極坐標系 省賽獲獎

§1.2極坐標系§4.1.2極坐標系(1)教學(xué)目標:1.理解極坐標的概念

2.學(xué)會用極坐標表示平面上的點教學(xué)重點:1.理解極坐標的意義

2.能夠在極坐標系中用極坐標確定點位置問題2：如何刻畫這些點的位置？一、問題情境情境1：軍艦巡邏在海面上，發(fā)現(xiàn)前方有一群水雷，如何確定它們的位置以便將它們引爆？情境2：請問到隆回一中學(xué)校區(qū)怎么走？從這向從這向北2000米。問題1：為了簡便地表示上述問題中點的位置，應(yīng)創(chuàng)建怎樣的坐標系呢？從這向北2000米。請問：去隆回一中

學(xué)校區(qū)怎么走？請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？從這向北走2000米！出發(fā)點方向距離

在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。一、極坐標系的建立：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點。引一條射線OX，叫做極軸。再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向）。這樣就建立了一個極坐標系。XO二、極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定XOM

對于平面上任意一點M，用

表示線段OM的長度，用

表示從OX到OM的角度，

叫做點M的極徑，

叫做點M的極角，有序數(shù)對（，）就叫做M的極坐標。特別強調(diào)：表示線段OM的長度，即點M到極點O的距離；表示從OX到OM的角度，即以O(shè)X（極軸）為始邊，OM為終邊的角。2、極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定XOM

極點的極坐標為_________________(0,),

可為任意值.思考:對比直角坐標系，比較異同要素：________________________________________；(2)平面內(nèi)點的極坐標用_____表示.極點、極軸、長度單位、角度單位和正方向(,)

對于平面上任意一點M,用

表示線段OM的長度,用

表示以射線OX為始邊,射線OM為終邊所成的角,

叫做點M的極徑,

叫做點M的極角,有序數(shù)對(,)就叫做M的極坐標。例1.如圖，寫出各點的極坐標：。Ox

4

2564353

A?B?C?D?E?F?G?A(4,0)B(3,)

4C(2,)

2D(5,)56E(4.5,

)F(6,)43G(7,)53[變式訓(xùn)練1

]在課本的圖上描下列點：[小結(jié)]由極坐標描點的步驟：

(1)先按極角找到點所在射線；

(2)在此射線上按極徑描點.3、點的極坐標的表達式的研究XOM

如圖：OM的長度為4，請說出點M的極坐標的其他表達式思考：這些極坐標之間有何異同？思考：這些極角有何關(guān)系？這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。本題點M的極坐標統(tǒng)一表達式：極徑相同，不同的是極角思考:①平面上一點的極坐標是否唯一？若不唯一,那有多少種表示方法？②不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？4、極坐標系下點與它的極坐標的對應(yīng)情況[1]給定（

,）,就可以在極坐標平面內(nèi)確定唯一的一點M[2]給定平面上一點M，但卻有無數(shù)個極坐標與之對應(yīng)。原因在于：極角有無數(shù)個。OXPM(ρ,θ)如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除極點外,平面內(nèi)的點和極坐標就可以一一對應(yīng)了.例2.在極坐標系中,(1)已知兩點，，求線段PQ的長度；

(2)已知點M的極坐標為(

,),R,說明滿足上述條件的點M的位置.

在一般情況下，極徑都是取正值。但在某些必要的情況下，也允許取負值(

<0):當(dāng)

<0時如何規(guī)定(,)對應(yīng)的點的位置？°Ox當(dāng)

<0時，點M(,)的位置規(guī)定：

))|

|?M(,)°OxM(-2,)56)56???點M：在角

終邊的反向延長線上，且|OM|=|

|M(-2,)565、關(guān)于負極徑小結(jié)：從比較來看,負極徑比正極徑多了一個操作,將射線OP“反向延長”.正、負極徑時，點的確定過程比較OXPOXP[1]作射線OP，使

XOP=/4[2]在OP的反向延長線上取一點M，使

OM=3[1]作射線OP，使

XOP=/4[2]在OP的上取一點M，使

OM=3M畫出點（3，

/4）和（－3，

/4）給定ρ,θ在極坐標系中描點的方法：先按極角找到極徑所在的射線，后按極徑的正負和數(shù)值在這條射線或其反向延長線上描點。M負極徑小結(jié)：極徑變?yōu)樨?，極角增加

。練習(xí)：寫出點的負極徑的極坐標（6，）答：（－6，

+π）或（－6，－+π）特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），認為

≥

0。因為負極徑只在極少數(shù)情況用。。Ox

4

2565453

1162332A(-4,0)C(-2,)

2B(3,)56D(-1,)53E(3,-)

6(-4,-)

3F?A?B?C?D?E?F[小結(jié)](,)(,2k

+)(-,+

)[-,+(2k+1)

]都是同一點的極坐標.例3.已知點Q(,)，分別按下列條件求出點P的坐標：

(1)P是點Q關(guān)于極點O的對稱點；

(2)P是點Q關(guān)于直線的對稱點.(3)P是點Q關(guān)于極軸的對稱點。

注意點M的極坐標具有多值性.極坐標與直角坐標的區(qū)別:

直角坐標

極坐標

表示形式與平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系

一一對應(yīng)一一對應(yīng)[3]一點的極坐標有否統(tǒng)一的表達式？三、小結(jié)[1]建立一個極坐標系需要哪些要素極點；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向.[2]極坐標系內(nèi)一點的極坐標有多少種表達式？無數(shù)，極角有無數(shù)個.有。（ρ，2kπ+θ）四、課后作業(yè)教材P14-15頁5，8，9，10，11思考:極坐標系中,點M的坐標為(-10,),則下列各坐標中,不是M點的坐標的是()(A)(10,)(B)(-10,-)(C)(10,-)(D)(10,)43

3532323極坐標和直角坐標的互化§4.1.2極坐標系(2)教學(xué)目標:1、掌握極坐標和直角坐標的互化關(guān)系式2、會實現(xiàn)極坐標和直角坐標之間的互化教學(xué)重點:1、對極坐標和直角坐標的互化關(guān)系式的理解2、互化關(guān)系式的掌握極坐標和直角坐標的互化情境1：若點作平移變動時，則點的位置采用直角坐標系描述比較方便;一、問題情境情境2：若點作旋轉(zhuǎn)變動時，則點的位置采用極坐標系描述比較方便問題1:

極坐標系是怎樣定義的?問題2:

極坐標系與直角坐標系有何異同?問題3:平面內(nèi)的一個點的直角坐標是(1,)，這個點如何用極坐標表示?Oxy在直角坐標系中,以原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并且兩種坐標系中取相同的長度單位。點M的直角坐標為θ設(shè)點M的極坐標為(ρ,θ)M(2,π/3)極坐標與直角坐標的互化關(guān)系式:設(shè)點M的直角坐標是(x,y)極坐標是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ

互化公式的三個前提條件：1.極點與直角坐標系的原點重合;2.極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合;3.兩種坐標系的單位長度相同.(限定ρ＞0,0≤θ＜2π)例1.將點M的極坐標化成直角坐標.解:所以,點M的直角坐標為已知下列點的極坐標，求它們的直角坐標。例2.將點M的直角坐標化成極坐標.解:因為點在第三象限,所以因此,點M的極坐標為練習(xí):已知點的直角坐標,求它們的極坐標.例3已知兩點（2，），（3，）求兩點間的距離.π3π2o