)一5x+215(x+21-1)二5.5x5.5(x-1)本題中涉及的等量關(guān)系有：方案一的路長(zhǎng)=方案二的路長(zhǎng)解設(shè)原有樹苗x棵，根據(jù)等量關(guān)系，得5(x+21-1)=5.5(x-1)

，即5(x+20)=5.5(x-1)

化簡(jiǎn)，得-0.5x=-105.5

解得

x=211

因此，這段路長(zhǎng)為5×(211+20)=1155(m）.

答：原有樹苗211棵，這段路的長(zhǎng)度為1155m．練習(xí)1.為鼓勵(lì)節(jié)約用電，某地用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：如果

每戶每月用電不超過(guò)150kW·h，那么1kW·h電按

0.5元繳納；超過(guò)部分則按1kW·h電0.8元繳納.

如果小張家某月繳納的電費(fèi)為147.8元，那么小張

家該月用電多少？答：小張家該月用電約241kw·h.2.

某道路一側(cè)原有路燈106盞（兩端都有），相鄰兩盞燈的距離為36m，現(xiàn)計(jì)劃全部更換為新型的節(jié)能燈，且相鄰兩盞燈的距離變?yōu)?0m，則需安裝新型節(jié)能燈多少盞？答：需安裝新型節(jié)能燈55盞.1.什么樣的方程是一元一次方程?2.等式有哪些性質(zhì)？3.解一元一次方程的基本步驟有哪些？4.應(yīng)用一元一次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟

有哪些？小結(jié)與復(fù)習(xí)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)建立一元一次方程模型一元一次方程的解法一元一次方程模型的應(yīng)用實(shí)際問(wèn)題檢驗(yàn)等式的性質(zhì)1.在運(yùn)用等式的性質(zhì)時(shí)，等式兩邊不能同除以0.注意2.求解一元一次方程時(shí)應(yīng)根據(jù)方程的特點(diǎn)，選用適當(dāng)?shù)姆椒?3.移項(xiàng)時(shí)要變號(hào).4.列方程解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般設(shè)要求的量為未知數(shù)，有時(shí)也可采用間接設(shè)未知數(shù)的方法.中考試題例1

某書城開展學(xué)生優(yōu)惠售書活動(dòng)，凡一次性購(gòu)書不超過(guò)200元的一律9折優(yōu)惠，超過(guò)200元的，其中200元按9折算，超過(guò)200元的部分按8折算.某學(xué)生第一次去購(gòu)書付款72元，第二次購(gòu)書享受了8折優(yōu)惠，他查看了所買書的定價(jià)，發(fā)現(xiàn)兩次共節(jié)省了34元錢.則該學(xué)生第二次購(gòu)書實(shí)際付款

元.204分析

該學(xué)生第一次購(gòu)書款72元是享受了9折，因而可求出第一次他享受的優(yōu)惠款，從而可求出他第二次享受的優(yōu)惠款.設(shè)出他二次購(gòu)書（沒(méi)享受打折）的款數(shù)可列出方程，解方程并計(jì)算可得答案.解

第一次節(jié)省的錢數(shù)為72÷0.9-72=8（元），

∴第二次節(jié)省的錢數(shù)為34-8=26（元）.

設(shè)他第二次購(gòu)書付了x元（假設(shè)他不享受打折），則由題意，得x-[200×90%+(x-200)×80%]=26,解得x=230.

他第二次購(gòu)書實(shí)際付款200×0.9+(230-200)×0.8=204（元）中考試題例2

足球比賽的記分規(guī)則為勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，輸一場(chǎng)得0分.一支足球隊(duì)在某個(gè)賽季中共需比賽14場(chǎng)，現(xiàn)已比賽了8場(chǎng)，輸了1場(chǎng)共得17分