第七章 應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析材料力學(xué)第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

本章內(nèi)容:7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法--應(yīng)力圓*7.4三向應(yīng)力狀態(tài)7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系*7.6復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度

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應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念

在前面幾章中，分別建立了應(yīng)力和應(yīng)變的概念，研究了桿件在不同變形條件下，橫截面上任意一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變，但不同材料在各種荷載作用下的破壞實(shí)驗表明，桿件的破壞并不總是沿橫截面發(fā)生。

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應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念1.問題的提出

低碳鋼和鑄鐵的拉伸實(shí)驗

低碳鋼的拉伸實(shí)驗鑄鐵的拉伸實(shí)驗問題：為什么低碳鋼拉伸時會出現(xiàn)45o

滑移線？

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7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念

低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗低碳鋼的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗

鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗問題：為什么鑄鐵扭轉(zhuǎn)時會沿45o螺旋面斷開？所以，不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，而且也要研究斜截面上的應(yīng)力。

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7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念2.應(yīng)力的三個重要概念應(yīng)力的點(diǎn)的概念同一物體內(nèi)不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。FNFS

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7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力的面的概念過同一點(diǎn)的不同方向的截面上的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的面的概念。

應(yīng)力應(yīng)指明是哪一點(diǎn)在哪一方向面上的應(yīng)力。應(yīng)力狀態(tài)的概念過一點(diǎn)的不同方向面上的應(yīng)力的集合，稱為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

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7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念3.一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的描述

單元體

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7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念單元體的邊長均為無窮小量；

單元體的特點(diǎn)單元體的每一個面上，應(yīng)力均勻分布；單元體中相互平行的兩個面上，應(yīng)力相同。

如何取單元體：應(yīng)盡量使其三對面上的應(yīng)力是已知的或是可求的。第七章

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7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念通常對于矩形截面（或工字鋼等），三對面中的一對面取為桿件的橫截面，另外兩對為平行于桿件表面的縱截面。S截面

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7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念對于圓截面桿，一對面取為軸的橫截面，另外兩對面中有一對為軸的圓柱面，另一對則為通過桿軸線的縱截面。

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7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念4.主應(yīng)力及應(yīng)力狀態(tài)的分類

主應(yīng)力和主平面切應(yīng)力全為零時的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力；主應(yīng)力所在的平面稱為主平面；主平面的外法線方向稱為主方向。主應(yīng)力用

1,

2,

3

表示(

1

2

3)

。

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法7.2.1

應(yīng)力分量和方向角的符號規(guī)定如圖所示單元體，左、右兩個方向面的外法線和x軸重合，稱為x面，x面上的正應(yīng)力用σx表示，切應(yīng)力表示為τxy

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

切應(yīng)力的下標(biāo)：作用面的法線切應(yīng)力的方向

正負(fù)號規(guī)定：

1.正應(yīng)力壓為負(fù)拉為正第七章

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法2.切應(yīng)力使單元體順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負(fù)。3.截面的方向角由x正向逆時針轉(zhuǎn)到截面的外法線n的正向的

角為正;反之為負(fù)。yx

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法7.2.2任意方向面上的應(yīng)力以單元體的一部分為研究對象。由平衡條件

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法由切應(yīng)力互等定理，

xy與

yx

大小相等。

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法7.2.3主應(yīng)力與最大切應(yīng)力令：可以看出：當(dāng)

=

0

時，取極值的正應(yīng)力為主應(yīng)力。

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法若

0

滿足上式，則

0+90o也滿足上式，代入公式可得：

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

正應(yīng)力的不變量

截面上的正應(yīng)力為:

+90o

截面上的正應(yīng)力為:任意兩個互相垂直的截面上的正應(yīng)力之和為常數(shù).

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力令：若

1

滿足上式，則

1+90o也滿足上式，代入公式可得：

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

切應(yīng)力的極值稱為主切應(yīng)力主切應(yīng)力所在的平面稱為主剪平面主剪平面上的正應(yīng)力？第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法主剪平面上的正應(yīng)力將

1和

1+90o代入公式可得：即：主剪平面上的正應(yīng)力為平均正應(yīng)力。

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

主平面與主剪平面的關(guān)系由

0

和

1

的公式可得：即：主平面與主剪平面的夾角為45o。

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法例7.1求圖所示單元體中指定斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。解：代入式（7.1）和式（7.2）可得第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法例7.2

討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵試樣受扭時的破壞現(xiàn)象。解：

最大切應(yīng)力

取單元體ABCD純切應(yīng)力狀態(tài)

主應(yīng)力

主方向或

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

主應(yīng)力排序

鑄鐵件破壞現(xiàn)象

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法例7.3圖示一橫力彎曲下的梁，已知截面m-m上A點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為

=-70MPa,

=50MPa。試確定A點(diǎn)處的主應(yīng)力及主平面的方位。并討論同一橫截面上其他點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。解：

A點(diǎn)單元體

取x軸向右為正

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

主應(yīng)力

主方向或

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法單向拉伸

其它幾點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)單向壓縮純剪切

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7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

在求出梁的橫截面上一點(diǎn)主應(yīng)力的方向后，把其中一個主應(yīng)力的作用線延長，與相鄰橫截面相交，求出交點(diǎn)處的主應(yīng)力方向，再將其作用線延長與下一個相鄰橫截面相交。以此類推，將得到一條折線，它的極限將是一條曲線。在這樣的曲線上，任一點(diǎn)的切線方向即代表該點(diǎn)主應(yīng)力的方向。這種曲線稱為主應(yīng)力跡線。經(jīng)過每一點(diǎn)有兩條相互垂直的主應(yīng)力跡線，圖所示表示梁內(nèi)的兩組主應(yīng)力跡線，虛線為主壓應(yīng)力跡線，實(shí)線為主拉應(yīng)力跡線。在鋼筋混凝土梁中，鋼筋的作用是抵抗拉伸。所以應(yīng)使鋼筋盡可能地沿主拉應(yīng)力跡線的方向放置。第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法7.3.1應(yīng)力圓(莫爾圓)方程由公式平方相加，得這是以

、

為變量的圓的方程。第七章

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7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法ROC第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法O7.3.2應(yīng)力圓的畫法DD

RCD(sx,txy)D

(sy,tyx)第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法7.3.3應(yīng)力圓上的點(diǎn)與單元體面上的應(yīng)力的對應(yīng)關(guān)系(1)點(diǎn)面對應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對應(yīng)著單元體某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力;第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法(2)基準(zhǔn)相當(dāng)(3)轉(zhuǎn)向一致半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；D點(diǎn)和x面是基準(zhǔn);(4)角度成雙半徑轉(zhuǎn)過的角度是方向面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。(1)點(diǎn)面對應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對應(yīng)著單元體某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法7.3.4應(yīng)力圓的應(yīng)用1.確定單元體任意方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法

1.求單元體上任意截面上的應(yīng)力第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法2.確定單元體的主應(yīng)力與面內(nèi)的最大切應(yīng)力

應(yīng)力圓與橫軸的交點(diǎn)A1、B1處，剪應(yīng)力為零。它們的橫坐標(biāo)即為主應(yīng)力。從半徑CD轉(zhuǎn)到CA1的角度即為從x軸轉(zhuǎn)到主平面的角度的兩倍。第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法在應(yīng)力圓上由D點(diǎn)到A1點(diǎn)所對應(yīng)圓心角為順時針轉(zhuǎn)向的

，在單元體中由x軸也按順時針轉(zhuǎn)向量取

，這就確定了所在主平面的法線的位置。按照關(guān)于

的正負(fù)號規(guī)定，順時針轉(zhuǎn)向的

是負(fù)的，應(yīng)為負(fù)值。第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法

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7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法例7.4純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體如圖所示，試用應(yīng)力圓法求主應(yīng)力的大小和方向。解：在

坐標(biāo)系中，按選定的比例尺，由坐標(biāo)

與

分別確定D1和D2點(diǎn)。以線段D1D2為半徑畫圓。由應(yīng)力圓顯然可見可見該單元體為二向應(yīng)力狀態(tài)。第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法解：首先建立σ–τ坐標(biāo)系。根據(jù)單元體的A、D兩個面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的值，在σ–τ坐標(biāo)系中找到對應(yīng)的點(diǎn)a和d，確定圓心和半徑，畫出應(yīng)力圓。根據(jù)圖中的幾何關(guān)系得到由此解得例7.5對于圖中所示的平面應(yīng)力狀態(tài)，若要求面內(nèi)的最大切應(yīng)力，試求的取值范圍。圖中應(yīng)力的單位為MPa第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法

解：取II截面的法線為y坐標(biāo)軸，令顯然得則I截面成為的斜截面，第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法代入公式（7.1）得到

第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.4三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)。yxz第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.4三向應(yīng)力狀態(tài)特例至少有一個主應(yīng)力的大小方向為已知。szsxsytxytyxsytxytyxsxsz平面應(yīng)力狀態(tài)即為這種特例之一。第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.4三向應(yīng)力狀態(tài)

本節(jié)采用假設(shè)已知某一個主平面及其主應(yīng)力，分析與其垂直的應(yīng)力狀態(tài)的方法進(jìn)行研究。1、垂直于σ1所在主平面的應(yīng)力

若用與σ1所在主平面垂直的任意方向面I從單元體中截出一部分，不難看出，與σ1相關(guān)的力自相平衡，因而這一組方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力都與σ1無關(guān)。圖7.17三向應(yīng)力圓因此，在研究這一組方向面上的應(yīng)力時，所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為圖7.16b所示的平面應(yīng)力狀態(tài)。由σ2和σ3，可在σ–τ直角坐標(biāo)系中畫出應(yīng)力圓，如圖7.17中的A2A3圓。第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.4三向應(yīng)力狀態(tài)2、垂直于σ2所在主平面的應(yīng)力

若用與σ2所在主平面垂直的任意方向面II從單元體中截出一部分，正應(yīng)力和切應(yīng)力都與σ2無關(guān)，所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為圖7.16c所示的平面應(yīng)力狀態(tài)，由σ1和σ3，可畫出應(yīng)力圓A1A3。圖7.17三向應(yīng)力圓3、垂直于所在主平面的應(yīng)力

若用與σ3所在主平面垂直的任意方向面III從單元體中截出一部分，正應(yīng)力和切應(yīng)力都與σ3無關(guān)，相應(yīng)地，所研究的應(yīng)力狀態(tài)可分別視為圖7.16d所示的平面應(yīng)力狀態(tài)，由σ1和σ2，可畫出應(yīng)力圓A1A2，如圖7.17所示。第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.4三向應(yīng)力狀態(tài)圖7.17所示的三個應(yīng)力圓即構(gòu)成了對應(yīng)于三向應(yīng)力狀態(tài)的三向應(yīng)力圓。進(jìn)一步的研究可以證明，圖7.18所示單元體中，和三個主應(yīng)力均不平行的任意方向面上的應(yīng)力，可由圖7.18所示陰影面中各點(diǎn)的坐標(biāo)決定。圖7.17三向應(yīng)力圓圖7.18三向應(yīng)力狀態(tài)的任意方向面第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.4三向應(yīng)力狀態(tài)最大切應(yīng)力在三組特殊方向面中都有各自的面內(nèi)最大切應(yīng)力,即：一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)中的最大切應(yīng)力為上述三者中最大的，即圖7.17三向應(yīng)力圓第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.4三向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)作為三向應(yīng)力狀態(tài)的特例，應(yīng)注意：(1)可能是

1,也可能是

2或

3

。(2)按三個主應(yīng)力的代數(shù)值排序確定

1,

2,

3。(3)第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.4三向應(yīng)力狀態(tài)由三向應(yīng)力圓也可以很清楚地看到，一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力是B點(diǎn)的縱坐標(biāo)。此最大切應(yīng)力作用在與σ2主平面垂直,并與σ1和σ3所在的主平面成450角的截面上,如圖7.19中的陰影面。

這里所求得的最大切應(yīng)力顯然大于由式（7.8）所得到的如果將平面應(yīng)力狀態(tài)作為三向應(yīng)力狀態(tài)的特殊情況，當(dāng)圖7.19三向應(yīng)力狀態(tài)的最大切應(yīng)力平面這是因為在上式中，只考慮了與σ3平面垂直的各截面上切應(yīng)力的最大值，并非整個單元體中切應(yīng)力的最大值。7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律或純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的剪切胡克定律或橫向變形與泊松比yx7.5.1廣義胡克定律7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

廣義胡克定律

三向應(yīng)力狀態(tài)可看作是三組單向應(yīng)力狀態(tài)和三組純剪切的組合。

疊加原理用疊加原理的條件：(1)各向同性材料；(2)小變形；(3)變形在線彈性范圍內(nèi)。yxz三個切應(yīng)力分量皆與x方向的線應(yīng)變無關(guān)7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

x方向的線應(yīng)變

x

x引起的部分:

y引起的部分:

z引起的部分:疊加得：7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

同理可得：剪應(yīng)變?yōu)椋哼@六個公式即為廣義胡克定律。7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

用主應(yīng)力表示的廣義胡克定律從前三式中可解出三個主應(yīng)力7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律注：平面應(yīng)力狀態(tài)σz=0，εz≠07.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

7.5.2體積胡克定律變形前體積變形后體積略去高階微量7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

單位體積的改變

體積應(yīng)變將廣義胡克定律代入上式得7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

又可寫成記

體積彈性模量

體積胡克定律7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

例7.7

已知一受扭圓軸直徑d，彈性模量E，柏松比

，測得圓軸表面上一點(diǎn)與軸線方向成450的

45o。求：外加扭矩的值。解：在測點(diǎn)取單元體

純切應(yīng)力狀態(tài)切應(yīng)力為要求出45o方向的應(yīng)變，需先求出45o方向的應(yīng)力。45o方向為主應(yīng)力方向7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

切應(yīng)力為45o方向為主應(yīng)力方向由廣義胡克定律

測扭矩的方法7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

例7.8

邊長為30mm的正方形鋼板ABCD受到二相均勻拉應(yīng)力作用（圖）。已知

，鋼的

。試計算方形鋼板下列線段的位移：（1）AB邊；（2）BC邊；（3）對角線AC。解：（1）求AB邊的位移（2）求BC邊的位移7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

（3）求對角線AC的位移7.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第七章

應(yīng)力分析和應(yīng)變分析

例：邊長a=0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積較大、不計變形的鋼凹槽中，如圖所示。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比，當(dāng)受到合力P=300kN的均布壓力作