人教版數學八年級上冊-13.3.2-等邊三角形

人教版數學八年級上冊13.3.2

等邊三角形第1課時

等邊三角形的性質與判定

小明想制作一個三角形的相框，他有四根木條長度分別為

10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設計出幾種形狀的三角形？問題引入10cm10cm6cm10cm10cm10cm等腰三角形等邊三角形一般三角形

在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.名稱圖形定義性質判定等腰三角形等邊對等角三線合一等角對等邊兩邊相等兩腰相等軸對稱圖形ABC有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形類比探究ABCABC問題1等邊三角形的三個內角之間有什么關系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等邊三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C內角和為180°=60°等邊三角形的性質結論：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角

都等于60°.已知：△ABC

中，AB=AC=BC.求證：∠A

=∠B=∠C=60°.證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對等角).同理，∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°.ABCABC問題2

等邊三角形有“三線合一”的性質嗎？等邊三角形有幾條對稱軸？結論：等邊三角形每條邊上的中線，高和所對角的平分線都“三線合一”.頂角的平分線、底邊上的高、底邊的中線三線合一一條對稱軸三條對稱軸圖形等腰三角形性質

每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合3條對稱軸等邊三角形1條對稱軸兩個底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合且都是

60°兩條邊相等三條邊都相等知識要點三個角都相等，

例1

如圖，△ABC是等邊三角形，E是

AC上一點，D是

BC延長線上一點，連接

BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°.∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.ABCDE典例精析方法總結：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個內角都是60°，這個性質常應用在求三角形角度的問題上，一般需結合“等邊對等角”、三角形的內角和與外角的性質等知識求解.

如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長

BC到

E，使得

CE=CD．求證：BD=DE.變式訓練：證明：∵△ABC

是等邊三角形，BD

平分∠ABC，∴∠ABC

=∠ACB

=

60°，∠DBC

=

30°．又∵

CE

=

CD，∴∠CDE

=∠CED．又∵∠BCD

=∠CDE

+∠CED

=

60°，∴∠CDE

=∠CED

=

30°．∴∠DBC

=∠DEC．∴

BD

=

DE(等角對等邊)．ABCED例2△ABC為正三角形，點

M是

BC邊上任意一點，點

N是

CA邊上任意一點，且

BM＝CN，BN與

AM相交于

Q點，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC為正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS).∴∠BAM＝∠CBN.∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM

＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.ACBMNQ方法總結：此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運用，一般是利用等邊三角形的性質判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質，求角度或證明邊相等.類比探究圖形等腰三角形等邊三角形判定

三個角都相等的三角形是等邊三角形從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形小明認為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？理由是？等邊三角形的判定方法：

有一個角是

60°的等腰三角形是等邊三角形.等邊三角形的判定辯一辯：根據條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.不是是是是是不一定是（1）554（2）555（3）60°60°（4）60°（5）5560°（6）5560°

例3如圖，在等邊三角形ABC中，DE∥BC.求證：△ADE是等邊三角形.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵

DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.想一想：本題還有其他證法嗎？典例精析證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°．∵DE∥BC，∴∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.變式1若點

D、E分別在邊

AB、AC的延長線上，且DE∥BC，結論還成立嗎？ADEBC變式2

若點

D、E分別在邊

AB、AC的反向延長線上，且

DE∥BC，結論依然成立嗎？證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠D，∠C=∠E．∴∠EAD=∠BAC=∠D=∠E．∴△ADE是等邊三角形．ADEBC變式3上題中，若將條件

DE∥BC改為

BD=CE，△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，AB=AC.∵

BD=CE，∴

AB－BD=

AC－CE，即

AD=

AE.又∵∠A=60°，∴△ADE是等邊三角形.例4

等邊△ABC中，點

P在△ABC內，點

Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結論．解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ是等邊三角形.BCQAP方法總結：判定一個三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等；二是證明三角形三個內角相等(或兩個內角等于60°)；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個內角等于60°.證明：∵

△ABC

為等邊三角形，且

AD

=

BE

=

CF，∴

AF

=

BD

=

CE，∠A

=∠B

=∠C

=

60°.∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）.∴

DF

=

ED

=

FE.∴△DEF

是等邊三角形.針對訓練：如圖，等邊△ABC

中，D、E、F

分別是各邊上的點，且

AD

=

BE

=

CF．求證：△DEF

是等邊三角形．ACBDEF

2.如圖，等邊三角形

ABC的三條角平分線交于點

O，過點

O作

DE∥BC，則這個圖形中的等腰三角形共有(

)A.4個

B.5個C.6個

D.7個DACBDEO1.等邊三角形的兩條高線相交所成鈍角的度數是()

A．105°B．120°C．135°D．150°

B3.如圖，在等邊△ABC

中，BD

平分∠ABC，BD

=

BF，則∠CDF

的度數是（）A．10°B．15°

C．20°D．25°

4.如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長為

18cm，EC=2cm，則△ADE的周長是

cm.ACBDE12BBCDAF證明：∵△ABD

是等邊三角形，∴∠DAB＝60°.∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝180°－90°－30°＝60°．∴∠FAE＝∠EBC．∵

E

為

AB

的中點，∴

AE＝BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC(ASA)．5.如圖，在△ABC

中，∠ACB

=

90°，∠CAB

=

30°，以

AB

為邊在△ABC

外作等邊△ABD，E

是

AB

的中點，連接

CE

并延長交

AD

于

F．求證：△AEF≌△BEC．BCDAFE6.如圖，A、O、D三點共線，△OAB和△OCD是兩

個全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.CBODAE解：∵△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形.∴

AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°.∵A、O、D三點共線，∴∠DOB=∠COA=120°.∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.設

OB與

EA相交于點

F.∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.F7.圖①、圖②中，點

C為線段

AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1)如圖①，線段

AN與線段

BM是否相等？請說明理由；(2)如圖②，AN與

MC交于點

E，BM與

CN交于點

F，探究△CEF的形狀，并證明你的結論．拓展提升：圖②CBMANEF圖①CBMAN解：(1)AN＝BM.理由如下：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS).∴AN＝BM.圖①CBMAN(2)△CEF是等邊三角形．證明如下：∵∠ACE＝∠FCB＝60°，∴∠ECF＝60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA).∴CE＝CF.∴△CEF是等邊三角形.圖②CBMANEF等邊三角形定義底

=腰特殊性性質特殊性邊三邊相等角三個角都等于

60°軸對稱性

軸對稱圖形，每條邊上都具有“三線合一”性質判定特殊性三邊法三角法等腰三角形+60°角人教版數學八年級上冊13.3.2

等邊三角形第

2課時含30°角的直角三角形的性質問題引入問題1

如圖，將兩個含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找到

Rt△ABC的直角邊

BC與斜邊

AB之間的數量關系嗎？(提示：請點擊拼接和分離)分離拼接ABCDA'C'問題2

剪一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發(fā)現？含

30°角的直角三角形的性質ABCD如圖，△ADC是

△ABC的軸對稱圖形，因此

AB=AD，∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個等邊三角形.再由

AC⊥BD，可得

BC=CD=BD=AB.性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于

30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.你還能用其他方法證明嗎？證明：取線段

AB

的中點

D，連接

CD.∵CD為Rt△ABC

斜邊

AB

上的中線，A30°BCD∵∠BCA=90°，且∠A

=30°，∴∠B=60°.∴△CBD為等邊三角形.證法1證明方法：中線法證法2證明：在△ABC

中，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，

∴∠B=60°．延長

BC到

D，使

BD=AB，連接

AD，則△ABD

是等邊三角形．ABCD∴BC=BD=AB.30°)證明方法：倍長法)證明：在

BA

上截取

BE

=

BC，連接

EC.

∵∠B

=60°，BE

=

BC，∴△BCE

是等邊三角形.∴∠BEC

=60°，BE

=

EC.∵∠A

=30°，∴∠ECA

=∠BEC

-∠A

=

60°

-

30°=

30°.∴AE

=

EC.∴AE

=

BE

=

BC.

∴AB

=

AE

+

BE

=

2BC.EABC∴BC=AB.證法330°證明方法：截取法知識要點含30°角的直角三角形的性質在直角三角形中，如果一銳角等于

30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.應用格式：在

Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，ABC∴BC=AB.)30°(1)直角三角形中30°角所對的直角邊等于另一直角邊

的一半.

(2)三角形中30°角所對的邊等于最長邊的一半.

(3)直角三角形中最小的直角邊是斜邊的一半.

(4)含30°銳角的直角三角形的斜邊是最短邊的2倍.√判一判解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊

AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm.在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.

例1

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊

AB上的高，AD＝3cm，則

AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm典例精析注意：運用含30°

角的直角三角形的性質求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．D例2

如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交

OB于

C，PD⊥OA于

D，若

PC＝3，則

PD等于(

)A．3B．2C．1.5D．1解析：如圖，過點

P作

PE⊥OB于

E.∵PC∥OA，∴∠PCE＝∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.EC方法總結：當題圖中含30°角，與角平分線、垂直平分線的性質綜合運用時，關鍵是尋找或作輔助線構造出含30°角的直角三角形．例3

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點

D作

DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分線．CD與

DB有怎樣的數量關系？請說明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即

CD＝DB.∵AD是∠BAC的平分線，又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).方法總結：含30°角的直角三角形的性質是表示線段倍分關系的一個重要的依據，如果問題中出現探究線段倍分關系的結論時，可聯想到此性質．例4

如圖是屋架設計圖的一部分，點

D

是斜梁

AB的中點，立柱

BC，DE

垂直于橫梁

AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱

BC、DE

有多長？ABCDE想一想：圖中

BC、DE分別是哪個直角三角形的直角邊？它們所對的銳角分別是多少度？ABCDE解：∵

DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，∴

BC=AB，DE=AD.∴

BC=AB=×7.4=3.7.又

AD=AB=3.7，∴

DE=AD=×3.7=1.85.答：立柱

BC的長是

3.7m，DE的長是

1.85m.∴CD=AC=×20=10.例5

如圖，等腰三角形的底角為

15°，腰長為

20，求

腰上的高.ACBD15°15°20解：過

C作

CD⊥BA，交

BA的延長線于點

D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知)，∴∠DAC=∠B+∠ACB

=15°

+15°

=30°.))方法總結：在求三角形邊長的一些問題中，可以構造含

30°

角的直角三角形來解決．本題的關鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質，得出30°

角，利用含30°

角的直角三角形的性質解決問題.1.如圖，一棵樹在一次強臺風中，于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米B2.某市在舊城改造中，計劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價

a元，則購買這種草皮需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元B3.如圖，在

△ABC

中，∠ACB=90°，CD

是高，

∠A=30°，AB=4．則

BD的長為

.A

B

C

D

14.

在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C

=

1∶2∶3，若

AB

=

10，

則

BC

的長為

.55.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，則

AB=______