《復(fù)變函數(shù)與積分變換》1.1-2 復(fù)數(shù)

復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)是自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)．它的理論和運(yùn)算方法已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切．第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二節(jié)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與復(fù)球面第三節(jié)復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)引入求解二次方程實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解.實(shí)數(shù)域引入符號(hào)定義擴(kuò)充復(fù)數(shù)域§1.1復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的基本概念稱形如的數(shù)為復(fù)數(shù)．其中

x和y均為實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位，x和y分別稱為的實(shí)部和虛部，記為當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)．因此，實(shí)數(shù)全體可看成復(fù)數(shù)的一部分，復(fù)數(shù)則是實(shí)數(shù)的擴(kuò)充，當(dāng)時(shí)，稱為純虛數(shù)．§1.1復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的基本概念注意復(fù)數(shù)無大小之分；對(duì)于兩復(fù)數(shù)與及當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，才稱這兩復(fù)數(shù)相等，記作即§1.1復(fù)數(shù)2復(fù)數(shù)的表示法向量表示：1點(diǎn)的表示：3復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的輻角：輻角主值：4O復(fù)平面或z平面實(shí)軸虛軸以后將不區(qū)分點(diǎn)z

、復(fù)數(shù)z和向量z§1.1復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的表示法由模的定義易得不等式輻角的正負(fù)當(dāng)正實(shí)軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)至向量z

時(shí)，當(dāng)正實(shí)軸按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)至向量z

時(shí)，0沒有輻角.§1.1復(fù)數(shù)輻角主值的計(jì)算：說明O§1.1復(fù)數(shù)求Arg(2-2i)及Arg(-3+4i).解：

例1§1.1復(fù)數(shù)例2§1.1復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算1復(fù)數(shù)相等：設(shè)2四則運(yùn)算：加（乘）法：交換律、結(jié)合律乘法：分配律乘除運(yùn)算用三角式或指數(shù)式會(huì)更加簡單§1.1復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義OO三角不等式§1.1復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算三角式與指數(shù)式的乘除運(yùn)算由此可得

各表示什么含義？思考：（除法運(yùn)算大家自行推導(dǎo)）§1.1復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算共軛設(shè)z=x+iy，則z的共軛復(fù)數(shù)為：

顯然

這表明在復(fù)平面上，z與

關(guān)于實(shí)軸是對(duì)稱點(diǎn).

O容易驗(yàn)證§1.1復(fù)數(shù)3乘冪：設(shè)復(fù)數(shù)的運(yùn)算若定義

，則上式中當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)也成立，

特別當(dāng)r=1，引出德摩弗公式

§1.1復(fù)數(shù)4方根：設(shè)則復(fù)數(shù)的運(yùn)算§1.1復(fù)數(shù)計(jì)算例3解：每隔分布一個(gè)點(diǎn).這四個(gè)值均勻其中的圓周上，地分布在半徑為的輻角為四個(gè)值§1.1復(fù)數(shù)例4計(jì)算

的所有的值．解因

故

當(dāng)k=0時(shí)，

當(dāng)k=1時(shí)，

當(dāng)k=2時(shí)，

§1.1復(fù)數(shù)例4計(jì)算

的所有的值．解因

故

注在初等代數(shù)中，規(guī)定-8的三次方根為-2，即規(guī)定只相當(dāng)與這里k=1的情形.§1.1復(fù)數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二節(jié)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與復(fù)球面第三節(jié)復(fù)變函數(shù)§1.2無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與復(fù)球面為了使復(fù)數(shù)運(yùn)算更具普遍性，將復(fù)數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行擴(kuò)充．增加一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，記做.設(shè)A為有限數(shù)，規(guī)定：設(shè)B為非零有限數(shù)，規(guī)定：以下幾種未定式情況，不規(guī)定結(jié)果§1.2無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與復(fù)球面設(shè)想一個(gè)理想點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)，這個(gè)理想點(diǎn)就稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，復(fù)平