人教A版數(shù)學必修三講義第3章3.13.1.3概率的基本性質Word版含答案

3.1.3學習目標核心素養(yǎng)1.了解事件間的包含關系和相等關系．2．理解互斥事件和對應事件的概念及關系．(難點、易混點)3．會用互斥事件與對立事件的概率公式求概率．(重點)4．了解并事件與交事件的概念，會進行事件的運算．1.通過互斥事件與對立事件的學習，體會邏輯推理素養(yǎng)．2．借助概率的求法，提升數(shù)學運算素養(yǎng).1．事件的關系與運算(1)事件的關系：定義表示法圖示包含關系一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系A?B且B?AA＝B事件互斥若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?事件對立若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?且A∪B＝U(2)事件的運算：定義表示法圖示并事件若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)2.概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：[0，1]．(2)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0．(3)概率加法公式為：如果事件A與B為互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(4)若A與B為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0．思考：在擲骰子的試驗中，事件A＝{出現(xiàn)的點數(shù)為1}，事件B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，A與B應有怎樣的關系？[提示]A?B1．同時擲兩枚硬幣，向上面都是正面為事件A，向上面至少有一枚是正面為事件B，則有()A．A?B B．A?BC．A＝B D．A<BA[由事件的包含關系知A?B.]2．擲一枚骰子，觀察結果，A＝{向上的點數(shù)為1}，B＝{向上的點數(shù)為2}，則()A．A?B B．A＝BC．A與B互斥 D．A與B對立C[由于事件A與B不可能同時發(fā)生，故A、B互斥．]3．一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事件：事件A：“恰有一件次品”；事件B：“至少有兩件次品”；事件C：“至少有一件次品”；事件D：“至多有一件次品”．并給出以下結論：①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∪B＝B；④A∪D＝C.其中正確的序號是()A．①②B．③④C．①③D．②③A[A∪B表示的事件：至少有一件次品，即事件C，所以①正確，③不正確；D∪B表示的事件：至少有兩件次品或至多有一件次品，包括了所有情況，所以②正確；A∪D表示的事件：至多有一件次品，即事件D，所以④不正確．]4．一商店有獎促銷活動中只有一等獎與二等獎兩個獎項，其中中一等獎的概率為0.1，中二等獎的概率為0.25，則不中獎的概率為________．0.65[中獎的概率為0.1＋0.25＝0.35，中獎與不中獎互為對立事件，所以不中獎的概率為1－0.35＝0.65.]互斥事件與對立事件的判定【例1】某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報紙”，事件C為“至多訂一種報紙”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報紙也不訂”．判斷下列每組事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件：(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.思路點撥：是否可能同時發(fā)生→判斷是否互斥→是否必有一個發(fā)生→判斷是否對立[解](1)由于事件C“至多訂一種報紙”中包括“只訂甲報”，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件．(2)事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故B與E是互斥事件；由于事件B與事件E必有一個發(fā)生，故B與E是對立事件．(3)事件B“至少訂一種報紙”中包括“只訂乙報”，即有可能“不訂甲報”，也就是說事件B和事件D有可能同時發(fā)生，故B與D不是互斥事件．(4)事件B“至少訂一種報紙”中的可能情況為“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．事件C“至多訂一種報紙”中的可能情況為“一種報紙也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”．也就是說事件B與事件C可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一種報紙也不訂”是事件C中的一種可能情況，所以事件C與事件E可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事件．互斥事件、對立事件的判定方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同時發(fā)生；②對立事件首先是互斥事件，且必須有一個要發(fā)生．(2)利用集合的觀點來判斷設事件A與B所含的結果組成的集合分別是A，B.①事件A與B互斥，即集合A∩B＝?；②事件A與B對立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，即A＝IB或B＝IA.1．一個射手進行一次射擊，有下面四個事件：事件A：命中環(huán)數(shù)大于8；事件B：命中環(huán)數(shù)小于5；事件C：命中環(huán)數(shù)大于4；事件D：命中環(huán)數(shù)不大于6.則()A．A與D是互斥事件 B．C與D是對立事件C．B與D是互斥事件 D．以上都不對A[由互斥、對立事件的定義可判斷A選項正確．]事件的關系及運算【例2】在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件．例如，事件C1＝{出現(xiàn)1點}，事件C2＝{出現(xiàn)2點}，事件C3＝{出現(xiàn)3點}，事件C4＝{出現(xiàn)4點}，事件C5＝{出現(xiàn)5點}，事件C6＝{出現(xiàn)6點}，事件D1＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，請根據(jù)上述定義的事件，回答下列問題：(1)請列舉出符合包含關系、相等關系的事件；(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件．[解](1)因為事件C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1與事件D1相等，即C1＝D1.(2)因為事件D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點或出現(xiàn)5點或出現(xiàn)6點}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.事件運算應注意的2個問題(1)進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析．(2)在一些比較簡單的題目中，需要判斷事件之間的關系時，可以根據(jù)常識來判斷．但如果遇到比較復雜的題目，就得嚴格按照事件之間關系的定義來推理．2．盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設事件A＝{3個球中有1個紅球、2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球、1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}．(1)事件D與A，B是什么樣的運算關系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？[解](1)對于事件D，可能的結果為1個紅球、2個白球，或2個紅球、1個白球，故D＝A∪B.(2)對于事件C，可能的結果為1個紅球、2個白球，或2個紅球、1個白球，或3個紅球，故C∩A＝A.互斥事件與對立事件的概率公式及應用[探究問題]1．在同一試驗中，對任意兩個事件A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立嗎？[提示]不一定，只有A與B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．2．若P(A)＋P(B)＝1，則事件A與事件B是否一定對立？試舉例說明．[提示]A與B不一定對立．例如：擲一枚均勻的骰子，記事件A為出現(xiàn)偶數(shù)點，事件B為出現(xiàn)1點或2點或3點，則P(A)＋P(B)＝1，但A、B不對立．【例3】在數(shù)學考試中，小明的成績在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，計算：(1)小明在數(shù)學考試中取得80分以上的成績的概率；(2)小明數(shù)學考試及格的概率．思路點撥：小明的成績在80分以上可以看作是互斥事件“80分～89分”“90分以上”的并事件，小明數(shù)學考試及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”這幾個彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”這一事件的對立事件．[解]分別記小明的成績“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”為事件B，C，D，E，這四個事件彼此互斥．(1)小明的成績在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明數(shù)學考試及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：小明數(shù)學考試不及格的概率是0.07，所以小明數(shù)學考試及格的概率是1－0.07＝0.93.1．(變結論)本例條件不變，求小明在數(shù)學考試中取得80分以下的成績的概率．[解]分別記小明的成績“在90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”，“在60分以下”為事件A、B、C、D、E，則這五個事件彼此互斥．∴小明成績在80分以下的概率是：P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.2．(變條件)一盒中裝有各種色球12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．[解]法一：(利用互斥事件求概率)記事件A1＝{任取1球為紅球}，A2＝{任取1球為黑球}，A3＝{任取1球為白球}，A4＝{任取1球為綠球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法二：(利用對立事件求概率)(1)由法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，所以取得1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的對立事件為A4.所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).互斥事件、對立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)當求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時，常?？紤]其反面，通過求其反面，然后轉化為所求問題．1．互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系．在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不可能兩個都發(fā)生；而兩個對立事件必有一個發(fā)生，但是不可能兩個事件同時發(fā)生，也不可能兩個事件都不發(fā)生．所以兩個事件互斥，它們未必對立；反之兩個事件對立，它們一定互斥．2．互斥事件概率的加法公式是一個很基本的計算公式，解題時要在具體的情景中判斷各事件間是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求復雜事件的概率通常有兩種方法(1)將所求事件轉化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率.1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)互斥事件一定是對立事件． ()(2)事件A與B的并事件的概率一定大于事件A的概率． ()(3)若P(A)＋P(B)＝1，則事件A與B一定是對立事件． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．給出以下結論：①互斥事件一定對立；②對立事件一定互斥；③互斥事件不一定對立；④事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A與B互斥，則有P(A)＝1－P(B)．其中正確命題的個數(shù)為()A．0個B．1個C．2個D．3個C[對立必互斥，互斥不一定對立，∴②③對，①錯；又A∪B＝A時，P(A∪B)＝P(A)，④錯；只有A、B對立時，P(A)＝1－P(B)才成立，⑤錯．]3．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．0.3[摸出紅球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率為1－0.42－0.28＝0.3.]4．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1～10各10張)中任抽取1張，判斷下列給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點數(shù)大于9”．[解](1)是互斥事件，不是對立事件．