C函數(shù)及其性質(zhì)

第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁函數(shù)的極限與連續(xù)1第一章一、函數(shù)的概念二、函數(shù)的性質(zhì)第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)三、建立函數(shù)關(guān)系舉例

2元素a屬于集合

M,記作元素a不屬于集合M,記作一、函數(shù)的概念（一）

集合、區(qū)間與鄰域：定義

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負(fù)數(shù)的集.3集合表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間4無限區(qū)間點(diǎn)a的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區(qū)間點(diǎn)a的去心

鄰域點(diǎn)a的左

鄰域:右

鄰域:5是B的子集

,或稱B包含A,

集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義

則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:

,

,

若設(shè)有集合A、B，記作記作必有6定義

給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:A的余集直積特例:記作為平面上的全體點(diǎn)集.或7（二）函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義

設(shè)x和y是兩個(gè)變量,D是R的非空子集,任意變量y按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系(如f)有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)(記作f(x))，則稱y(=f(x))是定義在D上的函數(shù).稱為函數(shù)的值域.稱x為自變量，稱y為因變量，D稱為函數(shù)y(=f(x))的定義域，數(shù)集f(D)=函數(shù)圖形是點(diǎn)集:8(對(duì)應(yīng)關(guān)系)(值域)(定義域)定義域:是指使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量集合.對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示方法，即為函數(shù)的表示法，常用的方法有：表格法、圖示法及公式法（解析法）

.確定函數(shù)的兩要素：由定義可知，

兩個(gè)函數(shù)只有它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域都相同時(shí)，才是同一個(gè)函數(shù).9如絕對(duì)值函數(shù)定義域值域與函數(shù)g(x)=x,定義域D=R,值域f(D)=R,雖然定義域相同,但在x<0時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同,所以,是兩個(gè)不同的函數(shù).但f(x)與則是同一個(gè)函數(shù).在函數(shù)的解析法表示中,除一般的表達(dá)式外，還包括分段函數(shù)（后面詳講）、參數(shù)式函數(shù)和隱函數(shù).102.基本初等函數(shù)及其圖象:冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)以上函數(shù)稱為基本初等函數(shù).(注意:其他函數(shù)都不是)113.復(fù)合函數(shù)則任意

可得到一個(gè)以x為自變量、y為因變量

的函數(shù),和合函數(shù).的復(fù)稱為中間變量.

是它的定義域,通過

變量y有確定的值

與之對(duì)應(yīng),記作的定義域?yàn)槎摵瘮?shù)稱為u

設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)榍移渲涤?2例如,

函數(shù)函數(shù)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)

.可定義復(fù)合注意：(1)

不是任意兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成(2)復(fù)合函數(shù)還可以有兩個(gè)以上函數(shù)的復(fù)合而成.=[0,1]復(fù)合函數(shù),如函數(shù)13例如,可定義復(fù)合函數(shù):14(1)會(huì)將幾個(gè)函數(shù)復(fù)合成復(fù)合函數(shù);

學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的要求:(2)分析復(fù)雜函數(shù)的構(gòu)造并會(huì)將其分解.例1設(shè)函數(shù)求解15

例2

分別指出下列函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)復(fù)合而成的.

(1)解該函數(shù)由(2)解該函數(shù)由(3)解該函數(shù)由復(fù)合而成.復(fù)合而成.復(fù)合而成.164.初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).175.分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在自變量不同的取值范圍內(nèi)用不同的式子來表示，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)．注意：分段函數(shù)除個(gè)別外，一般不是初等函數(shù)．如：符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0顯然，符號(hào)函數(shù)不是初等函數(shù).18例3已知分段函數(shù)求

及解函數(shù)無定義并寫出f(x)定義域及值域

.f(x)定義域f(x)值域19例4求的反函數(shù)及其定義域.解:當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)?0二、函數(shù)的性質(zhì)設(shè)函數(shù)且有區(qū)間1.有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界2.單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對(duì)任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當(dāng)時(shí),稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增加函數(shù);單調(diào)減少函數(shù).213.奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,偶函數(shù)雙曲余弦記22又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記234.周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為

周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù),x為無理數(shù).24

例5

討論函數(shù)的特性.解

函數(shù)的定義域D=R(1)討論有界性所以函數(shù)f(x)在R上是有界的；

(2)

討論奇偶性

任意

任意25(3)

討論單調(diào)性>0,所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增加函數(shù).

任意所以函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù);

26三、建立函數(shù)關(guān)系的實(shí)例

時(shí)，2728內(nèi)容小結(jié)1.集合及其運(yùn)算定義域?qū)?yīng)關(guān)系3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)作業(yè)

P.8習(xí)題1.11.(3)(4);5.;6.(2)(4)(6)2.