四川省瀘州外國語學校2024屆高二數(shù)學第一學期期末檢測試題含解析

四川省瀘州外國語學校2024屆高二數(shù)學第一學期期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點A到平面PBC的距離為（）A.1 B.C. D.2．已知是拋物線的焦點，是拋物線的準線，點，連接交拋物線于點，，則的面積為（）A.4 B.9C. D.3．已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.5．古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓的面積為，、分別是的兩個焦點，過的直線交于、兩點，若的周長為，則的離心率為（）A. B.C. D.6．圓與圓的位置關系是()A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離7．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線的畫法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線在正方形邊長為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標系（規(guī)定小方格的邊長為1），則接下來的一段圓弧所在圓的方程為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)有兩個極值點m，n，且，則的最大值為（）A. B.C. D.9．已知橢圓：的左、右焦點分別為、，為坐標原點，為橢圓上一點．與軸交于一點，，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.10．已知圓柱的表面積為定值，當圓柱的容積最大時，圓柱的高的值為（）A.1 B.C. D.211．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓為橢圓長軸的端點，為橢圓短軸的端點，，分別為橢圓的左右焦點，動點滿足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.12．已知正實數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某中學擬從4月16號至30號期間，選擇連續(xù)兩天舉行春季運動會，從已往的氣象記錄中隨機抽取一個年份，記錄天氣結果如下：日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴雨雨陰晴晴晴雨估計運動會期間不下雨的概率為_____________.14．有公共焦點，的橢圓和雙曲線的離心率分別為，，點為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為______15．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于A，B兩點（點B在第一象限），與準線交于點P.若，，則____________.16．底面半徑為1，母線長為2的圓錐的體積為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求的方程；（2）設的右焦點為F，過F作兩條互相垂直的直線AB和DE，其中A，B，D，E都在橢圓上，求的取值范圍.18．（12分）已知直線過點，且被兩條平行直線，截得的線段長為.（1）求的最小值；（2）當直線與軸平行時，求的值.19．（12分）已知圓經(jīng)過坐標原點和點，且圓心在軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于A、B兩點，求所得弦長的值.20．（12分）如圖，在直棱柱中，已知，點分別的中點.（1）求異面直線與所成的角的大??；（2）求點到平面的距離；（3）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成的角的大小是?若存在，請指出點的位置，若不存在，請說明理由.21．（12分）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不相等的零點，證明：22．（10分）已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設點A到平面PBC的距離為，根據(jù)等體積法求解即可.【詳解】因為平面ABC，所以,因為，，所以又，，所以,所以,設點A到平面PBC的距離為，則,即,，故選：A2、D【解析】根據(jù)題意求得拋物線的方程為和焦點為，由，得到為的中點，得到，代入拋物線方程，求得，進而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準線，可得，即，所以拋物線的方程為，其焦點為，因為，可得可得三點共線，且為的中點，又因為，，所以，將點代入拋物線，可得，所以的面積為.故選：D.3、D【解析】求出函數(shù)在時值的集合，函數(shù)在時值的集合，再由已知并借助集合包含關系即可作答.【詳解】當時，在上單調(diào)遞增，，，則在上值的集合是，當時，，，當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，則在上值的集合為，因函數(shù)的值域為，于是得，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D4、D【解析】根據(jù)拋物線的定義得出當點P在拋物線的頂點時，|PF|取最小值.【詳解】根據(jù)題意，設拋物線y＝2x2上點P到準線的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線的方程為y＝2x2，即x2＝y(tǒng)，其準線方程為y＝－，∴當點P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D5、A【解析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)的周長為得出，最后根據(jù)求出的值，即可求出的離心率.【詳解】因為橢圓的面積為，所以長半軸長與短半軸長的乘積，因為的周長為，所以根據(jù)橢圓的定義易知，，，，則的離心率，故選：A.6、B【解析】判斷圓心距與兩圓半徑之和、之差關系即可判斷兩圓位置關系.【詳解】由得圓心坐標為，半徑，由得圓心坐標為，半徑，∴，，∴，即兩圓相交.故選：B.7、C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過點，因為每一段圓弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點的連線平行于軸，因為下一段圓弧半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C8、C【解析】對求導得，得到m，n是兩個根，由根與系數(shù)的關系可得m，n的關系，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)求單調(diào)性，進而得最值.【詳解】由得：m，n是兩個根，由根與系數(shù)的關系得：，故，令記，則，故在上單調(diào)遞減.故選：C9、C【解析】由橢圓的性質(zhì)可先求得，故可得，再由橢圓的定義得a，c的關系，故可得答案【詳解】，，又，，則，，則，，由橢圓的定義得，，，故選：C10、B【解析】設圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側，則可得，則圓柱的體積為，利用導數(shù)求出最大值，確定值.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側，∴，∴，則圓柱的體積，∴，由得，由得，∴當時，取極大值，也是最大值，即故選：B【點睛】本題主要考查了圓柱表面積和體積的計算，考查了導數(shù)的實際應用，考查了學生的應用意識.11、A【解析】由題可得動點M的軌跡方程，可得，，即求.【詳解】設，，由，可得=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，∴，，∴，即，∴故選：A12、A【解析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當且僅當時取等號，∴的最小值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以每相鄰兩天為一個基本事件，求出試驗的基本事件數(shù)，再求出兩天都不下雨的基本事件數(shù)，利用古典概率公式計算作答.【詳解】依題意，以每相鄰兩天為一個基本事件，如16號與17號、17號與18號為不同的兩個基本事件，則從4月16號至30號期間，共有14個基本事件，它們等可能，其中相鄰兩天不下雨有16與17，19與20，20與21，21與22，22與23，26與27，27與28，28與29，共8個不同結果，所以運動會期間不下雨的概率為.故答案為：14、4【解析】可設為第一象限的點，，，求出，，化簡即得解.【詳解】解：可設為第一象限的點，，，由橢圓定義可得，由雙曲線的定義可得，可得，，由，可得，即為，化為，則故答案為：415、【解析】過點作，垂足為，過點作，垂足為，然后根據(jù)拋物線的定義和三角形相似的關系可求得結果【詳解】過點作，垂足為，過點作，垂足為，由拋物線的定義可知，，不妨設，因為，所以，因為∽，所以，即，所以，所以，因為與反向，所以.故答案為：16、【解析】先由勾股定理求圓錐的高，再結合圓錐的體積公式運算即可得解.【詳解】解：設圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為.【點睛】本題考查了圓錐的體積公式，重點考查了勾股定理，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，及經(jīng)過點建立等式可求解；（2）分斜率存在與不存在兩種情況進行討論，當斜率存在時，計算與后再求范圍即可.【小問1詳解】由題意知的離心率為，整理得，又因為經(jīng)過點，所以，解得，所以，因此，的方程為.小問2詳解】由已知可得，當直線AB或DE有一條的斜率不存在時，可得，或，，此時有或.當AB和DE的斜率都存在時且不為0時，設直線：，直線：，，，，由得，所以，，所以，用替換可得.所以，綜上所述，的取值范圍為.18、（1）3；（2）5【解析】（1）由題可得和的距離即為的最小值；（2）可得此時直線的方程為，求出交點坐標即可求出距離.【詳解】（1）由題可得當且時，取得最小值，即和的距離，由兩平行線間的距離公式，得，所以的最小值為3.（2）當直線與軸平行時，方程為，設直線與直線，分別交于點，，則，，所以，即，所以.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)條件可以確定圓心坐標和半徑，寫出圓的方程；（2）先求圓心到直線的距離，結合勾股定理可求弦長.【詳解】(1)由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2.則圓的方程為；(2)圓心（2，0）到l的距離為d，=1，.【點睛】圓的方程求解方法：（1）直接法：確定圓心，求出半徑，寫出方程；（2）待定系數(shù)法：設出圓的方程，可以是標準方程也可以是一般式方程，根據(jù)條件列出方程，求解系數(shù)即可.20、（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】（1）由題意，以點A為原點，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標系.，利用向量法求解異面直線成角即可.（2）先求出平面DEF的一個法向量，然后利用向量法求解點面距離.（3）設（），由可得關于的方程，從而得出答案.【小問1詳解】由題意，以點A為原點，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標系.則，，，，故，，從而，所以異面直線AE與DF所成角的大小為.小問2詳解】，設平面DEF的法向量為，則，即，取，得到平面DEF的一個法向量為.點A到平面DEF的距離為.【小問3詳解】假設存在滿足條件的點M，設（），則，從而.即，即，此方程無實數(shù)解，故不存在滿足條件的點M.21、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4)；（2）證明見解析.【解析】（1）求的導函數(shù)，結合定義域及導數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間；（2）法一：討論、時的零點情況，即可得，構造，利用導數(shù)研究在(0,2a)恒成立，結合單調(diào)性證明不等式；法二：設，由零點可得，進而應用分析法將結論轉化為證明，綜合換元法、導數(shù)證明結論即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為(0,+∞)，當a=2時，，則令得，x>4；令得，0<x<4；所以,單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4).【小問2詳解】法一：當a≤0時，>0在(0,+∞)上恒成立，故函數(shù)不可能有兩個不相等的零點，當a>0時，函數(shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2a)上單調(diào)遞減，因為函數(shù)有兩個不相等的零點，則，不妨設，設，（0<x<2a），則，所以，由a>0知：在(0,2a