中國振動工程學(xué)會模態(tài)分析高級研修班講課資料(第一章)-模態(tài)分析理論基礎(chǔ)

姜節(jié)勝西北工業(yè)大學(xué)振開工程爭論所模態(tài)分析理論根底模態(tài)分析理論根底是20世紀(jì)30年月機械阻抗與導(dǎo)納的概念上進(jìn)展起來。吸取了振動理論、信號分析、數(shù)據(jù)處理、數(shù)理統(tǒng)計、自動掌握理論的有關(guān)養(yǎng)分，形成一套獨特的理論。模態(tài)分析的最終目標(biāo)是識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為構(gòu)造系統(tǒng)的振動分析、振動故障診斷和預(yù)報、構(gòu)造動力特性的優(yōu)化設(shè)計供給依據(jù)。解析模態(tài)分析可用有限元計算實現(xiàn)，而試驗?zāi)B(tài)分析則是對構(gòu)造進(jìn)展可測可控的動力學(xué)鼓勵，由激振力和響應(yīng)的信號求得系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，再在頻域或轉(zhuǎn)到時域承受多種識別方法求出模態(tài)參數(shù)，得到構(gòu)造固有的動態(tài)特性，這些特性包括固有頻率、振型和阻尼比等。

模態(tài)分析定義為：將線性時不變系統(tǒng)振動微分方程組中的物理坐標(biāo)變換為模態(tài)坐標(biāo)，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標(biāo)及模態(tài)參數(shù)描述的獨立方程，坐標(biāo)變換的變換矩陣為振型矩陣，其每列即為各階振型。有限元分析軟件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在構(gòu)造設(shè)計中被普遍承受,但在設(shè)計中,由于計算模型和實際構(gòu)造的誤差,而且受到邊界條件很難準(zhǔn)確確定的影響,特殊是構(gòu)造的外形和動態(tài)特性很簡單時，有限元簡化模型和計算的誤差較大。通過對構(gòu)造進(jìn)展試驗?zāi)B(tài)分析，可以正確確定其動態(tài)特性，并利用動態(tài)試驗結(jié)果修改有限元模型，從而保證了在構(gòu)造響應(yīng)、壽命估計、牢靠性分析、振動與噪聲掌握分析與預(yù)估以及優(yōu)化設(shè)計時獲得有效而正確的結(jié)果。a.獲得構(gòu)造的固有頻率,可避開共振現(xiàn)象的發(fā)生當(dāng)外界鼓勵力的頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)發(fā)生共振現(xiàn)象。此時系統(tǒng)最大限度地從外界吸取能量，導(dǎo)致構(gòu)造過大有害振動。構(gòu)造設(shè)計人員要設(shè)法使構(gòu)造不工作在固有頻率環(huán)境中。相反，共振現(xiàn)象并非總是有害的：振動篩、粉末碾磨機、打夯機和滅蟲聲放射裝置等等就是共振現(xiàn)象的利用。構(gòu)造設(shè)計人員此時要設(shè)法使這種器械工作在固有頻率環(huán)境中，可以獲得最大能量利用率。試驗?zāi)B(tài)分析的典型應(yīng)用b.為了應(yīng)用模態(tài)疊加法求構(gòu)造響應(yīng)，確定動強度,和疲憊壽命分析告知我們?nèi)魏尉€性構(gòu)造在外鼓勵作用下他的響應(yīng)是可以通過每個模態(tài)的響應(yīng)迭加而成的。所以模態(tài)分析另一主要的應(yīng)用是建立構(gòu)造動態(tài)響應(yīng)的猜測模型，為構(gòu)造的動強度設(shè)計及疲憊壽命的估量效勞。c.載荷(外鼓勵)識別由鼓勵和模態(tài)參數(shù)猜測響應(yīng)的問題稱為動力學(xué)正問題，反之由響應(yīng)和模態(tài)參數(shù)求鼓勵稱為反問題。原則上只要全部的各階模態(tài)參數(shù)都求得,由響應(yīng)就可以求出外鼓勵〔稱為載荷識別〕。d.振動與噪聲掌握既然構(gòu)造振動是各階振型響應(yīng)的迭加，只要設(shè)法掌握相關(guān)頻率四周的優(yōu)勢模態(tài)〔改設(shè)計和加阻尼材料等或使用智能材料〕就可以到達(dá)掌握構(gòu)造振動的目的。對汽車車廂內(nèi)或室內(nèi)輻射噪聲的掌握，道理也一樣。車廂座艙或室內(nèi)輻射噪聲與其構(gòu)造的振動特性〔模態(tài)〕關(guān)系親密，由于輻射噪聲是由構(gòu)造振動“輻射”出來的。掌握了構(gòu)造的振動，也就是實現(xiàn)了輻射噪聲的掌握。e.為構(gòu)造動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計供給目標(biāo)函數(shù)或約束條件動力學(xué)設(shè)計，即對主要承受動載荷而動特性又至關(guān)重要的構(gòu)造，以動態(tài)特性指標(biāo)作為設(shè)計準(zhǔn)則，對構(gòu)造進(jìn)展優(yōu)化設(shè)計。它既可在常規(guī)靜力設(shè)計的構(gòu)造上，運用優(yōu)化技術(shù)，對構(gòu)造的元件進(jìn)展構(gòu)造動力修改；也可從滿足構(gòu)造動態(tài)性能指標(biāo)動身，綜合考慮其它因素來確定構(gòu)造的外形，乃至構(gòu)造的拓?fù)洹膊季衷O(shè)計、開孔、增刪元件〕。動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計就是在構(gòu)造總體設(shè)計階段就應(yīng)對構(gòu)造的模態(tài)參數(shù)提出要求，避開事后修補影響全局。f.有限元模性修正與確認(rèn)當(dāng)今工程構(gòu)造計算承受最廣泛的計算模型就是有限元模型。再好的算法和軟件都是建立在抱負(fù)的構(gòu)造物理參數(shù)和邊界條件假設(shè)上的。構(gòu)造有限元計算結(jié)果和試驗往往存在不小差距。此時在模態(tài)試驗可信的前提下，一般是以試驗結(jié)果來對有限元模型進(jìn)展修正和確認(rèn)。經(jīng)過修正和確認(rèn)的有限元模型具有優(yōu)化概念下的與試驗結(jié)果最大的接近?？梢赃M(jìn)一步用于后繼的響應(yīng)、載荷和強度計算。單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)分析粘性阻尼系統(tǒng)阻尼力〔與振動速度成正比〕：強迫振動方程及其解解的形式〔s為復(fù)數(shù)〕及拉氏變換：自由振動阻尼比范圍〔0－1〕內(nèi)為欠阻尼無阻尼固有頻率實部：衰減因子，反映系統(tǒng)阻尼虛部：有阻尼系統(tǒng)的固有頻率

構(gòu)造阻尼〔滯后阻尼〕系統(tǒng)阻尼力：與位移成正比，相位比位移超前90度構(gòu)造阻尼系數(shù)運動方程及拉氏變換g—為構(gòu)造阻尼比或構(gòu)造損耗因子傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)用實部和虛部表示與粘性阻尼系統(tǒng)相比頻響函數(shù)形式一樣和相互置換即可得各自表達(dá)式〔1＋jg〕k—復(fù)剛度位移、速度和加速度傳遞函數(shù)位移、速度和加速度頻率響應(yīng)函數(shù)三者之間的關(guān)系動剛度〔位移阻抗〕動柔度〔位移導(dǎo)納〕質(zhì)量阻抗、阻尼阻抗、剛度阻抗〔位移、速度、加速度〕質(zhì)量導(dǎo)納、阻尼導(dǎo)納、剛度導(dǎo)納〔位移、速度、加速度〕左至右阻抗除，導(dǎo)納乘單自由度頻響函數(shù)的特性曲線Bode圖(幅頻圖和相頻圖)幅頻圖:頻響函數(shù)的幅值與頻率的關(guān)系相頻圖:相位與頻率的關(guān)系阻尼愈大，在固有頻率四周相位曲線的陡度越小時曲線始點約為1/k，為彈簧的導(dǎo)納線；低頻時外力主要由彈簧力來平衡；時，產(chǎn)生共振，幅值為此時慣性力與彈簧力平衡，鼓勵力與阻尼力平衡時幅值下降，最終趨向于漸近線極值為0，高頻時系統(tǒng)鼓勵力主要由慣性力來平衡實頻圖〔構(gòu)造阻尼和粘滯阻尼〕兩個極值點半功率帶寬半功率帶寬反映阻尼大小阻尼越大，半功率帶寬越大，反之亦然虛頻圖以構(gòu)造阻尼為例：系統(tǒng)共振時虛部到達(dá)最大值系統(tǒng)共振時實部為零半功率點處的值半功率的概念是針對功率〔而非幅值〕而言，在半功率點處，虛部正好為其最大值的一半，但幅值卻為最大幅值的有效值。Nyquist圖－頻響函數(shù)矢端軌跡圖構(gòu)造阻尼系統(tǒng)Nyquist圓〔導(dǎo)納圓〕》特點起始點(頻率為零)非原點，約在(1/k,-g/k)處，圓心坐標(biāo)〔0，-1/2kg〕初相角為arctan(-g)圓的直徑為虛部最大值1/(kg)半徑為實部最大值1/(2kg)直徑處對應(yīng)半功率帶寬兩個頻率點共振頻率點粘滯阻尼系統(tǒng)Nyquist圖特點桃子形，阻尼比越小軌跡圓越大在固有頻率四周，曲線接近圓，仍可利用圓的特性速度與加速度頻響函數(shù)特性曲線關(guān)系回憶幅頻圖實頻圖與虛頻圖Nyquist圖不同鼓勵下頻響函數(shù)的表達(dá)式要點頻響函數(shù)反映系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系表示系統(tǒng)的固有特性線性范圍內(nèi)它與鼓勵的型式與大小無關(guān)在不同類型鼓勵力的作用下其表達(dá)形式常不一樣簡諧鼓勵鼓勵力響應(yīng)位移頻響函數(shù)周期鼓勵非正弦周期力，如方波、鋸齒波，周期為T響應(yīng)的傅氏開放頻響函數(shù)〔定義為各頻率點上的值〕均包含幅值與相位兩個量瞬態(tài)鼓勵一般瞬態(tài)輸入傅氏變換相應(yīng)輸出傅氏變換相應(yīng)頻響函數(shù)單位脈沖鼓勵頻響函數(shù)隨機鼓勵輸入自相關(guān)函數(shù)輸入自功率譜密度輸入輸出相互關(guān)函數(shù)互功率譜密度函數(shù)頻響函數(shù)多自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)分析兩類系統(tǒng)約束系統(tǒng)自由系統(tǒng)約束系統(tǒng)2自由度運動方程〔無阻尼〕傅氏變換頻響函數(shù)矩陣原點頻響函數(shù)第i點的響應(yīng)與第i點的鼓勵之間的頻響函數(shù)跨點頻響函數(shù)第i點的響應(yīng)與第j點的鼓勵之間的頻響函數(shù)原點頻響函數(shù)特性原點頻響函數(shù)曲線及特性兩個共振頻率點〔對應(yīng)于分母為零〕一個反共振點〔分子為零〕

反共振是局部現(xiàn)象〔僅僅振幅為零，由于此時頻響函數(shù)的其他項均不為零〕。機架線一般多自由度約束系統(tǒng)N自由度約束系統(tǒng)有N個共振頻率,〔N－1〕個反共振頻率對原點函數(shù)共振反共振交替消失對跨點頻響函數(shù)無此規(guī)律一般兩個距離遠(yuǎn)的跨點消失反共振的時機比較近的跨點少機架線自由系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)運動方程〔無阻尼〕頻響函數(shù)矩陣曲線及特性時系統(tǒng)產(chǎn)生剛體運動零頻為剛體模態(tài)反共振點一個共振點高頻時以高階質(zhì)量線為漸進(jìn)線，趨向于零零階等效質(zhì)量機架線一般多自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線一般總結(jié)共振于反共振頻率滿足以下關(guān)系〔假設(shè)有零頻則算第一階〕機架線多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析與模態(tài)參數(shù)〔根本理論及方法〕比例阻尼線定常系統(tǒng)物理坐標(biāo)下的運動方程M、C、K均為N×N矩陣方程包含物理坐標(biāo)為耦合方程

傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)矩陣

拉氏變換

模態(tài)坐標(biāo)下的運動方程-任意l點的響應(yīng)為各階模態(tài)響應(yīng)的線性組合振型矩陣〔模態(tài)矩陣〕第r階振型〔模態(tài)向量)模態(tài)坐標(biāo)-模態(tài)坐標(biāo)下的運動方程無阻尼自由振動特征方程全部模態(tài)第r階模態(tài)模態(tài)正交性主模態(tài)：各階模態(tài)主空間：各階模態(tài)向量所組成的空間主坐標(biāo)：相應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)第r階模態(tài)的慣性力對第s階模態(tài)位移所做的功為零；或第r階模態(tài)的彈性力對第s階模態(tài)位移所做的功為零

模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度-模態(tài)剛度特定歸一化狀況〔模態(tài)質(zhì)量歸一)它們的具體值沒有太大的意義，取決于振型歸一化，這是由于振型只是振動形態(tài)，沒有振幅的意思。這三個振型〔模態(tài)向量〕是等價的

-模態(tài)質(zhì)量0000

解偶后的運動方程--比例阻尼系統(tǒng)運動方程比例阻尼模態(tài)阻尼M、K對稱，所以C也對稱，也具有正交性解偶運動方程〔模態(tài)坐標(biāo)下〕對第r階模態(tài)模態(tài)頻率、模態(tài)向量、模態(tài)質(zhì)量模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼總稱模態(tài)參數(shù)多自由度系統(tǒng)實模態(tài)分析實模態(tài)條件各點振動相位差為零，或為180度與無阻尼和比例阻尼系統(tǒng)等價實模態(tài)下響應(yīng)模態(tài)坐標(biāo)物理坐標(biāo)測點l的響應(yīng)單點鼓勵頻響函數(shù)單點p鼓勵l點響應(yīng)測量l點與鼓勵點p之間的頻響函數(shù)頻響函數(shù)與鼓勵力大小無關(guān)幾個概念等效剛度等效質(zhì)量等效質(zhì)量與等效剛度的關(guān)系等效剛度與測點與鼓勵點有關(guān)計及剛體位移下的頻響函數(shù)剛體運動的頻響函數(shù)考慮剛體位移下的頻響函數(shù)剩余柔度認(rèn)為是與頻率無關(guān)的常數(shù)也可認(rèn)為是頻率的線性函數(shù)模態(tài)截斷頻響函數(shù)的合成頻響函數(shù)為單個模態(tài)之疊加模態(tài)截斷只關(guān)心前幾階和十幾階模態(tài)無視高階模態(tài)的影響所截模態(tài)數(shù)一般大于被分析模態(tài)數(shù)的兩倍頻響函數(shù)多自由度系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析特點各點相位差不肯定是0度或180度〔與實模態(tài)不同〕振型系數(shù)為復(fù)數(shù)構(gòu)造阻尼系統(tǒng)構(gòu)造阻尼材料內(nèi)部阻尼滑移阻尼〔接頭、螺釘、鉚釘、襯墊等〕運動方程及拉氏變換R為構(gòu)造阻尼矩陣傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)矩陣一般表達(dá)特征解的正交性G為構(gòu)造損耗因子矩陣GK＝R(I＋jG)K為復(fù)剛度矩陣模態(tài)矩陣〔振型矩陣〕模態(tài)質(zhì)量矩陣、模態(tài)剛度矩陣都是復(fù)數(shù)振型向量正則化頻響函數(shù)矩陣具體表達(dá)一般粘性阻尼系統(tǒng)運動方程狀態(tài)向量和狀態(tài)方程阻尼矩陣不能在N維主空間解偶，需承受狀態(tài)空間法引入狀態(tài)向量狀態(tài)方程擴展為2N空間自由振動特征方程方程特征值(2N個〕特征向量2N維空間系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)頻率和復(fù)振型向量，共軛成對模態(tài)正交性矩陣表示正交性矩陣表達(dá)模態(tài)坐標(biāo)下的解利用正交性解偶后的方程振型疊加解模態(tài)坐標(biāo)t＝0時的模態(tài)坐標(biāo)向量l點的瞬時位移

復(fù)模態(tài)特性復(fù)共軛特性特征值與特征向量均為復(fù)數(shù)，共軛成對，共2N個復(fù)模態(tài)的正交性復(fù)特征向量在2N維空間中正交；