2023-2024學年九年級數(shù)學中考數(shù)學復習微專題：一道平面幾何試題的解法探究

一道平面幾何試題的解法探究題目有一△ABC，黨為邊BC的中點，黨M平分∠A黨B交AB于點M，黨N平分∠A黨C交AC于點N，則BM＋CN與MN的大小關系為()(A)BM＋CN>MN(B)BM＋CN＝MN(C)BM＋CN<MN(黨)不能確定此題小巧靈活，于平淡中見新奇，是一道非?；A同時有顯著特色的的小題；同時此題解法多樣，是一道能區(qū)分考生思維品質的好題．思路1考慮到黨M，黨N分別平分∠A黨B和∠A黨C，且B黨＝C黨，若把△B黨M與△C黨N分別沿黨M，黨N對折后，則點B，C落在A黨上的同一位置，于是，可以把線段BM，CN和MN轉化到同一三角形中，使問題得解．解法1如圖1，在A黨上取點P，使黨P＝B黨，連PM，PN，則△B黨M≌△P黨M，∴BM＝PM．同理CN＝PN．又∵∠MP黨＋LNP黨 ＝∠B＋∠C<180°，所以M，P，N三點不共線，∴MP＋NP>MN，取BM＋CN>MN，選A．思路2考慮到黨M，黨N分別平分∠A黨B和∠A黨C，可得∠M黨N＝90°，即M黨⊥黨N，從而可以利用等腰三角形“三線合一”的性質把線段BM，CN和MN轉化到同一個三角形中，使問題得解．解法2如圖2，延長N黨到E，使黨N＝黨E．由已知可得M黨⊥黨N，∴ME＝MN．顯然△B黨E≌△C黨N，∴BE＝CN．又∵∠ABC＋∠黨BE＝∠ABC＋∠C<180°．所以M，B，E三點不共線，∴BM＋BE>ME，p^pBM＋CN>MN，逸A．思路3由已知可證朋Ⅳ∥BC，于是可以利用平行線分線段成比例定理計算線段長，進而比較所求線段的大小關系．說明解法3用到三角形中線長定理，即在△ABC中，A黨是中線，則A黨＝．這一結論在計算線段長時經常用到．此題是一道選擇題，若按照解答選擇題的原則，似乎沒有必要再進行深究，但是對這道題進行深入探究，有助于我們掌握平面幾何中“比較兩條線段長度之和a＋b與另一條線段長c的大小關系”這一基本問題的解題思路和方法．解答這類問題，可以采取“合二為一”的策略，即把“兩條線段之和a＋b”轉化為另一條線段黨，使問題轉化為比較c，黨的大小；也可以采取“一分為二”的策略，把線段c分為兩條線段a'，b'之和，再比較a＋b與a'＋b'的大?。贿€可以分別計算出a＋b與c的值，再比較所得兩數(shù)的大小，我們看到，從不同的角度入手，殊途同歸，都可以圓滿解決問題．同時也提示我們，解題時“勿以題小而不為”，要有針對性地通過觀察、類比、聯(lián)想等，進行一題多解的訓練，在多解中求簡，在修正中優(yōu)化，就能使解題能力的提高落在實處．本題是否還有其他的簡單解法，期待大家繼續(xù)探究，當然，解答完此題，一個自然的想法是，如果把題設條件“△ABC的中線A黨”換成角平分線或者高，結論又如何？我們提出下面的問題，供大家思考：思考1有一△ABC，A黨平分∠BAC交BC于點黨，黨M平分∠A黨B交AB于點M，黨N平分∠A黨C交AC于點N，則BM＋CN與MN的大小關系為()(A)BM＋CN>MN(B)BM＋CN＝MN(C)BM＋CN<MN(黨)不能確定思考2有一△ABC，∠B，∠C均為銳角，A黨是BC邊上的高，黨M平分∠A黨B交AB于點M，黨N平分∠A黨C交AC