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天津市南開(kāi)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.2.在直三棱柱中,,,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.3.雙曲線C:的漸近線方程為()A. B.C. D.4.已知拋物線的焦點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,且,點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為().A. B.C. D.5.某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后,在生產(chǎn)某產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個(gè)數(shù)據(jù)看不清,已知回歸直線方程為=6.3x+6.8,下列說(shuō)法正確的是()x23456y1925★4044A.看不清的數(shù)據(jù)★的值為33B.回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸,相應(yīng)的生產(chǎn)能耗實(shí)際增加6.3噸C.據(jù)此模型預(yù)測(cè)產(chǎn)量為8噸時(shí),相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為50.9噸D.回歸直線=6.3x+6.8恰好經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)(4,★)6.已知x,y是實(shí)數(shù),且,則的最大值是()A. B.C. D.7.已知橢圓C的焦點(diǎn)為,過(guò)F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若,,則C的方程為A. B.C. D.8.已知向量,且,則()A. B.C. D.9.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,是上一點(diǎn),軸,,則橢圓的離心率等于()A. B.C. D.10.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)直線的傾斜角是()A. B.C. D.11.拋物線的焦點(diǎn)為F,A,B是拋物線上兩點(diǎn),若,若AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,則AF的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.1 B.2C.3 D.412.已知點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________14.某學(xué)校要從6名男生和4名女生中選出3人擔(dān)任進(jìn)博會(huì)志愿者,則所選3人中男女生都有的概率為_(kāi)__________.(用數(shù)字作答)15.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為,為雙曲線上一點(diǎn),且,線段的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn),則雙曲線的離心率為_(kāi)______16.已知,分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),P是其一條漸近線上的一點(diǎn),且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,則的面積為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知直線與直線交于點(diǎn).(1)求過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線的方程,并求出兩平行直線間的距離;(2)求過(guò)點(diǎn)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的方程.18.(12分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn),求三角形AOB的面積.19.(12分)在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且,,.(1)求角B;(2)求a,c的值及的面積.20.(12分)如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直,,,|AB|=|AD|=2,|CD|=4,為的中點(diǎn)(1)求證:平面平面;(2)求二面角的正切值21.(12分)已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,是與的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和22.(10分)如圖,在四棱錐中,面ABCD,,且,,,,,N為PD的中點(diǎn).(1)求證:平面PBC;(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M,使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在,求出的值,若不存在,說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題可知,曲線表示一個(gè)半圓,結(jié)合半圓的圖像和一次函數(shù)圖像即可求出的取值范圍.【詳解】由得,畫(huà)出圖像如圖:當(dāng)直線與半圓O相切時(shí),直線與半圓O有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí),,所以,由圖可知,此時(shí),所以,當(dāng)直線如圖過(guò)點(diǎn)A、B時(shí),直線與半圓O剛好有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí),由圖可知,當(dāng)直線介于與之間時(shí),直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),所以.故選:D.2、D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn),向量,,方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),向量,,方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,,,,,因此異面直線與所成角的余弦值等于.故選:D.3、D【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【詳解】雙曲線C:的實(shí)半軸長(zhǎng),虛半軸長(zhǎng),即有,而雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上,所以雙曲線C的漸近線的方程為,即.故選:D4、A【解析】求出點(diǎn)坐標(biāo),做出關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),利用連點(diǎn)之間相對(duì)最短得出為的最小值【詳解】解:拋物線的準(zhǔn)線方程為,,到準(zhǔn)線的距離為2,故點(diǎn)縱坐標(biāo)為1,把代入拋物線方程可得不妨設(shè)在第一象限,則,點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,連接,則,于是故的最小值為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)和應(yīng)用,對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析,即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A:因?yàn)椋瑢⒋?,故,∴,故A錯(cuò)誤;對(duì),回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸,相應(yīng)的生產(chǎn)能耗大約增加6.3噸,故錯(cuò)誤;對(duì),當(dāng)時(shí),,故錯(cuò)誤;對(duì),因?yàn)?,故必?jīng)過(guò),故正確.故選:.6、D【解析】將方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,則的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率,進(jìn)而根據(jù)直線與圓相切求得答案.【詳解】方程可化為,表示以為圓心,為半徑的圓,的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)A連線的斜率,設(shè),即,當(dāng)此直線與圓相切時(shí),斜率最大或最小,當(dāng)切線位于切線AB時(shí)斜率最大.此時(shí),,,所以的最大值為.故選:D7、B【解析】由已知可設(shè),則,得,在中求得,再在中,由余弦定理得,從而可求解.【詳解】法一:如圖,由已知可設(shè),則,由橢圓的定義有.在中,由余弦定理推論得.在中,由余弦定理得,解得所求橢圓方程為,故選B法二:由已知可設(shè),則,由橢圓的定義有.在和中,由余弦定理得,又互補(bǔ),,兩式消去,得,解得.所求橢圓方程為,故選B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力,很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)8、A【解析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由題意可得,解得,所以.故選:A9、A【解析】在中結(jié)合已知條件,用焦距2c表示、,再利用橢圓定義計(jì)算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c,因是上一點(diǎn),軸,,在中,,,由橢圓定義知,則,所以橢圓的離心率等于.故選:A10、B【解析】求出直線的斜率后可得傾斜角【詳解】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率為,設(shè)該直線的傾斜角為,則,又,所以.故選:B11、C【解析】結(jié)合拋物線的定義求得,由此求得線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離【詳解】拋物線方程為,則,由于中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,結(jié)合拋物線的定義可知,即,所以線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選:C12、C【解析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式,結(jié)合對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,所以,因此,故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程將點(diǎn)坐標(biāo)代入求參數(shù),即可確定標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】令,則,可得,令,則,無(wú)解.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為:.14、##0.8【解析】由排列組合知識(shí)求得所選3人中男女生都有方法數(shù)及總的選取方法數(shù)后可計(jì)算概率【詳解】從6名男生和4名女生中選出3人的方法數(shù)是,所選3人中男女生都有的方法數(shù)為,所以概率為故答案為:15、【解析】在中求出,再在中求出,即可得到的齊次式,化簡(jiǎn)即可求出離心率【詳解】設(shè)雙曲線:,,不妨設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)因?yàn)榫€段的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn),且,所以,在中,,所以,,在中,,所以,,因此,,化簡(jiǎn)得,,即,而,解得故答案為:16、【解析】先得出漸近線方程和圓的方程,然后解出點(diǎn)P的縱坐標(biāo),進(jìn)而求出面積.【詳解】由題意,漸近線方程為:,,圓的方程為:,聯(lián)立:,所以.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);.(2)或.【解析】(1)首先求得交點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法確定直線方程,再根據(jù)兩平行直線之間距離公式即可計(jì)算距離;(2)根據(jù)截距式方程的求法解答【小問(wèn)1詳解】由得設(shè)直線的方程為,代入點(diǎn)坐標(biāo)得,∴直線的方程為∴兩平行線間的距離【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),直線的方程為,即;當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線的方程為,代入點(diǎn)坐標(biāo)得,∴直線的方程的方程為,即綜上所述,直線的方程為或18、(1)(2)【解析】小問(wèn)1:由拋物線的定義可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;小問(wèn)2:可知直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,求出的值,利用拋物線的定義可求得的值,結(jié)合面積公式即可求解小問(wèn)1詳解】由題意點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,所以,則,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.【小問(wèn)2詳解】由已知直線的方程是,設(shè)、,由得,,所以,則,故,19、(1)(2),,【解析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件,求得,進(jìn)而求得.(2)利用余弦定理求得和,由此求得三角形的面積.【小問(wèn)1詳解】由于,∴.又∵,∴.∴.【小問(wèn)2詳解】∵,且,,,∴,解得或(舍).∴,.∴.20、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】(1)證明BC⊥平面BDE即可;(2)以D為原點(diǎn),DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,求平面BMD和平面BCD的法向量,利用法向量的求二面角的余弦,再求正切﹒【小問(wèn)1詳解】∵ADEF為正方形∴ED⊥AD又∵正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,且ED?平面ADEF∴ED⊥平面ABCD∵BC?平面ABCD∴ED⊥BC在直角梯形ABCD中,|AB|=|AD|=2,|CD|=4,則,|BD|=2,在△BCD中,,∴BC⊥BD∵DE∩BD=D,DE與BD平面BDE,∴BC⊥平面BDE又∵BC?平面BEC∴平面BDE⊥平面BEC;【小問(wèn)2詳解】由(1)知ED⊥平面ABCD∵CD平面ABCD,∴CD⊥ED,∴DA,DC,DE三線兩兩垂直,故以D為原點(diǎn),DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz:則,則設(shè)為平面BDM的法向量,則,取,取平面BCD的法向量為,設(shè)二面角的大小為θ,則,∴.21、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)給定條件列式求出數(shù)列的首項(xiàng)即可作答.(2)由(1)的結(jié)論求出,再借助裂項(xiàng)相消法計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列是公比為2的等比數(shù)列,且是與的等差中項(xiàng),則有,即,解得,所以.【小問(wèn)2詳解】由(1)知,,則,即
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