（5年高考真題備考題庫）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第2章 第8節(jié) 函數(shù)與方程 文 湘教版

第2章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第8節(jié)函數(shù)與方程考點函數(shù)零點與方程的根1．(2013安徽，5分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有兩個極值點x1，x2.若f(x1)＝x1<x2，則關(guān)于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實根個數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6解析：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)與方程的基礎(chǔ)知識，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、推理論證能力以及創(chuàng)新意識．因為函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有兩個極值點x1，x2，可知關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有兩個不等的實根x1，x2.則方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有兩個不等的實根，即f(x)＝x1或f(x)＝x2，原方程根的個數(shù)就是這兩個方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等實根的個數(shù)之和．由上述可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是單調(diào)遞增的，在區(qū)間(x1，x2)上是單調(diào)遞減的，又f(x1)＝x1<x2，如圖所示，由數(shù)形結(jié)合可知，f(x)＝x1時，有兩個不同實根，f(x)＝x2時有一個實根，所以不同實根的個數(shù)為3.答案：A2．（2013湖南，5分）函數(shù)f(x)＝lnx的圖像與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖像的交點個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：本題主要考查對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與方程根的個數(shù)，意在考查考生對初等函數(shù)的了解及數(shù)形結(jié)合能力．結(jié)合對數(shù)函數(shù)f(x)＝lnx與二次函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2可得函數(shù)圖像有兩個交點．答案：C3．(2013天津，5分)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：本題考查函數(shù)零點，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力．函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)即為函數(shù)y＝|log0.5x|與y＝eq\f(1,2x)圖象的交點個數(shù)．在同一直角坐標系中作出函數(shù)y＝|log0.5x|與y＝eq\f(1,2x)的圖象，易知有2個交點．答案：B4．(2013湖南，5分)函數(shù)f(x)＝2lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象的交點個數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0解析：本小題主要考查二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查對數(shù)值的取值范圍的探究及數(shù)形結(jié)合思想．由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其頂點為(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知點(2,1)位于函數(shù)f(x)＝2lnx圖象的下方，故函數(shù)f(x)＝2lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象有2個交點．答案：B5．(2013重慶，5分)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)內(nèi) B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)解析：本題考查函數(shù)的零點，意在考查考生數(shù)形結(jié)合的能力．由已知易得f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，故函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)．答案：A6．（2012北京，5分）函數(shù)f(x)＝xeq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的零點個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：因為y＝xeq\f(1,2)在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝(eq\f(1,2))x在x∈R上單調(diào)遞減，所以f(x)＝xeq\f(1,2)－(eq\f(1,2))x在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝eq\f(1,2)>0，所以f(x)＝xeq\f(1,2)－(eq\f(1,2))x在定義域內(nèi)有唯一零點．答案：B7．（2012湖南，5分）設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．當x∈[0，π]時，0<f(x)<1；當x∈(0，π)且x≠eq\f(π,2)時，(x－eq\f(π,2))f′(x)>0.則函數(shù)y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零點個數(shù)為()A．2 B．4C．5 D．8解析：依題意，當x∈[0，π]時，0<f(x)<1，由f(x)是偶函數(shù)得，當x∈[－π，0]時，0<f(x)<1，即x∈[－π，π]時，0<f(x)<1，由f(x)的周期為2π知，0<f(x)<1恒成立．當x∈[π，2π]時，－1≤sinx≤0，由0<f(x)<1得，y＝f(x)與y＝sinx不相交，即函數(shù)y＝f(x)－sinx無零點；當x∈(0，eq\f(π,2))時，由(x－eq\f(π,2))·f′(x)>0得，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)，而y＝sinx是增函數(shù)，由圖象知，y＝f(x)與y＝sinx有1個交點，即函數(shù)y＝f(x)－sinx有1個零點；當x∈(eq\f(π,2)，π)時，由(x－eq\f(π,2))f′(x)>0得，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)，而y＝sinx是減函數(shù)，由圖象知，y＝f(x)與y＝sinx有一個交點，即函數(shù)y＝f(x)－sinx有1個零點．故函數(shù)y＝f(x)－sinx在[0,2π]上有2個零點．由周期性得，函數(shù)y＝f(x)－sinx在[－2π，0)上有2個零點，即函數(shù)y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上有4個零點．答案：B8．（2012湖北，5分）函數(shù)f(x)＝xcos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點的個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5解析：f(x)＝xcos2x＝0?x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0,2π]上有eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)，eq\f(5π,4)，eq\f(7π,4)，共4個根，故原函數(shù)有5個零點．答案：D9．（2011福建，5分）若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－1,1) B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可得：判別式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2.答案：C10．（2011天津，5分）對實數(shù)a和b，定義運算“?”：a?b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤1，,b，a－b＞1.))設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－1)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖像與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是()A．(－1,1]∪(2，＋∞)B．(－2，－1]∪(1,2]C．(－∞，－2)∪(1,2]D．[－2，－1]解析：令(x2－2)－(x－1)≤1，得－1≤x≤2，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2－1≤x≤2，,x－1x＜－1或x＞2，))∵y＝f(x)－c與x軸恰有兩個公共點，畫函數(shù)的圖像得知實數(shù)c的取值范圍是(－2，－1]∪(1,2]．答案：B11．（2011陜西，5分）方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)()A．沒有根 B．有且僅有一個根C．有且僅有兩個根 D．有無窮多個根解析：求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)根的個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)?(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)的交點個數(shù)問題．由(x)＝|x|和g(x)＝cosx的圖像易知有兩交點，即原方程有且僅有兩個根．答案：C12．（2010福建，5分）函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnx，x＞0))，的零點個數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0解析：法一：令f(x)＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0,x2＋2x－3＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0,lnx＝2))，∴x＝－3或x＝e2，應(yīng)選B.法二：畫出函數(shù)f(x)的圖象可得，圖象與x軸有兩個交點，則函數(shù)f(x)有2個零點．答案：B13．（2010天津，5分）函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理，知函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(0,1)內(nèi)．答案：C14．（2011遼寧，5分）已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點，則a的取值范圍是________．解析：由原函數(shù)有零點，可將問題轉(zhuǎn)化為方程ex－2x＋a＝0有解問題，即方程a＝2x－ex有解．令函數(shù)g(x)＝2x－ex，則g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函數(shù)，在(ln2，＋∞)上是減函數(shù)，所以g(x)的最大值為：g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范圍就是函數(shù)g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln2－2]．答案：(－∞，2ln2－2]15．（2011北京，5分）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x≥2，,x－13，x＜2.))若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是____．解析：作出函數(shù)f(x)的圖像，如圖，由圖像可知，當0＜k＜1時，函數(shù)f(x)與y＝k的圖像有兩個不同的交點，所以所求實數(shù)k的取值范圍是(0,1)．答案：(0,1)16．(2009·廣東，14分)已知二次函數(shù)y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1處取得極小值m－1(m≠0)．設(shè)f(x)＝eq\f(gx,x)，(1)若曲線y＝f(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為eq\r(2)，求m的值；(2)k(k∈R)如何取值時，函數(shù)y＝f(x)－kx存在零點，并求出零點．解：∵y＝g′(x)＝2ax＋b的圖象與直線y＝2x平行，∴a＝1.又∵y＝g(x)在x＝－1處取得極小值m－1，∴－eq\f(b,2a)＝－1，g(－1)＝a(－1)2＋b(－1)＋c＝m－1，所以b＝2，c＝m.從而f(x)＝eq\f(gx,x)＝eq\f(m,x)＋x＋2.(1)已知m≠0，設(shè)曲線y＝f(x)上點P的坐標為P(x，y)，則點P到點Q(0,2)的距離為|PQ|＝eq\r(x－02＋y－22)＝eq\r(x2＋\f(m,x)＋x2)＝eq\r(2x2＋\f(m2,x2)＋2m)≥eq\r(2\r(2x2·\f(m2,x2))＋2m)＝eq\r(2\r(2)|m|＋2m)，當且僅當2x2＝eq\f(m2,x2)?x＝±eq\r(\f(|m|,\r(2)))時等號成立．∵|PQ|的最小值為eq\r(2)，∴eq\r(2\r(2)|m|＋2m)＝eq\r(2)?eq\r(2)|m|＋m＝1.①當m＞0時，解得m＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.②當m＜0時，解得m＝eq\f(1,1－\r(2))＝－eq\r(2)－1.故m＝eq\r(2)－1或m＝－eq\r(2)－1.(2)y＝f(x)－kx的零點，即方程eq\f(m,x)＋(1－k)x＋2＝0的解，∵m≠0，∴eq\f(m,x)＋(1－k)x＋2＝0與(k－1)x2－2x－m＝0有相同的解．①若k＝1，(k－1)x2－2x－m＝0?x＝－eq\f(m,2)≠0，所以函數(shù)y＝f(x)－kx有零點x＝－eq\f(m,2).②若k≠1，(k－1)x2－2x－m＝0的判別式Δ＝4[1＋m(k－1)]．若Δ＝0?k＝1－eq\f(1,m)，此時函數(shù)y＝f(x)－kx