材料力學(xué)課件：超靜定問題-

1

超靜定問題

目錄2

用靜力學(xué)平衡方程無法確定全部約束力和內(nèi)力的結(jié)構(gòu)，統(tǒng)稱為超靜定結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)，也稱為靜不定結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)?！?3.1超靜定結(jié)構(gòu)概述

在超靜定結(jié)構(gòu)中，超過維持靜力學(xué)平衡所必須的約束稱為多余約束，多余約束相對應(yīng)的反力稱為多余約束反力，多余約束的數(shù)目為結(jié)構(gòu)的靜不定次數(shù)。3靜不定問題分類第一類：僅在結(jié)構(gòu)外部存在多余約束，即支反力是靜不定的，可稱為外力靜不定系統(tǒng)。第二類：僅在結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在多余約束，即內(nèi)力是靜不定的，可稱為內(nèi)力靜不定系統(tǒng)。第三類：在結(jié)構(gòu)外部和內(nèi)部均存在多余約束，即支反力和內(nèi)力是靜不定的。分析方法1.力法：以未知力為基本未知量的求解方法。2.位移法：以未知位移為基本未知量的求解方法。4第一類第二類第三類5一般靜不定問題的解法（1）畫受力圖，列平衡方程，確定靜不定次數(shù)。（2）根據(jù)約束條件，作位移變形圖，找出變形協(xié)調(diào)條件。（3）將力與變形的物理關(guān)系（虎克定律）代入變形協(xié)調(diào)條件，得到補充方程。（4）聯(lián)立平衡方程和補充方程，求出未知的約束反力和內(nèi)力。變形協(xié)調(diào)條件由協(xié)調(diào)的變形條件可列出補充方程，謂之變形協(xié)調(diào)條件。找出變形協(xié)調(diào)條件是解決靜不定問題的關(guān)鍵。

靜不定系統(tǒng)的變形是系統(tǒng)的，而不是單個的某一個桿件的變形，故為了維護其系統(tǒng)性，組成系統(tǒng)的各個構(gòu)件的變形應(yīng)該是統(tǒng)一的，協(xié)調(diào)的。6§13.2拉壓超靜定問題7例1已知：P，A

，E。求：AB兩端的支座反力。解：（1）列平衡方程（2）列變形協(xié)調(diào)條件只有一個平衡方程，一次靜不定（3）列物理條件（胡克定律）（4）建立補充方程，解出約束反力由(a)和（d）聯(lián)立可得：8

溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力910解：（1）列平衡方程（2）列變形協(xié)調(diào)條件（3）列物理條件（胡克定律）（4）建立補充方程，解出約束反力求：桿橫截面上的應(yīng)力。例2已知：l=1.5m，A=20cm2E=200GPa,ΔT=40oC得：橫截面應(yīng)力為：這就是溫度應(yīng)力11解：（1）列平衡方程（2）列變形協(xié)調(diào)條件（3）列物理條件（胡克定律）（4）建立補充方程，解出約束反力求：桿橫截面上的應(yīng)力。例3已知：l=1.5m，A=20cm2E=200GPa,δ=0.5mm得：橫截面應(yīng)力為：這就是裝配應(yīng)力12§13.3扭轉(zhuǎn)超靜定問題13兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C受外力偶矩m作用，試求:桿兩端的支座反力偶矩。例4靜力平衡方程為：變形協(xié)調(diào)條件為：即：解：由(1)、(2)得：14解：①判定多余約束反力的數(shù)目（一個）

②選取并去除多余約束，代以多余約束反力，列出變形協(xié)調(diào)方程，見圖(b)。C

例5

如圖所示，梁EI為常數(shù)。試求支座反力，作彎矩圖，并求梁中點的撓度。PAB(a)PABCX1(b)§13.4彎曲超靜定問題15變形協(xié)調(diào)方程③用能量法計算和PABC(c)x(d)xABX1AB1x(e)由莫爾定理可得(圖c、d、e)16④求多余約束反力將上述結(jié)果代入變形協(xié)調(diào)方程得⑤求其它約束反力

由平衡方程可求得A端反力，其大小和方向見圖(f)。CPAB(f)⑥作彎矩圖，見圖(g)。(g)+–⑦求梁中點的撓度17選取基本靜定系(見圖(b))作為計算對象。單位載荷如圖(h)。PABCX1(b)x1ABC(h)用莫爾定理可得注意：對于同一靜不定結(jié)構(gòu)，若選取不同的多余約束，則基本靜定系也不同。本題中若選固定端處的轉(zhuǎn)動約束為多余約束，基本靜定系是如圖(i)所示的簡支梁。CPAB(i)X118§13.4對稱性的應(yīng)用一、對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形與反對稱變形

結(jié)構(gòu)幾何尺寸、形狀，構(gòu)件材料及約束條件均對稱于某一軸，則稱此結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)。當(dāng)對稱結(jié)構(gòu)受力也對稱于結(jié)構(gòu)對稱軸，則此結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生對稱變形。若外力反對稱于結(jié)構(gòu)對稱軸，則結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生反對稱變形。E1I1E1I1EI對稱軸E1I1E1I1EI對稱軸E1I1E1I1EI對稱軸19

正確利用對稱、反對稱性質(zhì)，則可推知某些未知量，可大大簡化計算過程：如對稱變形對稱截面上，反對稱內(nèi)力為零或已知；反對稱變形對稱截面上，對稱內(nèi)力為零或已知。對稱軸X1X2X2X3PX1X3例如：X1X3PX1X3PX2X2PP20例6

試求圖示剛架的全部約束反力。剛架EI為常數(shù)。ABCPPaa解：圖示剛架有三個多余未知力。但由于結(jié)構(gòu)是對稱的，而載荷反對稱，故對稱軸橫截面上軸力、彎矩為零，只有一個多余未知力