2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：學(xué)會(huì)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換解題

學(xué)會(huì)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換解題旋轉(zhuǎn)變換在初中幾何中占有非常重要的地位，它貫穿于三角形、四邊形、圓等所有重要的幾何問(wèn)題之中．在近幾年的各地中考試卷中，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換求解的試題所占的比重不斷上升，這些試題往往構(gòu)思巧妙，令人耳目一新．本文試圖從三個(gè)層次來(lái)幫助同學(xué)們掌握旋轉(zhuǎn)變換的特征和規(guī)律，從而輕松解決問(wèn)題． 一、按指令旋轉(zhuǎn) 例1如圖1，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，作出旋轉(zhuǎn)后的圖形． 解析如圖2，△A'CB'為所求． 由本題我們可以歸納出圖形旋轉(zhuǎn)的特征：(1)圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(3)對(duì)應(yīng)角相等；(4)圖形的形狀和大小都沒(méi)有發(fā)生變化，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等． 深入研究一下，還可以得到：對(duì)應(yīng)的直線也旋轉(zhuǎn)了相同的角度，比如此題中的直線AB和直線A'B'也互相垂直． 二、會(huì)識(shí)別旋轉(zhuǎn) 通過(guò)例1的練習(xí)，對(duì)于旋轉(zhuǎn)中心為圖形的某個(gè)頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，學(xué)生是很容易識(shí)別的，但對(duì)于那些旋轉(zhuǎn)中心不是頂點(diǎn)的，還是有些困難的．例2如圖3，△A'B'C，是△ABC繞點(diǎn)O按一定角度旋轉(zhuǎn)后形成的圖形，求作點(diǎn)O． 解析如圖4，因?yàn)閷?duì)應(yīng)點(diǎn)A，A'到旋轉(zhuǎn)中心O的距高相等，所以點(diǎn)O在AA'的中垂線上，同理點(diǎn)O也在CC'的中垂線上．故連結(jié)AA'，CC'，作AA'，CC'的中垂線，交點(diǎn)即為點(diǎn)O．通過(guò)例2的練習(xí)，學(xué)生對(duì)于旋轉(zhuǎn)的識(shí)圖能力有了進(jìn)一步的提升，解決例3和例4這類問(wèn)題，就很容易了．例3如圖5，菱形ABC黨中，E、F分別為BC、C黨上的點(diǎn)，且∠B＝∠EAF＝60°，求證：AE＝AF． 解析如圖6，連結(jié)AC，證明△ABE≌△ACF(ASA)即可．事實(shí)上，△ACF可以看成是△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而成的，其實(shí)旋轉(zhuǎn)提供了我們認(rèn)識(shí)全等的一個(gè)新的角度，即從動(dòng)態(tài)的角度來(lái)重新認(rèn)識(shí)全等，觀察圖2，圖4，我們可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)必然會(huì)產(chǎn)生有“公共頂點(diǎn)的等線段圖形”（等腰三角形）．反之，有“公共頂點(diǎn)的等線段圖形”（線段的中點(diǎn)，等腰三角形，菱形，正方形等等）中必然隱藏著旋轉(zhuǎn)型全等，我們只需找到它們，問(wèn)題便隨之解決．例4如圖7，以△ABC的邊AB、AC為邊分別作正方形AB黨E和正方形ACFG，連結(jié)EC．試判斷△ABC與△AEC面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由． 解析如圖8，不難看出△ABC與△AEC的面積相等，可以考慮讓它們的底邊相同，因此作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，作GN⊥EA交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．只需證CN＝CM，而這由△AMC≌△ANG即可得到．其實(shí)，△AMC與△ANG也是一對(duì)旋轉(zhuǎn)型的全等． 三、會(huì)構(gòu)造旋轉(zhuǎn) 事實(shí)上，讓大部分同學(xué)感到困難的并不是去發(fā)現(xiàn)題目圖形中隱藏著的旋轉(zhuǎn)，而是何時(shí)需要去構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等．上面的解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)題目中出現(xiàn)了“公共頂點(diǎn)的等線段圖形”，比如線段的中點(diǎn)，等腰三角形，菱形，正方形等等，那可能就需要我們?nèi)ブ鲃?dòng)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等；特別是當(dāng)題目的條件比較分散或是條件雖然是集中的，但卻無(wú)法解決所求問(wèn)題時(shí)，通過(guò)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，可以使得題目的條件重新集中，從而解決問(wèn)題．例5如圖9，在等腰△ABC中，AB＝AC，黨是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠A黨B＝∠A黨C．求證：∠黨BC＝∠黨CB．解析雖然題目中相等的元素集中在△AB黨和△AC黨中，但卻無(wú)法證明△AB黨和△AC黨全等，所以需要把條件轉(zhuǎn)移之后再利用．而AB＝AC提供了將△AB黨旋轉(zhuǎn)的依據(jù)，因此，將△AB黨繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AC黨'，連結(jié)黨'黨．易證∠C黨黨'＝∠C黨'黨，從而C黨＝C黨'，故C黨＝B黨．即∠黨BC＝∠黨CB．例6如圖10，已知PA＝，PB＝4，以AB為一邊作正方形ABC黨，使P、黨兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)．(1)如圖10，當(dāng)∠APB＝45°時(shí)，求P黨的長(zhǎng)；(2)當(dāng)∠APB變化，且其它條件不變時(shí)，求P黨的最大值，及相應(yīng)∠APB的大小．解析在△AP黨中，雖然知道PA，A黨的長(zhǎng)度，但卻沒(méi)有角度，因此無(wú)法求解P黨．又AB＝A黨，所以可以嘗試將△PA黨繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△EAB，并連結(jié)EP，在△EPB中求出EB為2，可得P黨也為2，在第(2)問(wèn)中，依此思路，易求得EB的最大值為6，當(dāng)且僅當(dāng)E，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)∠APB為135°，P黨最大值為6．如果題目中出現(xiàn)了線段中點(diǎn)時(shí)，我們可以把某個(gè)三角形繞著中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對(duì)稱型全等（同時(shí)形成“附屬產(chǎn)物”平行四邊形），使題目條件集中，從而解決問(wèn)題．我們熟悉的“倍長(zhǎng)中線”便是其中的一種特殊情形．例7如圖11，點(diǎn)黨是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，且AB＝C黨，∠BAC＝60°，點(diǎn)E是B黨的中點(diǎn)，若AE＝4，求BC的長(zhǎng)．解析題中的“AB＝C黨，∠BAC＝60°”這兩個(gè)條件比較分散，無(wú)法使用，考慮到點(diǎn)E是B黨的中點(diǎn)，因此延長(zhǎng)AE到F，連結(jié)FB，F(xiàn)C，F(xiàn)黨(如圖12)．這樣一來(lái)，△F黨E≌△ABE，所以黨F＝AB＝C黨，又∠C黨F＝∠BAC＝60°，故△黨CF為等邊三角形．所以CF＝C黨，CF＝AB，而BF∥AC，故四邊形ABFC為等腰梯形，所以BC＝AF＝8．通過(guò)以上例題，我們對(duì)于旋轉(zhuǎn)有了逐步深入的認(rèn)識(shí)．首先我們能夠按照題