上海市長寧區(qū)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

上海市長寧區(qū)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線：與：互相平行，則a的值是（）A. B.2C.或2 D.3或2．等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.273．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.66 B.65C.64 D.634．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.5．如圖，在正方體中，點，分別是面對角線與的中點，若，，，則（）A. B.C. D.6．設(shè)，則曲線在點處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.7．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（）種A.9 B.36C.54 D.1088．已知a、b是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若a∥α，a∥b，則b∥α B.若a∥α，a∥β，則α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D.若a⊥α，b⊥α，則a∥b9．已知是拋物線的焦點，為拋物線上的動點，且的坐標(biāo)為，則的最小值是A. B.C. D.10．拋物線的焦點坐標(biāo)是A. B.C. D.11．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.12．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，由假設(shè)證明時，不等式左邊需增加的項數(shù)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______14．如圖，按照以下規(guī)律排列的數(shù)陣中，第i行從左向右第j個數(shù)記為，如，，則______；令則______15．如圖，用四種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法的種數(shù)為______（用數(shù)字作答）16．已知直線與垂直，則m的值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓過點且與圓外切于點，直線將圓分成弧長之比為的兩段圓弧（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線的斜率18．（12分）設(shè)集合（1）若，求；（2）設(shè)，若是成立的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍19．（12分）某城鎮(zhèn)為推進生態(tài)城鎮(zhèn)建設(shè)，對城鎮(zhèn)的生態(tài)環(huán)境、市容市貌等方面進行了全面治理，為了解城鎮(zhèn)居民對治理情況的評價和建議，現(xiàn)隨機抽取了200名居民進行問卷并評分（滿分100分），將評分結(jié)果制成如下頻率分布直方圖，已知圖中a，b，c成等比數(shù)列，且公比為2（1）求圖中a，b，c的值，并估計評分的均值（各段分?jǐn)?shù)用該段中點值作代表）；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在評分為“50～60”和“80～90”的居民中用分層抽樣的方法抽取了6個居民．若從這6個居民中隨機選擇2個參加座談，求所抽取的2個居民中至少有1個評分在“80～90”的概率20．（12分）某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)?21．（12分）如圖，直三棱柱中，，，是棱的中點，（1）求異面直線所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值22．（10分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足（1）求及的值；（2）求在點處的切線方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)直線：與：互相平行，由求解.【詳解】因為直線：與：互相平行，所以，即，解得或，當(dāng)時，直線：，：，互相平行；當(dāng)時，直線：，：，重合；所以，故選：A2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和為具有的性質(zhì)，即成等差數(shù)列，由此列出等式，求得答案.【詳解】因為為等差數(shù)列的前n項和，且，，所以成等差數(shù)列，所以，即，解得=18，故選：B.3、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項和的片段和性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題知：，，，所以，，成等比數(shù)列，即5，15，成等比數(shù)列，所以，解得.故選：B.4、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運算法則求得，再求解【詳解】因為，所以，所以故選：C5、D【解析】由空間向量運算法則得,利用向量的線性運算求出結(jié)果.【詳解】因為點，分別是面對角線與的中點，，，，所以故選:D.6、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以，則曲線在點處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C7、C【解析】根據(jù)給定條件利用排列并結(jié)合排除法列式計算作答.【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C8、D【解析】根據(jù)空間線、面的位置關(guān)系有關(guān)定理，對四個選項逐一分析排除，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，直線有可能平面內(nèi)，故A選項錯誤.對于B選項，兩個平面有可能相交，平行于它們的交線，故B選項錯誤.對于C選項，可能相交，故C選項錯誤.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知D選項正確.故選:D.9、C【解析】由題意可得，拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為過點作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角∴當(dāng)最小時，最小，則當(dāng)和拋物線相切時，最小設(shè)切點，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為.∴，則.∴，∴故選C點睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，與焦點、準(zhǔn)線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點到焦點的距離與點到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，這樣可利用三角形相似，直角三角形中的銳角三角函數(shù)或是平行線段比例關(guān)系可求得距離弦長以及相關(guān)的最值等問題.10、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)為可知，拋物線即的焦點坐標(biāo)為，故選D.考點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).11、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足：，，故選：D12、C【解析】當(dāng)成立，寫出左側(cè)的表達式，當(dāng)時，寫出對應(yīng)的關(guān)系式，觀察計算即可【詳解】從到成立時，左邊增加的項為，因此增加的項數(shù)是，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】應(yīng)用余弦定理有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)及同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，根據(jù)基本不等式求得，注意等號成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.【詳解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：14、①.55②.【解析】令易知是首項為，公差為1的等差數(shù)列，寫出通項公式，再應(yīng)用累加法求及通項公式，結(jié)合求通項公式，進而可得，最后兩次應(yīng)用錯位相減法求即可.【詳解】由題設(shè)知：令，則是首項為，公差為1的等差數(shù)列，故，所以，即，由上可得：，則，而，所以，則，所以，，所以，令，則，所以，故，綜上，，則.故答案為：，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：通過圖總結(jié)規(guī)律，易知是等差數(shù)列，應(yīng)用累加法求，再由求通項公式，最后應(yīng)用錯位相減法求前n項和.15、48【解析】由已知按區(qū)域分四步，然后給，，，區(qū)域分步選擇顏色，由此即可求解【詳解】解：由已知按區(qū)域分四步：第一步區(qū)域有4種選擇，第二步區(qū)域有3種選擇，第三步區(qū)域有2種選擇，第四步區(qū)域也有2種選擇，則由分步計數(shù)原理可得共有種，故答案為：4816、0或-9##-9或0【解析】根據(jù)給定條件利用兩直線互相垂直的性質(zhì)列式計算即得.【詳解】因直線與垂直，則有，解得或，所以m的值為0或-9.故答案為：0或-9三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知圓心在軸上，可設(shè)圓心，根據(jù)圓過點、可得出關(guān)于的方程，求出的值，可得出圓心的坐標(biāo)，進而可求得圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用幾何關(guān)系可求得圓心到直線的距離為，再利用點到直線的距離公式可求得的值.【小問1詳解】解：圓的圓心為，記點、，直線即為軸，因為圓與圓外切于點，則圓心在軸上，設(shè)圓心，由可得，解得，則圓心，所以，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：由題意可知，直線截圓所得的弦在圓上對應(yīng)的圓心角為，則圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式可得，解得.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)不等式的解答求得，當(dāng)時，求得，結(jié)合集合并集的運算，即可求解；（2）由題意得到是的真子集，根據(jù)集合間的包含關(guān)系，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：由，解得，即，當(dāng)時，可得，所以.【小問2詳解】解：由集合，因為，且是成立的必要不充分條件，是的真子集，所以且等號不能同時成立，解得，其中當(dāng)和是滿足題意，故實數(shù)的取值范圍是.19、（1），，，均值為65.6（2）【解析】（1）根據(jù)a，b，c成等比數(shù)列且公比為2，得到a，b，c的關(guān)系，利用頻率之和為1，求出a，b，c，估計評分的均值；（2）利用列舉法得到基本事件，求出相應(yīng)的概率.【小問1詳解】由題意得，，，有，所以，即，解得，于是，評分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分別為0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，則均分估計值為【小問2詳解】評分在“50～60”和“80～90”分別有40人和20人則所抽取的6個居民中，評分在“80～90”一組有2人，記為A1，A2，評分在“50～60”一組4人，記為B1，B2，B3，B4從這6人中選取2人的所有基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共15個其中至少有1個評分在“80～90”的基本事件有9個則所求的概率，即抽取的2個居民中至少有1個評分在“80～90”的概率為20、（1）甲分廠加工出來的級品的概率為，乙分廠加工出來的級品的概率為；（2）選甲分廠，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)兩個頻數(shù)分布表即可求出；（2）根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工件產(chǎn)品的總利潤，即可求出平均利潤，由此作出選擇【詳解】（1）由表可知，甲廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率為，乙廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率為；（2）甲分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為元，所以甲分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件；乙分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為元，所以乙分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù)【點睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬于基礎(chǔ)題21、（1）（2）【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)