2024屆湖北高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷含答案

機(jī)密★啟用前

湖北省部分市州2024年元月高三期末聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁(yè),22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

★視考試順利支

注意事項(xiàng)：

L答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條

形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)胭目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，

寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi),寫在試卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、單選題:每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.

1.已知i為虛數(shù)單位，則(1+爭(zhēng))(與+[i)=

A.-iB.iC.-1D.1

2.定義全集R,4==,貝扎R(4U5)=

A.(-oo,1)B.(-oo,e)C.(0,1)D.(0,e)

3.設(shè)命題p：數(shù)列是等比數(shù)列，命題q：數(shù)列和?eN?)均為等比數(shù)列，則p

是9的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知任何大于1的整數(shù)總可以分解成素因數(shù)乘積的形式，且如果不計(jì)分解式中索因數(shù)的次

序，這種分解式是唯一的.如12=22x3,則2000的不同正因數(shù)個(gè)數(shù)為

A.25B.20C.15D.12

5.某校高一年級(jí)有1200人，現(xiàn)有兩種課外實(shí)踐活動(dòng)供學(xué)生選擇,要求每個(gè)同學(xué)至少選擇一種

參加.統(tǒng)計(jì)調(diào)查得知，選擇其中一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%，選擇另一項(xiàng)活動(dòng)的

人數(shù)占50%到55%，則下列說(shuō)法正確的是

A.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有100人B.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有180人

C.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有260人D.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有320人

6.圓錐SO中，S為圓錐頂點(diǎn)，0為底面圓的圓心，底面圓。半徑為3,側(cè)面展開(kāi)圖面積為

6廝,底面圓周上有兩動(dòng)點(diǎn)4,8,則△S43面積的最大值為

A.4B.275C.3AD.6

高三數(shù)學(xué)試卷第1頁(yè)(共4頁(yè))

7.拋物線C的方程為=4)，,過(guò)點(diǎn)〃(0,2)的H線交C于4兩點(diǎn)，記H線OAtOB的斜率分

別為凡也,則A?也的值為

A.-2B.-1C8-]

8.已知函數(shù)“、)=IsinxP+IcosxH,則下列關(guān)于/(%)說(shuō)法正確的是

AJ(x)的一個(gè)周期為學(xué)B./(%)在區(qū)間(一手,0)上單調(diào)遞減

C./仆)的圖象關(guān)于點(diǎn)(子,1)中心對(duì)稱?/⑷的極小值為§

二、多選題:每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)得

5分,部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選得0分.

9.新能源汽車相比較傳統(tǒng)汽車具有節(jié)能環(huán)保、乘坐舒適、操控性好、使用成本低等優(yōu)勢(shì)，近幾

年在我國(guó)得到越來(lái)越多消費(fèi)者的青睞.某品牌新能源汽車2023年上半年的銷量如下表：

月份123456

銷量(萬(wàn)輛)11.712.4.13.813.214.615.3

針對(duì)上表數(shù)據(jù),下列說(shuō)法正確的有

A銷量的極差為3.6

B.銷量的60%分位數(shù)是13.2

C.銷量的平均數(shù)與中位數(shù)相等

D.若銷量關(guān)于月份的回歸方程為y=0.7%+6,則6=1L05

10.已知圓片+(y-1)2=1與3軸交于。(原點(diǎn))，c兩點(diǎn)，點(diǎn)4是圓上的動(dòng)點(diǎn),3(2,0),則

A.I刀I的最大值為6+1B.￥%€11,1為-4比1的最小值為1

C.-2W涼-OB^2D.令司=AOB+"正,則存在兩個(gè)不同的點(diǎn)4,使A+4=1

1L設(shè)/(%)=7-3d+a,點(diǎn)4是直線3%+y-a-1=0上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作函數(shù)/(*)圖

象的切線,可能作

A.0條B.1條C.2條D.3條

12.如圖，某工藝品是一個(gè)多面體PABCD,AC=BD=4々cm,AB=BC=CD=DA=2/13cm,

點(diǎn)EGAZ),/尸8,。。兩兩互相垂直,且2,。位于平面旗。的異側(cè)，則下列命題

正確的有

9

A.異面直線與3c所成角的余弦值為三

B.當(dāng)氤E為AD的中點(diǎn)時(shí)，線段EF的圾小值為4cm

C.工藝品PABCD的體積為48cm3

D.工藝品PABCD可以完全內(nèi)置于表面積為64mm2的球內(nèi)

三、填空題:每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(K)=K,lg(/J+I-OA)是偶函數(shù)，則au________<

34

14.若角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與，軸的北負(fù)半軸及合，終邊與地位仞1交千點(diǎn)P(-J.y)，則

,2023力、

lan(a+-；)=__________.

4

15.已知方程e""+(O-DA-I-ln.t=0仃唯一實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值危圍是，

16.設(shè)橢圓W+W=1(">0)的左右頂點(diǎn)分別為為橢圓上異十八，8的任選一點(diǎn)，

ao

過(guò)右焦點(diǎn)作、軸的垂線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,連接〃，并延長(zhǎng)交直線％=￡于點(diǎn)C,

若了=八元(IWAW2),且lan乙Q45,lan乙QBA</，則橢圓離心率的取值范圍

M__________?

四、解答題:共70分.解答題需要在答題卡上寫出必要的說(shuō)明或推理過(guò)程，

17.(本小題滿分10分)

如圖，在△ABC中，AB=AC=6,點(diǎn)。是邊打上一點(diǎn)，且cos乙C4D=亭,

AE=2EB.

(1)求45庭的面積；

(2)求線段AD的長(zhǎng).\

18.(本小題滿分12分)R匕

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為菱形，乙DAB=60°,DE±平面ABCD,

CF〃。&且旬=。￡=2,。r=1,6為棱3。的中點(diǎn),“為棱。后上的L

動(dòng)點(diǎn)?

(1)求二面角4-尸的正弦值；從、\

(2)是否存在點(diǎn)〃使得G"〃平面BE尸？若存在，求器的值;否/!'\、/

則，請(qǐng)說(shuō)明理由.,,淮一以次,

水-----------*

19.(本小題滿分12分)

第】9屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州舉行,這是中國(guó)為世界

呈現(xiàn)的體育盛會(huì)，也是亞洲人民攜手寫就的嶄新篇章.現(xiàn)有某場(chǎng)乒乓球比賽采用5局3勝

制，先雇3局的一方獲勝，比賽結(jié)束.若參加比賽的甲每局比賽戰(zhàn)勝對(duì)手乙的概率均為上.假

設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求比賽恰好進(jìn)行4局甲獲勝的概率；

(2)設(shè)比賽進(jìn)行的總局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)如果某場(chǎng)比賽賽的有3局2勝制和5局3勝制兩種方案供選手選擇,從概率角度考

慮，乙如何選擇對(duì)自己有利？請(qǐng)宜接寫出選擇方案.

高三數(shù)學(xué)試卷第3頁(yè)(共4頁(yè))

20.(本小題滿分12分)

巳知正項(xiàng)數(shù)列I冊(cè)I的的項(xiàng)和為S.,且2sli0%+_}.

冊(cè)

(1)證明:數(shù)列IS力足等差數(shù)列?

⑵若數(shù)列也涮足「J-uS，-),且L=1,求數(shù)列|(-1)"孚T的前〃項(xiàng)和北,

21.(本小題滿分12分)

已知0〈”手

(1)證明:期=>2；

x-sinjv

(2)若tanx+2sinx-ax>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22、(本小題滿分12分)

2

已知雙曲線C與雙曲線2-%2=1有相同的漸近線，且雙曲線C的上焦點(diǎn)到一條漸近線

的距離等于2.

(1)已知M(0,D(C>4),N為C上任意一點(diǎn)，求IMVI的最小值;

(2)已知?jiǎng)又本€24=施+加1六±2)與曲線C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P且與2垂直

的直線k與兩坐標(biāo)軸分別交于4(劭,0)/(0,兀).設(shè)點(diǎn)<?(%,%).

(i).求點(diǎn)Q的軌跡方程；

(11)若對(duì)于一般情形，曲線C方程為力-：=1,動(dòng)直線1方程為y=(狂±y),

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。(劭，為)的軌跡方程.

高三數(shù)學(xué)試卷第4頁(yè)(共4頁(yè))

湖北省部分市州2024年元月高三期末聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案

一、單選題，每小題5分.

l.B2,A3.A4.B5.B6.D7.C8,D

8.【解析】對(duì)于A,==...73，A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,：/(》)連續(xù),/[-?]=/[?]=(^/(0)〉/[-7],；./(%)不可能在區(qū)間[-?,()]上

單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,/(0)+/(外=2/1,.../(x)的圖象不可能關(guān)于點(diǎn)[mJ]中心對(duì)稱;

【對(duì)于A,B,C三個(gè)選項(xiàng)也可以直接推理論證，可以得出同樣的結(jié)論.】

對(duì)于D,???/(X)是偶函數(shù)，7=|,不妨研究xe0,|，此時(shí)

f(x)=sin3x+cos3x=(sinx+cosx)(sin2x-sinxcosx+cos2x)=(sinx+cosx)(l-sinxcosx)令

f—sinx+cosx—亞sin(x+")貝heh拒Isinxcosx-'2T

i—sinx十cosx—7乙sinix十i,火LJiezj,sinxcosx——,

???/(X)=g?)="-下卜/e(1,⑸

g?)=+g=|(]_〃)<0在/e(I,亞]時(shí)恒成立

.?.g(/)在"(1，M時(shí)單調(diào)遞減，"(x/m=g(/)mm=-gx(⑸5+?72=^,

.?.D正確....應(yīng)選擇D.

附/(%)圖象：

1

二、多選題，每小題5分，全選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選得0分.

9.ACD10.AC11.BC12.BC

11?【解析】如圖，設(shè)/(/,。+1-3/)為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Z作/(》)=/—3/+。的切線，切

點(diǎn)為8(%,/(/)),/,(X)=3X2-6X,則函數(shù)/0)=/-3/+。圖象在點(diǎn)B處的切線方程為

y-/Go)=/'(Xo)(x-x0),即y-(焉-3%o+a)=(3x；-6x0)(x-x0),

(tZ+1—3/)—3%0+tz)=(3%0—6XQ)(/—XQ)(*)

2

整理得，(x0-1)(2x0-3?+1)=0,解得x。=1或％=與1

.?.當(dāng)/=1時(shí)，1=三]，方程(*)僅有一個(gè)實(shí)根，切線

2

僅可以作1條；

當(dāng)/W1時(shí)，17吐1,方程(*)有兩個(gè)不同實(shí)根，切

2

線可以作2條.??.答案為BC.

12.【解析】根據(jù)題意可以構(gòu)造長(zhǎng)寬高分別為6cm,4cm,4cm的長(zhǎng)方體,

如圖.對(duì)于A,異面直線ZD與8C所成角的余弦值為a，A錯(cuò)誤；

13

對(duì)于B,當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，EE垂直于長(zhǎng)方體的上下底面，此時(shí)

線段斯的最小值為4c加，B正確；

對(duì)于C,工藝品P48CZ)的體積

jz=6x4x4-3x|x|x6x4x4-48(cm2),C正確；

對(duì)于D,由于P48co的頂點(diǎn)都在長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)處，.?.以BCD的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,

設(shè)P48CQ的外接球半徑為R,則(2R)2=62+4?+42=68,外接球的表面積為68萬(wàn)，

：68萬(wàn)＞64"，...E48CD不可以完全內(nèi)置于表面積為64狂療的球內(nèi)，D錯(cuò)誤.

...答案為BC.

三、填空題，每小題5分.

V32

13.±114.76(—8,O]U{1}(寫aV?；騛=1不扣分)16.

于3

15【解析】+(a—l)x—1-Inx=0,x>0

2

.^axQX—l=x+lnx=/nx+Inx

令/(x)=e*+x,則/(ax-1)=/(Inx),而/(x)在R上遞增???ax-1=InX

結(jié)合函數(shù)y=axT和y=lnx的圖象易知，a-1或a<0.

2

16.【解析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為后直線x與X軸交于點(diǎn)77,

AP=APC,結(jié)合圖形知，‘尸

_AP_AF_c+a_c2+ac_e2+e

~PC~FH~a2~a2-c2~1-e2

------c

c

又tan/QABtan/QBA<—

22.cr~b^

計(jì)算得，kpAkpB=-W，所以

aa3a\a?I3,

.(V32

133j

四、解答題

—?--1

17.(10分)【解析】(1)4E=2EB9??S.CE=~^\ABC

=-x6x6xsinfzC4D+-K18cosZC4D=18x^^=12V2,

而=~AB-AC-sinABAC=

Zi/iQL2213

，，S2CE~§S^BC=4-\/2?................................................5分

/21

(2)解法①：?：cosZCAD=—N04?！?0,i),：.smZCAD=-

.：cosNCAB=cos^ZCAD+胃

=-smZCAD=~-

3

在AABC中，BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZCAB=36+36-2x6x6x\--\=96

3

-BC?[7[7

:.BC=4屈,，在等腰AABC中，COSB=2—=*=吆

BA63

...R/AAS。中，cosB=—=—=—,：.BD=376

3BDBD

：.AD=^BD^-BA2=V54-36=372.....................................................................10分

解法②：由S.Bc=&^+S0°得，

ix6x6sin|ZCy4D+-|=-x6^JD+-x6y4DsinZC4D,AD=372.........................10分

2I2J22

18.(12分)【解析】(1)連接AC,BD交于點(diǎn)O,貝|AC，BD,

建系如圖，則Z(g,0,0),5(0,1,0),￡(0-1,2),F(-V3,o,l),

AB=(-V3,l,0),BE=(0-2,2),BF=(-V3-1,1),...................................................1分

設(shè)平面48￡,平面REF的法向量分別為4=區(qū),%,2）〃2=（》2，%，22）,則

由[田亍一瓜|…，取*=(1,百㈤

BE?n1=-yx+zl=0

,BF,729二-,\[3x^—y9+z9=0—?(、八

由一「2」22,取〃2=(0,1,1)............................................................3分

+z=

BE?n2=-y220

設(shè)二面角A-BE-F的大小為6,

2V3V42

cos3=-cos<n^n>5分

2V7xV2-7

sin0=Vl-cos2^=-

7

所以二面角A""孑的正弦值為....................................................................6分

4

FH

（2）存在H符合題意，且也理1由如下：.............................7分

ED4

解法①：（幾何法）

取EC中點(diǎn)M,連接GM,則GM7/8F,而GW平面BEF,9七平面BEF,

：.GM//nBEF；.............................................................................8分

過(guò).M作MNHEF交.ED千N,連接MN,NG.同理可知，MN〃平面5￡/；

由GMCMN=M,：.平面GMNH平面BEF,............................................................10分

/.GNU平面BEF,：.點(diǎn)、N即為所求的點(diǎn)H.

FH1

???四邊形EFAW為平行四邊形，EN=FM,DE=2FC=2,所以一=-.

ED4

——?1——,

.?.?為?！昕拷c(diǎn)E的四等分點(diǎn)（即E8=—ED）...............................................................12分

4

解法②：（向量法）

令麗=AED(2e[0,1]),則￡>(0-1,0),EH=2(0,0,—2)=(0,0,-22)

—,■—>■—>-A/33|A/33

：.GH=GE+EH=—?——,2+(0,0,—24)=---,2-22

、22JI2，

若G〃7/平面BEF,'：GHu平面BEF,：.GH~>^=0

31—*1—.EH1

A0--+2-22=0：.A=-：.EH=-ED)?-

244ED4

注：其他解法，可以酌情給分.

19.(12分)【解析】(1)比賽進(jìn)行4局后甲獲勝，則甲在前3場(chǎng)需要?jiǎng)?局，第4局勝,

.............................................................................4分

（2）由題意知，X的取值可能為3,4,5.

5

2110

x—x—

…Y箝器+咱3327

P（X=5）=l—g108

2727

AX的分布列為:

X345

1108

P

32727

8分

107

.*.E（X）=3x-+4x—+5x—10分

32727

(3)乙應(yīng)該選擇3局2勝制.T2分

附理由如下：(供研究使用，考生無(wú)需在答題卡上計(jì)算)

“3局2勝制”，乙可能2:0,2:1兩種方式獲勝，獲勝概率:

“5局3勝制”，乙可能3:0,3:1,3:2三種方式獲勝，獲勝概率:

22

1+C3x-|x11117

x-+C：x|-X

P2=4x

33333r81

因?yàn)樗砸覒?yīng)該選擇3局2勝制對(duì)自己更有利.

20.（12分）【解析】（1）證明：當(dāng)〃=1時(shí)，2S]=%+,=2%,由于%〉0,%=1

%

當(dāng)“22時(shí)，2Sn=an+-=Sn-Sn_l+—^—,

%S"-S"T

???Sn+Sn_l=—^—,即封￡=1（〃22）

???數(shù)列￡｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列........................5分

(2)由(1)知，S；=S；+(〃_i)xi=〃...........................6分

2+13

2〃+127?-1

6

...數(shù)列1是常數(shù)列.

⑵-1J

【〃=2〃-1也可以由累乘法或迭代法求得】

.(-1)"?閣(-1)"-4〃(M1I1]...............................................

■b/田(2n-l)(2?+l)‘—l2n+l)

1

H--------

2〃+l

12分

-1+二一=二生，〃為偶數(shù)

2〃+12〃+1

也可分類討論得：（=12分

-1-—二=3匚，〃為奇數(shù)

2〃+12〃+1

21.（12分）【解析】（1）證明：先證當(dāng)0<x<工時(shí)，x-sinx>0.

2

（,.兀_、、

令m（x）=x-sinx,則加（x）=1-cos>0在0<x<5時(shí)恒成立，

m(x)=x-sinx在吟上單調(diào)遞增，，加（X）〉加（°）=°，

JT

即當(dāng)0cx〈一時(shí),x—sinx〉0..........................................................2分

2

要證⑦11'-->2,只需證明tanx-x>2(x-sinx),即證tanx+2sinx-3x>0

x-sinx

令9(x)=tanx+2sinx—3x,xe10，mj,則

，/、1cc2cos3x-3cos2x+1(cosx-1)2(2cosx+1)八

(P(x)=——+2cosx-3=-------------------------=-------------------------->0.

cosXcosXcosX

(或一+2cosx-3>3x31--cosx-cosx-3=0)

cosXVcosX

當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)等號(hào)成立，而0<cosx<1,/.9(x)>04分

7

???在9(x)在上單調(diào)遞增，:?(p(x)>(p(0)=0,BPtanx+2sinx-3x>0

?近八71

..當(dāng)0<x<一n日-+寸,-ta--n-x---x>2........................................................................5分

2x-sinx

(2)令f(x)=tanx+2sinx-xGI0,—|，貝!j/(0)=0,/(x)=———F2cosX-Q,

I2)cosx

令/=cosx,則/在x￡10,?上單調(diào)遞減，te(0,1),/(x)=g?)=，+2/-a,

而g?)=-l+ZvO，，g⑺在fe(O,l)上遞減，/'(x)在xe[o,2上遞增.....7分

，/1(x)的值域?yàn)?3-a,+8)

(I)當(dāng)3-。20,即a<3時(shí)，/'(X)20恒成立，所以/(x)在遞增，

/(%)>0,aW3符合題意；...................................9分

S當(dāng)3“<。，即…時(shí)，八。)<。，.?.存在同吟]使得八力。

.?.當(dāng)xe(0,x0)時(shí)，/(x)<0,/(x)遞減，此時(shí)〃x)<0,矛盾，舍.

綜上知，a<3................................................................................12分

22

22.(12分)【解析】(1)設(shè)雙曲線。的方程為j=13〉0),其上焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,、瓦),

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