陜西省長安市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測(cè)試題含解析

陜西省長安市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過程中，從到時(shí)，不等式的左邊增加了（）A. B.C. D.2．已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.1983．閱讀程序框圖，該算法的功能是輸出A.數(shù)列的第4項(xiàng) B.數(shù)列的第5項(xiàng)C.數(shù)列的前4項(xiàng)的和 D.數(shù)列的前5項(xiàng)的和4．已知是空間的一個(gè)基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.5．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則（）A10100 B.-10100C.5052 D.-50526．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn).則C的方程為（）A. B.C. D.7．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.8．若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或9．直線的一個(gè)方向向量為，則它的斜率為（）A. B.C. D.10．已知關(guān)于x的不等式的解集為空集，則的最小值為（）A. B.2C. D.411．下列說法正確的有（）個(gè).①向量，，，不一定成立；②圓與圓外切③若，則數(shù)是數(shù)，的等比中項(xiàng).A.1 B.2C.3 D.012．一條直線過原點(diǎn)和點(diǎn)，則這條直線的傾斜角是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在四棱錐中，O是AD邊中點(diǎn)，底面ABCD..在底面ABCD中，，，，.（1）求證：平面POC；（2）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.14．動(dòng)直線，恒過的定點(diǎn)是________15．盒子中放有大小和質(zhì)地相同的2個(gè)白球、1個(gè)黑球，從中隨機(jī)摸取2個(gè)球，恰好都是白球的概率為___________.16．已知雙曲線(a，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1且傾斜角為的直線l與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)A，B.且|AF2|=|BF2|，則該雙曲線的離心率為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在如圖三角形數(shù)陣中第n行有n個(gè)數(shù)，表示第i行第j個(gè)數(shù)，例如，表示第4行第3個(gè)數(shù).該數(shù)陣中每一行的第一個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，從第三行起每一行的數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中).已知.（1）求m及；（2）記，求.18．（12分）已知數(shù)列中，，（）.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.19．（12分）已知拋物線C：，經(jīng)過的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（1）求的值（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）設(shè)F為拋物線C的焦點(diǎn)，直線為拋物線C的準(zhǔn)線，直線是拋物線C的通徑所在的直線，過C上一點(diǎn)P（）（）作直線與拋物線相切，若直線與直線相交于點(diǎn)M，與直線相交于點(diǎn)N，證明：點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求出此定值20．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線，與直線和橢圓分別交于兩點(diǎn)，（與不重合）.判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，說明理由.21．（12分）已知函數(shù)的圖像在處的切線斜率為，且時(shí)，有極值.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.22．（10分）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】依題意，由遞推到時(shí)，不等式左邊為，與時(shí)不等式的左邊作差比較即可得到答案【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過程中，假設(shè)時(shí)不等式成立，左邊，則當(dāng)時(shí)，左邊，∴從到時(shí)，不等式的左邊增加了故選：B2、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的公差，求得其通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時(shí)，該數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，最大值為，故選：A3、B【解析】分析：模擬程序的運(yùn)行,依次寫出每次循環(huán)，直到滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值即可詳解：模擬程序的運(yùn)行,可得:

A=0,i=1執(zhí)行循環(huán)體,,

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值為31.觀察規(guī)律可得該算法的功能是輸出數(shù)列{}的第5項(xiàng).所以B選項(xiàng)是正確的.點(diǎn)睛：模擬程序的運(yùn)行,依次寫出每次循環(huán)得到的A,i的值,當(dāng)i=6時(shí)滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值,觀察規(guī)律即可得解.4、C【解析】由，可得存在實(shí)數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結(jié)果【詳解】，，因，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C5、D【解析】根據(jù)已知條件，用并項(xiàng)求和法即可求得結(jié)果.【詳解】∵∴∴.故選：D.6、B【解析】根據(jù)已知和漸近線方程可得，雙曲線焦距，結(jié)合的關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，則①.又因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，雙曲線的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線C的方程為.故選：B.7、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A.8、D【解析】根據(jù)曲線方程的特征，發(fā)現(xiàn)曲線表示在軸上方的圖象，畫出圖形，根據(jù)圖形上直線的三個(gè)特殊位置，當(dāng)已知直線位于直線位置時(shí)，把已知直線的解析式代入橢圓方程中，消去得到關(guān)于的一元二次方程，由題意可知根的判別式等于0即可求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；當(dāng)已知直線位于直線及直線的位置時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)的的值，寫出滿足題意得的范圍，綜上，得到所有滿足題意得的取值范圍【詳解】根據(jù)曲線，得到，解得：；，畫出曲線的圖象，為橢圓在軸上邊的一部分，如圖所示：當(dāng)直線在直線的位置時(shí)，直線與橢圓相切，故只有一個(gè)交點(diǎn)，把直線代入橢圓方程得：，得到，即，化簡得：，解得或(舍去)，則時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線在直線位置時(shí)，直線與曲線剛好有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)直線在直線位置時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上，滿足題意得的范圍是或故選：D9、A【解析】根據(jù)的方向向量求得斜率.【詳解】且是直線的方向向量，.故選：A10、D【解析】根據(jù)一元二次不等式的解集的情況得出二次項(xiàng)系數(shù)大于零，根的判別式小于零，可得出，再將化為，由和均值不等式可求得最小值.【詳解】由題意可得：，，可以得到，而，可以令，則有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以的最小值為4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查均值不等式，關(guān)鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關(guān)系，再將所求的式子運(yùn)用不等式的性質(zhì)降低元的個(gè)數(shù)，運(yùn)用均值不等式，是中檔題.11、A【解析】由向量數(shù)量積為實(shí)數(shù)，以及向量共線定理，即可判斷①；求出圓心距，即可判斷兩圓位置關(guān)系，從而判斷②；取，即可判斷③【詳解】對(duì)于①，與共線，與共線，故不一定成立，故①正確；對(duì)于②，圓的圓心為，半徑為，圓可變形為，故其圓心為，半徑為，則圓心距，由，所以兩圓相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，取，則數(shù)不是數(shù)的等比中項(xiàng)，故③錯(cuò)誤故選：A12、C【解析】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得所求直線的傾斜角.【詳解】設(shè)這條件直線的傾斜角為，則，，因此，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意，證明BCOA是平行四邊形，從而可得，然后根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明；（2）證明BCDO是平行四邊形，從而可得，由題意，可建立以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABP的法向量，利用向量法即可求解直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.【小問1詳解】證明：由題意，又，所以BCOA是平行四邊形，所以，又平面POC，平面POC，所以平面POC；【小問2詳解】解：，，所以BCDO是平行四邊形，所以，，而，所以，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)平面ABP的一個(gè)法向量為，則，取x=1，則，，所以，設(shè)直線PC與平面PAB所成角為，則，所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.14、【解析】將直線方程轉(zhuǎn)化為，從而可得，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直線恒過定點(diǎn)（2，2）故答案為：15、【解析】根據(jù)題意得到，計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意：.故答案為：16、【解析】由雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a，c的關(guān)系，再由離心率公式可得所求值【詳解】過F2作F2N⊥AB于點(diǎn)N，設(shè)|AF2|＝|BF2|＝m，因?yàn)橹本€l的傾斜角為，所以在直角三角形F1F2N中，，由雙曲線的定義可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，即|AN|＝2a，所以|AF1|＝c﹣2a，因此，在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，則，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】（1）根據(jù)題意以m表示出，由即可求出，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再利用錯(cuò)位相減法即可求出.【詳解】（1）由已知得，，，，，即，又，，，；（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，又，，滿足，，，兩式相減得，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.18、（1）（2）【解析】由已知式子變形可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得利用錯(cuò)位相減法，得到數(shù)列的前項(xiàng)和為解析：（1）由，（）知，又，∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴（2），，兩式相減得，∴點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的證明，錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力．第一問中將已知的遞推公式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為的形式來證明，還可以根據(jù)等比數(shù)列的定義來證明；第二問，將第一問中得到的結(jié)論代入，先得到的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法，即可得到數(shù)列的前項(xiàng)和為19、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得.（2）求得過點(diǎn)的拋物線的切線方程，由此求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，通過化簡來證得為定值，并求得定值.【小問1詳解】依題意可知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，消去并化簡得，所以，所以.小問2詳解】拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線，通徑所在直線，在拋物線上，且，所以過點(diǎn)的拋物線的切線的斜率存在且不為零，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，由消去并化簡得，，將代入上式并化簡得，解得，所以切線方程為，令得，令得，，將代入上式并化簡得，所以為定值，且定值為.20、（1）（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)為【解析】（1）根據(jù)離心率及頂點(diǎn)坐標(biāo)求出即可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為（），求出的坐標(biāo)，設(shè)是以為直徑的圓上的點(diǎn)，利用向量垂直可得恒成立，可得定點(diǎn)，斜率不存在時(shí)驗(yàn)證即可.【小問1詳解】由題意得，，，又因?yàn)椋?所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】以為直徑的圓過定點(diǎn).理由如下：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為（）.令，得，所以.由得，則或，所以.設(shè)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，.由題意，，則以為直徑的圓的方程為.即恒成立即解得故以為直徑的圓恒過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓也過點(diǎn).綜上，以為直徑的圓恒過定點(diǎn).21、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）由題得①，②，解方