有關輾轉相除法和更相減損術的問題課件

有關輾轉相除法和更相減損術的問題有關輾轉相除法和更相減損術的問題探究一,輾轉相除法思考1:在小學中我們是如何求出兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的呢?算法案例之求最大公約數(shù)求以下幾組正整數(shù)的最大公約數(shù)。(注：若整數(shù)m和n滿足n整除m，則（m,n）=n。用（m,n）來表示m和n的最大公約數(shù)。)（1）（18，30）（2）（24，16）（3）（63，63）（4）（72，8）（5）（301，133）解：21824用公有質因數(shù)2除，

3912用公有質因數(shù)3除，

343和4互質不除了。得：18和24最大公約數(shù)是：2×3＝6

例、求18與24的最大公約數(shù)：6；8；63；8；7；短除法想一想，如何求8251與6105的最大公約數(shù)？

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思考2:對于8251與6105這兩個數(shù)，它們的最大公約數(shù)是多少？你是怎樣得到的？

由于它們公有的質因數(shù)較大，利用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.有沒有其它的方法可以較簡單的找出它們的最大公約數(shù)呢？有關輾轉相除法和更相減損術的問題

思考3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251與6105這兩個數(shù)的公約數(shù)和6105與2146的公約數(shù)有什么關系？

我們發(fā)現(xiàn)6105=2146×2+1813，同理，6105與2146的公約數(shù)和2146與1813的公約數(shù)相等.

思考4：重復上述操作，你能得到8251與6105這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎？2146=1813×1+333，148=37×4+0.333=148×2+37，1813=333×5+148，8251=6105×1+2146，6105=2146×2+1813，定義:所謂的輾轉相除法,就是對于給定的兩個數(shù),用較大的數(shù)除以較小的數(shù),若余數(shù)不為零,則將余數(shù)和較小的數(shù)構成新的數(shù)對,繼續(xù)上面的除法,直到大數(shù)被小數(shù)除盡,則這是較小的數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)有關輾轉相除法和更相減損術的問題輾轉相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，其算法可以描述如下：輾轉相除法是一個反復執(zhí)行直到余數(shù)等于0停止的步驟，這實際上是一個循環(huán)結構

思考4：輾轉相除直到何時結束？主要運用的是哪種算法結構？如此循環(huán)，直到得到結果。①輸入兩個正整數(shù)m和n；②求余數(shù)r：計算m除以n，將所得余數(shù)存放到變量r中；③更新被除數(shù)和余數(shù)：m=n，n=r。④判斷余數(shù)r是否為0：若余數(shù)為0則輸出結果，否則轉向第②步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行。有關輾轉相除法和更相減損術的問題第一步，給定兩個正整數(shù)m，n(m>n).第二步，計算m除以n所得的余數(shù)r.第三步，m=n，n=r.

第四步，若r=0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步.

思考5:你能把輾轉相除法編成一個計算機程序嗎？有關輾轉相除法和更相減損術的問題程序框圖開始輸入m，n求m除以n的余數(shù)rm=nn=rr=0？是輸出m結束否INPUTm，nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND有關輾轉相除法和更相減損術的問題

思考6:如果用當型循環(huán)結構構造算法，則用輾轉相除法求兩個正整數(shù)m、n的最大公約數(shù)的程序框圖和程序分別如何表示？有關輾轉相除法和更相減損術的問題開始輸入m，n求m除以n的余數(shù)rm=nr≠0？否輸出m結束是n=rINPUTm，nWHILEr<>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND有關輾轉相除法和更相減損術的問題練習：用輾轉相除法求下列兩數(shù)的最大公約數(shù)：（1）（225，135）（2）（98，196）（3）（72，168）（4）（153，119）45982417有關輾轉相除法和更相減損術的問題二、更相減損術

《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，其中的“更相減損術”也可以用來求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之.”意思是：

第一步：任意給定兩個正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù).若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步.

第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù).繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個等數(shù)或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).有關輾轉相除法和更相減損術的問題例1：用更相減損術求98與63的最大公約數(shù).98-63=35，14-7=7.21-7=14，28-7=21，35-28=7，63-35=28，因為63不是偶數(shù)，所以所以最大公約數(shù)是7.有關輾轉相除法和更相減損術的問題

例2分別用輾轉相除法和更相減損術求168與93的最大公約數(shù).168=93×1+75，93=75×1+18，75=18×4+3，18=3×6.輾轉相除法：更相減損術:168-93=75，

93-75=18，

75-18=57，

57-18=39，

39-18=21，

21-18=3，

18-3=15，

15-3=12，

12-3=9，

9-3=6，

6-3=3.有關輾轉相除法和更相減損術的問題

例4求325，130，270三個數(shù)的最大公約數(shù).

因為325=130×2+65，130=65×2，所以325與130的最大公約數(shù)是65.

因為270=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以65與270最大公約數(shù)是5.

故325，130，270三個數(shù)的最大公約數(shù)是5.有關輾轉相除法和更相減損術的問題

練習:用更相減損術求兩個正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)，可以用什么邏輯結構來構造算法？其算法步驟如何設計？

第一步，給定兩個正整數(shù)m，n(m>n).

第二步，計算m-n所得的差k.

第三步，比較n與k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示.

第四步，若m=n，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步.

討論:該算法的程序框圖如何表示？有關輾轉相除法和更相減損術的問題開始輸入m，nn>k？m=n是輸出m結束m≠n？k=m-n是否n=km=k否

討論:該程序框圖對應的程序如何表述？