高中數(shù)學(xué)人教A版必修一學(xué)案2.2.2.1對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)Word版含解析

第1課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是{x|x>0}．形如y＝2log2x，y＝log2eq\f(x,3)都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，可稱(chēng)其為對(duì)數(shù)型函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域R過(guò)點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的“升降”：當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“下降”．知識(shí)點(diǎn)三反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax和對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)．[小試身手]1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽.()(2)y＝log2x2與logx3都不是對(duì)數(shù)函數(shù)．()(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象一定在y軸右側(cè)．()(4)函數(shù)y＝log2x與y＝x2互為反函數(shù)．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．下列函數(shù)中是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()A．y＝logxB．y＝log(x＋1)C．y＝2logxD．y＝logx＋1解析：形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函數(shù)才是對(duì)數(shù)函數(shù)，只有A是對(duì)數(shù)函數(shù)．答案：A3．函數(shù)y＝eq\r(x)ln(1－x)的定義域?yàn)?)A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]解析：由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,1－x>0，))解得0≤x<1；故函數(shù)y＝eq\r(x)ln(1－x)的定義域?yàn)閇0,1)．答案：B4．若f(x)＝log2x，x∈[2,3]，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開(kāi)_______．解析：因?yàn)閒(x)＝log2x在[2,3]上是單調(diào)遞增的，所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23.答案：[1，log23]類(lèi)型一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念例1下列函數(shù)中，哪些是對(duì)數(shù)函數(shù)？(1)y＝logaeq\r(x)(a>0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；(5)y＝log6x.【解析】(1)中真數(shù)不是自變量x，不是對(duì)數(shù)函數(shù)．(2)中對(duì)數(shù)式后加2，所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)．(3)中真數(shù)為x＋1，不是x，系數(shù)不為1，故不是對(duì)數(shù)函數(shù)．(4)中底數(shù)是自變量x，而非常數(shù)，所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)．(5)中底數(shù)是6，真數(shù)為x，系數(shù)為1，符合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，故是對(duì)數(shù)函數(shù)．用對(duì)數(shù)函數(shù)的概念例如y＝logax(a＞0且a≠0)來(lái)判斷．方法歸納判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的方法跟蹤訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又底數(shù)a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1.答案：1,對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax系數(shù)為1.類(lèi)型二求函數(shù)的定義域例2求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝lg(x＋1)＋eq\f(3x2,\r(1－x))；(2)y＝log(x－2)(5－x)．【解析】(1)要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,1－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－1，,x<1.))∴－1<x<1，∴函數(shù)的定義域?yàn)?－1,1)．(2)要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x>0，,x－2>0，,x－2≠1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<5，,x>2，,x≠3.))∴定義域?yàn)?2,3)∪(3,5)．,真數(shù)大于0，偶次根式被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于0，列不等式組求解．方法歸納求定義域有兩種題型，一種是已知函數(shù)解析式求定義域，常規(guī)為：分母不為0；0的零次冪與負(fù)指數(shù)次冪無(wú)意義；偶次根式被開(kāi)方式(數(shù))非負(fù)；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1.另一種是抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題．同時(shí)應(yīng)注意求函數(shù)定義域的解題步驟．跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)y＝eq\r(log0.5x－5)的定義域是()A．(0，＋∞)B．(5,6]C．(5，＋∞)D．(－∞，6]解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5>0，,log0.5x－5≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>5，,x－5≤1，))∴5<x≤6，∴定義域?yàn)?5,6]．答案：B,真數(shù)大于0，偶次根式被開(kāi)方數(shù)大于等于0.類(lèi)型三對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題例3(1)函數(shù)y＝x＋a與y＝logax的圖象只可能是下圖中的()(2)已知函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A也在函數(shù)f(x)＝3x＋b的圖象上，則f(log32)＝________.(3)如圖所示的曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為_(kāi)_______．【解析】(1)A中，由y＝x＋a的圖象知a＞1，而y＝logax為減函數(shù)，A錯(cuò)；B中，0＜a＜1，而y＝logax為增函數(shù)，B錯(cuò)；C中，0＜a＜1，且y＝logax為減函數(shù)，所以C對(duì)；D中，a＜0，而y＝logax無(wú)意義，也不對(duì)．(2)依題意可知定點(diǎn)A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－eq\f(10,9)，故f(x)＝3x－eq\f(10,9)，f(log32)＝3log32－eq\f(10,9)＝2－eq\f(10,9)＝eq\f(8,9).(3)由題干圖可知函數(shù)y＝logax，y＝logbx的底數(shù)a＞1，b＞1，函數(shù)y＝logcx，y＝logdx的底數(shù)0＜c＜1,0＜d＜1.過(guò)點(diǎn)(0,1)作平行于x軸的直線，則直線與四條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左向右依次為c，d，a，b，顯然b＞a＞1＞d＞c.【答案】(1)C(2)eq\f(8,9)(3)b＞a＞1＞d＞c(1)由函數(shù)y＝x＋a的圖象判斷出a的范圍．(2)依據(jù)loga1＝0，a0＝1，求定點(diǎn)坐標(biāo)．(3)沿直線y＝1自左向右看，對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)由小變大．方法歸納解決對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的問(wèn)題時(shí)要注意(1)明確對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的分布區(qū)域．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象在第一、四象限．當(dāng)x趨近于0時(shí)，函數(shù)圖象會(huì)越來(lái)越靠近y軸，但永遠(yuǎn)不會(huì)與y軸相交．(2)建立分類(lèi)討論的思想．在畫(huà)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象之前要先判斷對(duì)數(shù)的底數(shù)a的取值范圍是a>1，還是0<a<1.(3)牢記特殊點(diǎn)．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)：(1,0)，(a,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖所示，曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象，已知a取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，則相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的a值依次為()A.eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)B.eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(1,10)，eq\f(3,5)C.eq\f(4,3)，eq\r(3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)D.eq\f(4,3)，eq\r(3)，eq\f(1,10)，eq\f(3,5)(2)函數(shù)y＝loga|x|＋1(0<a<1)的圖象大致為()解析：(1)方法一作直線y＝1與四條曲線交于四點(diǎn)，由y＝logax＝1，得x＝a(即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于底數(shù))，所以橫坐標(biāo)小的底數(shù)小，所以C1，C2，C3，C4對(duì)應(yīng)的a值分別為eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，故選A.方法二由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)符合底大圖右的規(guī)律，所以底數(shù)a由大到小依次為C1，C2，C3，C4，即eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10).故選A.(2)函數(shù)為偶函數(shù)，在(0，＋∞)上為減函數(shù)，(－∞，0)上為增函數(shù)，故可排除選項(xiàng)B，C，又x＝±1時(shí)y＝1，故選A.答案：(1)A(2)A(1)增函數(shù)底數(shù)a＞1，減函數(shù)底數(shù)0＜a＜1.(2)先去絕對(duì)值，再利用單調(diào)性判斷.[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()A．y＝2＋log3xB．y＝loga(2a)(a＞0，且a≠C．y＝logax2(a＞0，且a≠1)D．y＝lnx解析：判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)，其關(guān)鍵是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全錯(cuò)，D正確．答案：D2．若某對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，則該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為()A．y＝log2xB．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4xD．不確定解析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的概念可設(shè)該函數(shù)的解析式為y＝logax(a>0，且a≠1，x>0)，則2＝loga4＝loga22＝2loga2，即loga2＝1，a＝2.故所求解析式為y＝log2x.答案：A3．設(shè)函數(shù)y＝eq\r(4－x2)的定義域?yàn)锳，函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域?yàn)锽，則A∩B＝()A．(1,2)B．(1,2]C．(－2,1)D．[－2,1)解析：由題意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．答案：D4．函數(shù)y＝ex的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，則()A．f(x)＝lgxB．f(x)＝log2xC．f(x)＝lnxD．f(x)＝xe解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函數(shù)，所以f(x)＝lnx.答案：C5．已知a＞0，且a≠1，函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象只能是下圖中的()解析：由函數(shù)y＝loga(－x)有意義，知x＜0，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象應(yīng)在y軸左側(cè)，可排除A，C.又當(dāng)a＞1時(shí)，y＝ax為增函數(shù)，所以圖象B適合．答案：B二、填空題(每小題5分，共15分)6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a解析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－4a－5＝0,a>0,a≠1))，∴a＝5.答案：57．已知函數(shù)f(x)＝log3x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))＋f(15)＝________.解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))＋f(15)＝log3eq\f(9,5)＋log315＝log327＝3.答案：38．函數(shù)f(x)＝loga(2x－3)(a＞0且a≠1)，的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是________．解析：令2x－3＝1，解得x＝2，且f(2)＝loga1＝0恒成立，所以函數(shù)f(x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P(2,0)．答案：(2,0)三、解答題(每小題10分，共20分)9．求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝log3(1－x)；(2)y＝eq\f(1,log2x)；(3)y＝log7eq\f(1,1－3x).解析：(1)∵當(dāng)1－x>0，即x<1時(shí)，函數(shù)y＝log3(1－x)有意義，∴函數(shù)y＝log3(1－x)的定義域?yàn)?－∞，1)．(2)由log2x≠0，得x>0且x≠1.∴函數(shù)y＝eq\f(1,log2x)的定義域?yàn)閧x|x>0且x≠1}．(3)由eq\f(1,1－3x)>0，得x<eq\f(1,3).∴函數(shù)y＝log7eq\f(1,1－3x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))).10．求出下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)y＝logx；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x；(3)y＝πx.解析：(1)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logx，它的底數(shù)為eq\f(1,6)，所以它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))x；(2)同理，指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logx；(3)指數(shù)函數(shù)y＝πx的反函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logπx.[能力提升](20分鐘，40分)11．已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函數(shù)為g(x)，且滿(mǎn)足g(2)<0，則函數(shù)g(x＋1)的圖象是下圖中的()解析：由y＝ax解得x＝logay，∴g(x)＝logax.又∵g(2)<0，∴0<a<1.故g(x＋1)＝loga(x＋1)是遞減的，并且是由函數(shù)g(x)＝logax向左平移1個(gè)單位得到的．答案：A12．函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx＋3,\r(1－2x))的定義域是________．解析：∵f(x)＝eq\f(lnx＋3,\r(1－2x))，∴要使函數(shù)f(x)有意義，需使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3>0,1－2x>0))，即－3<x<0.答案：(－3,0)13．已知函數(shù)y＝log2x的圖象，如何得到y(tǒng)＝log2(x＋1)的圖象？y＝log2(x＋1)的定義域與值域是多少？與x軸的交點(diǎn)是什么？解析：y＝log2xeq\o(→,\s\up12(左移1個(gè)單位))y＝log2(x＋1)，如圖．定義域?yàn)?－1，＋∞)，值域?yàn)镽