專(zhuān)題1.2 絕對(duì)值的綜合（壓軸題專(zhuān)項(xiàng)講練）2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)講練系列（人教版）（解析版）

第第頁(yè)專(zhuān)題1.2絕對(duì)值的綜合【典例1】（1）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|，當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1，AB=

當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，①如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊AB=②如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊AB=③如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，AB=綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=（2）回答下列問(wèn)題：①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_______，數(shù)軸上表示1和?3的兩點(diǎn)之間的距離是_______．②數(shù)軸上表示x和?1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是_______，如果AB=2，那么x（3）探索規(guī)律：①當(dāng)x?1+②當(dāng)x?1+③當(dāng)x?1+（4）規(guī)律應(yīng)用工廠加工車(chē)間工作流水線上依次間隔2米排著9個(gè)工作臺(tái)A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱應(yīng)該放在工作_______處，能使工作臺(tái)上的工作人員取配件所走的路程最短，最短路程是_______米．（5）知識(shí)遷移x+4?【思路點(diǎn)撥】（2）①根據(jù)兩點(diǎn)間距離的求法直接求解即可；②根據(jù)兩點(diǎn)間距離的求法直接寫(xiě)出即可；（3）①根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，x?1+②根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，當(dāng)x=2時(shí)，x?1+③根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，當(dāng)x=2或x=3時(shí)，x?1+（4）以E點(diǎn)為原點(diǎn)，1米為一個(gè)單位長(zhǎng)度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在數(shù)軸上排列，根據(jù)絕對(duì)值的意義，幾何數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)可知當(dāng)x=0時(shí)，x?8+（5）分三種情況對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行運(yùn)算，再求最大值和最小值即可．【解題過(guò)程】解：（2）①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是2?5=3數(shù)軸上表示1和?3的兩點(diǎn)之間的距離是|1??3故答案為：3，4；②數(shù)軸上表示x和?1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是x??1∵AB=2∴x+1=2∴x+1=2或x+1=?2，解得x=1或x=?3，故答案為：x+1；1或?3；（3）①∵x?1+x?2表示數(shù)軸上有理數(shù)∴當(dāng)1≤x≤2時(shí)，x?1+故答案為：小，1；②x?1+∴當(dāng)x=2時(shí)，x?1+故答案為：小，2；③x?1+x?2+∴當(dāng)x=2或x=3時(shí)，x?1+故答案為：小，4；（4）以E點(diǎn)為原點(diǎn)，1米為一個(gè)單位長(zhǎng)度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在數(shù)軸上排列，則A點(diǎn)表示的數(shù)為?8，B點(diǎn)表示的數(shù)為?6，C點(diǎn)表示的數(shù)為?4，D點(diǎn)表示的數(shù)為?2，F(xiàn)點(diǎn)表示的數(shù)為2，G點(diǎn)表示的數(shù)為4，H點(diǎn)表示的數(shù)為6，I點(diǎn)表示數(shù)為8，設(shè)配件箱應(yīng)該放在數(shù)軸上表示x的數(shù)的位置，當(dāng)x?8+∴當(dāng)x=0時(shí)，x?8+∴配件箱應(yīng)該放在工作臺(tái)E處，最短路程為40米，故答案為：E，40；（5）x+4?當(dāng)x≥5時(shí)，x+4?當(dāng)?4<x<5時(shí)，x+4?當(dāng)x≤?4時(shí)，x+4?∴x+4?x?5有最大值9，最小值1．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知有理數(shù)a，c，若a?2=18，且3a?c=A．﹣6 B．2 C．8 D．9【思路點(diǎn)撥】根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義對(duì)a?2=18進(jìn)行化簡(jiǎn)，a?2=18或a?2=?18，解得a=20或a=?16有兩個(gè)解，分兩種情況再對(duì)3a?c=c進(jìn)行化簡(jiǎn)，繼而有兩個(gè)不同的絕對(duì)值等式，320?c=c【解題過(guò)程】解：∵a?2=18∴a?2=18或a?2=?18，∴a=20或a=?16，當(dāng)a=20時(shí)，3a?c=c等價(jià)于3∴60?3c=c或60?3c=?c，∴c=15或c=30；當(dāng)a=?16時(shí)，3a?c=c等價(jià)于3∴?48?3c=c或?48?3c=?c，∴c=?12或c=?24，故c=15或c=30或c=?12或c=?24，∴所有滿(mǎn)足條件的數(shù)c的和為：15+30+(?12)+(?24)=9．故答案為：D．2．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)期末）已知a，b，c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且x=aa+A．0 B．0，2 C．0，?2，1 D．0，1，?2，6【思路點(diǎn)撥】先判斷出a,b,c的符號(hào)，再化簡(jiǎn)絕對(duì)值運(yùn)算即可得．【解題過(guò)程】解：∵a,b,c的積為負(fù)數(shù)∴a,b,c的符號(hào)為三負(fù)或兩正一負(fù)∵a,b,c的和為正數(shù)∴a,b,c的符號(hào)為兩正一負(fù)因此，分以下三種情況：（1）當(dāng)a>0,b>0,c<0時(shí)x==1+1?1+1?1?1=0（2）當(dāng)a>0,c>0,b<0時(shí)x==1?1+1?1+1?1=0（3）當(dāng)b>0,c>0,a<0時(shí)x==?1+1+1?1?1+1=0綜上，x的值為0故選：A．3．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，|a|a+|b|A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不確定【思路點(diǎn)撥】根據(jù)絕對(duì)值的意義，先求出a的值，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到|b|b+|c|c=?2【解題過(guò)程】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，∴當(dāng)x=5時(shí)，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，∴a=8，∵|a|a∴|8|8∴|b|b∴|b|b=?1，∴b<0，c<0，∴bc>0∴|ab|=|8b|=|b|=?2+=?2+1+1=0；故選：C．4．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）設(shè)有理數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a>b>c(ac<0)，且c<b<|a|A．a(chǎn)?c2 B．a(chǎn)+b+2c2 C．2a+b+c2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)ac<0可知a，c異號(hào)，再根據(jù)a>b>c，以及c<b<|a|，即可確定a，?a，b，?b，c，?c在數(shù)軸上的位置，而|x﹣a+b2|+|x﹣b+c【解題過(guò)程】解：∵ac<0，∴a，c異號(hào)，∵a>b>c，∴a>0，c<0，又∵c<∴?a<?b<c<0<?c<b<a，又∵|x﹣a+b2|+|x﹣b+c2|+|x+a+c當(dāng)x在b+c2即|x﹣a+b2|+|x﹣b+c2|+|x+a+c故選：C．5．（2022秋·重慶·七年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的有（

）①已知a，b，c是非零的有理數(shù)，且|abc|abc=?1時(shí)，則|a|a②已知a，b，c是有理數(shù)，且a+b+c=0，abc<0時(shí)，則b+c|a|③已知x≤4時(shí)，那么x+3?x?4的最大值為7，最小值為④若a=b且|a?b|=23，則式子⑤如果定義a,b=a+b(a>b)0a=bb?a(a<b)，當(dāng)ab<0，a+b<0，aA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【思路點(diǎn)撥】①由題意可得，abc<0，則a，b，c中有一個(gè)或三個(gè)值為負(fù)數(shù)，討論求解即可；②由abc<0可得a，【解題過(guò)程】解：①由|abc|abc=?1可得abc<當(dāng)a<0，b>0，c>0當(dāng)a<0，b<0故①正確；②由abc<0和a+b+c=0得∴a+b=?c，a+c=?b，b+c=?a∴?a|a|故②錯(cuò)誤；③當(dāng)?3≤x≤4時(shí)，x?4≤0，x+3≥0，則x+3?x?4當(dāng)x<?3時(shí)，x?4≤0，x+3<0則x+3故③正確；④由a=b可得a=b當(dāng)a=b時(shí)，a?b=0與|a?b|=2當(dāng)a=?b時(shí)，a?b=?2b，a+b=0且2b解得a=13則ab=?19a+b?ab故④正確；⑤由題意可得a，當(dāng)a<0，b>0時(shí)，a=?a，b由a>b可得?a>b，即a+b<0則{a當(dāng)a>0，b<0時(shí)，a=a，由a>b可得a>?b，即a+b>0，與綜上{a故⑤正確；正確的個(gè)數(shù)為4故選：C6．（2022秋·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谥校┮阎猘為任意有理數(shù)，則a+3+3a+5+2【思路點(diǎn)撥】a+3+3a+5+2a?7表示a到?3距離加上3倍a到?5的距離再加上2倍a到7的距離，由此可得a在a＜?5，【解題過(guò)程】解：當(dāng)a＜a+3=?a?3+3=?a?3?3a?15+14?2a=?6a?4＞當(dāng)?5≤a≤?3時(shí)，a+3=?a?3+3=?a?3+3a+15+14?2a=26；當(dāng)?3＜a+3=a+3+3=a+3+3a+15+14?2a=2a+32＞當(dāng)a＞a+3=a+3+3=a+3+3a+15+2a?14=6a+4＞故答案為：26．7．（2022秋·福建泉州·七年級(jí)福建省永春第三中學(xué)校聯(lián)考期中）已知|x+1|+|x?2||y?2|+|y+1||z?3|+|z+1|=36，則2016x+2017y+2018z的最大值是【思路點(diǎn)撥】先討論∶|x+1|+|x?2|、y?2+y+1、z?3+z+1的最小值，根據(jù)它們的積是36，分別得到|x+1|+|x?2|、【解題過(guò)程】解：∵|x+1|+|x?2|≥3，y?2+y+1≥3，∴|x+1|+|x?2|=3，y?2+當(dāng)|x+1|+|x?2|=3時(shí)，x最小取當(dāng)y?2+y+1=當(dāng)z?3+z+1=∴2016x+2017y+2018z的最大值為∶2016×2+2017×2+2018×3=14120，2016x+2017y+2018z的最小值為∶2016×?1=?6051，故答案為：14120；?6051．8．（2022秋·浙江麗水·七年級(jí)?？计谥校┮阎簃=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，則m【思路點(diǎn)撥】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求出x、y的值，然后代入x?y即可解答．【解題過(guò)程】解：∵abc>0，a+b+c=0，∴a+b=?c，b+c=?a，c+a=?b，∴a，b，c三個(gè)數(shù)中有兩負(fù)一正，當(dāng)a，b為負(fù)，c為正數(shù)時(shí)，m====1?2?3=?4；當(dāng)a，c為負(fù)，b為正數(shù)時(shí)，m====?1+=0；當(dāng)b，c為負(fù)，a為正數(shù)時(shí)，m====?1+2?3=?2；∵m共有x個(gè)不同的值，若在這些不同的m值中，最小的值為y，∴x=3，y=?4，∴x+y=3??4故答案為：7．9．（2022秋·浙江杭州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）學(xué)習(xí)了數(shù)軸與絕對(duì)值知識(shí)后，我們知道：數(shù)軸上表示數(shù)m與數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離為m?n，則：①x?1表示的實(shí)際意義是．②x?1+x?2+③|x?1+x?2+【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式求解即可；②根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得當(dāng)x=2時(shí)x?1+③根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得當(dāng)2<x≤3時(shí)x?1+【解題過(guò)程】解：①|(zhì)x?1|表示的實(shí)際意義是表示數(shù)x與數(shù)1的兩點(diǎn)之間的距離；故答案為：表示數(shù)x與數(shù)1的兩點(diǎn)之間的距離；②分類(lèi)討論：1）當(dāng)x≤1時(shí)，x?1+∴當(dāng)x=1時(shí)，有最小值3；2）當(dāng)1<x≤2時(shí)，x?1+∴當(dāng)x=2時(shí)，有最小值2；3）當(dāng)2<x≤3時(shí)，x?1+此時(shí)最小值大于2；4）當(dāng)x>3時(shí)，x?1+此時(shí)最小值大于3；綜上可知，當(dāng)x=2時(shí)，且最小值為2；故答案為：2；③根據(jù)|x?1+x?2+x?3+于是可分以下五個(gè)情況討論：1）當(dāng)x≤1時(shí)，|x?1+2）當(dāng)1<x≤2時(shí)|x?1+3）當(dāng)2<x≤3時(shí)，|x?1+4）當(dāng)3<x≤4時(shí)，|x?1+5）當(dāng)x>4時(shí)，|x?1+綜上所述，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，有最小值4，故答案為：4．10．（2022秋·北京朝陽(yáng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的【探究】．【提出問(wèn)題】?jī)蓚€(gè)不為0的有理數(shù)a，b滿(mǎn)足a，b同號(hào)，求aa【解決問(wèn)題】解：由a、b同號(hào)且都不為0可知a、b有兩種可能：①a、b都是正數(shù)：②a、b都是負(fù)數(shù)．①若a、b都是正數(shù)，即a>0，b>0，有a=a及b=b，則②若a、b都是負(fù)數(shù)，即a<0，b<0，有a=?a及b=?b所以aa+b【探究】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題：（1）已知a=3且b=7，且a<b，求（2）兩個(gè)不為0的有理數(shù)a，b滿(mǎn)足a，b異號(hào)，求aa（3）若abc>0，則|a|a【思路點(diǎn)撥】（1）由a=3且b=7，且a<b得到a和（2）由a、b異號(hào)分2種情況討論：①a>0，b<0；②a<0，b>0，分別求解即可；（3）由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)，分情況討論：①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即a>0，b>0，c>0時(shí)，②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0，b<0，c<0，代入計(jì)算即可．【解題過(guò)程】（1）解：∵a=3，b∴a=3或?3，b=7或?7，∵a<b，∴a=3，b=7或a=?3，b=7，當(dāng)a=3，b=7時(shí)a+b=3+7=10，當(dāng)a=?3，b=7時(shí)a+b=?3+7=4，綜上，a+b的值10或4；（2）解：由a、b異號(hào)，可知：①a>0，b<0；②a<0，b>0，當(dāng)a>0，b<0時(shí)，aa當(dāng)a<0，b>0時(shí)，aa綜上，aa（3）解：由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即a>0，b>0，c>0時(shí)，則：|a|a②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0，b<0，c<0，則：|a|所以：|a|a+|b|11．（2023·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：（1）探究：①數(shù)軸上表示7和3的兩點(diǎn)之間的距離是；②數(shù)軸上表示?4和?9的兩點(diǎn)之間的距離是；③數(shù)軸上表示?3和5的兩點(diǎn)之間的距離是．（2）歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于．（3）應(yīng)用：①如果表示數(shù)a和3的兩點(diǎn)之間的距離是6，則可記為：|a?3|=6，那么a＝．

②若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于?5與2之間，求a+5+③當(dāng)a何值時(shí)，a+5+

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離=較大的數(shù)?較小的數(shù)可得結(jié)論；（2）因?yàn)椴淮_定m和n的大小關(guān)系，所以數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m?n|；（3）①根據(jù)絕對(duì)值的意義可得：a?3=±6，解方程即可；②根據(jù)a的范圍，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再合并即可；③分析得出a+5+a?1+【解題過(guò)程】（1）解：①數(shù)軸上表示7和3的兩點(diǎn)之間的距離是7?3=4；②數(shù)軸上表示?4和?9的兩點(diǎn)之間的距離是?4??9③數(shù)軸上表示?3和5的兩點(diǎn)之間的距離是5??3（2）一般的，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于m?n；（3）①|(zhì)a?3|=6，∴a?3=6或a?3=?6，解得：a=9或a=?3；②∵數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于?5與2之間，∴?5<a<2，∴a+5+③a+5+a?1+∴當(dāng)a=1時(shí)，該式的值最小，最小值為1+5+∴當(dāng)a=1時(shí)，a+5+12．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）人們通過(guò)長(zhǎng)期觀察發(fā)現(xiàn)如果早晨天空中棉絮的高積云，那么午后常有雷雨降臨，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨臨”的諺語(yǔ)．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單情形的觀察、分析，從特殊到一般地探索這類(lèi)現(xiàn)象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱(chēng)為歸納．【數(shù)學(xué)問(wèn)題】數(shù)軸上分別表示數(shù)a和數(shù)b的兩個(gè)點(diǎn)A、B之間的距離該如何表示？【問(wèn)題探究】（1）觀察分析（特殊）：①當(dāng)a=2，b=5時(shí)，A，B之間的距離AB=3；②當(dāng)a=?2，b=5時(shí)，A，B之間的距離AB=；③當(dāng)a=?2，b=?5時(shí)，A，B之間的距離（2）一般結(jié)論：數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b的兩點(diǎn)A，B之間的距離表示為AB=；【問(wèn)題解決】（3）應(yīng)用：數(shù)軸上，表示x和3的兩點(diǎn)A和B之間的距離是5，試求x的值；【問(wèn)題拓展】（4）拓展：①若x?2=x?6，則x=②若x?1+x?7=8，則③若x，y滿(mǎn)足x?1+x?5y?1+y+1=8，則代數(shù)式【思路點(diǎn)撥】（1）利用數(shù)軸直接得到A，B之間的距離AB即可；（2）歸納總結(jié)得到：數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b的兩點(diǎn)A，B之間的距離表示為AB=a?b（3）解絕對(duì)值方程即可；（4）①解絕對(duì)值方程即可；②分三種情況分類(lèi)討論解方程；先求出x，y的取值范圍，然后計(jì)算解題．【解題過(guò)程】（1）②AB=?2?5=7③AB=?2?故答案為：7，3．（2）一般結(jié)論：數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b的兩點(diǎn)A，B之間的距離表示為AB=a?b故答案為：a?b．（3）∵x?3=5∴x?3=±5，解得：x=?2或x=8；

（4）①x?2=即x?2=±x?6解得：x=4；故答案為：4．②若x?1+當(dāng)x≥7時(shí)，x?1+x?7=8當(dāng)1<x<7時(shí)，x?1+當(dāng)x≤1時(shí)，1?x+7?x=8故答案為：8或0．③由題可知x?1+x?5≥4又∵x?1+∴x?1+x?5=4即1≤x≤5，?1≤x≤1，∴代數(shù)式x+y的最大值是5+1=6，最小值是1+故答案為：6，0．13．（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)校考期中）【問(wèn)題提出】a?1+【閱讀理解】為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們先從最簡(jiǎn)單的情況入手．a(chǎn)的幾何意義是a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么a?1可以看作a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1的距離；a?1+a?2就可以看作a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和2兩個(gè)點(diǎn)的距離之和，下面我們結(jié)合數(shù)軸研究我們先看a表示的點(diǎn)可能的3種情況，如圖所示：如圖①，a在1的左邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1．如圖②，a在1，2之間（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距離之和等于1．如圖③，a在2的右邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1.因此，我們可以得出結(jié)論：當(dāng)a在1，2之間（包括在1，2上）時(shí)，a?1+【問(wèn)題解決】（1）a?4+a?7的幾何意義是，請(qǐng)你結(jié)合數(shù)軸研究：a?4+（2）請(qǐng)你結(jié)合圖④探究a?1+a?2+a?3的最小值是，由此可以得出（3）a?1+a?2+（4）a?1+a?2+（5）如圖⑤，已知a使到-1，2的距離之和小于4，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍是．【思路點(diǎn)撥】（1）由a?1+a?2的幾何意義以及（2）當(dāng)a取中間值即a＝2時(shí)，求得最小值；（3）由題意可得出，取中間數(shù)即a=3時(shí)，絕對(duì)值最??；（4）由題意可得出，取中間值a＝1011時(shí)，求得最小值；（5）由已知得：a??1+a?2【解題過(guò)程】（1）由題可知，a?4+a?7的幾何意義是當(dāng)a在4和7之間時(shí)（包括4，7上），a到4和7的距離之和等于3，此時(shí)a?4+故答案為：a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到3和6兩個(gè)點(diǎn)的距離之和；3（2）當(dāng)a取中間數(shù)2時(shí)，絕對(duì)值最小a?1+故答案為：2；2（3）當(dāng)a取最中間數(shù)時(shí)，絕對(duì)值最小a?1+a?2+（4）當(dāng)a取中間數(shù)1011時(shí)，絕對(duì)值最小，a?1+1010+1009+1008+1007+?+1+0+1+2+3+?+1010=1010×故答案為：1021110（5）∵a使它到－1，2的距離之和小于4∴a?①當(dāng)a≥2時(shí)，則有a?(?1)+a?2<4解得：a<2.5∴2≤a<2.5；②當(dāng)?1≤a≤2時(shí)，則有a?(?1)+2?a=3<4∴?1≤a≤2③當(dāng)a<?1時(shí)，則有?1?a+2?a<4解得：a>?1.5∴?1.5<a<?1綜上，a的取值范圍為：?1.5<a<2.5故答案為：?1.5<a<2.514．（2022秋·重慶梁平·七年級(jí)統(tǒng)考期末）同學(xué)們都知道：數(shù)軸上表示x與a的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為x?a．例如7??4表示7與?4之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為7與?4

探索：（1）數(shù)軸上表示7與?4兩點(diǎn)之間的距離是______．（2）若x?3=2，則x=（3）x+1+x?3表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到?1和3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，請(qǐng)你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得（4）請(qǐng)你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得x+10+（5）繼續(xù)探索：2x?10【思路點(diǎn)撥】（1）利用距離公式直接計(jì)算即可；（2）將x?3看成整體，利用絕對(duì)值的定義求解即可；（3）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知當(dāng)?1≤x≤3時(shí)x+1+x?3=4,（4）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知當(dāng)x=?2時(shí)，x+10+(5)同（4）理可得：①x?10+x?2的最小值是8，當(dāng)且僅當(dāng)2≤x≤10時(shí)取最小值8，②x?10+x+8的最小值是18，當(dāng)且僅當(dāng)?8≤x≤10時(shí)取最小值18，③x?2≥0【解題過(guò)程】（1）數(shù)軸上表示7與?4兩點(diǎn)之間的距離可以表示為7??4故答案為：11；（2）∵x?3=2∴x?3=?2或x?3=2，解得：x=1或x=5，故答案為：1或5；（3）∵x+1+x?3=4表示數(shù)軸上有理數(shù)x如圖，當(dāng)x對(duì)應(yīng)的數(shù)在?1與3之間(包含?1與3)，即?1≤x≤3時(shí)，x+1∴這樣的整數(shù)有?1、0、1、2、3，當(dāng)x對(duì)應(yīng)的數(shù)在?1的左邊或3右邊時(shí)，顯然x?3>4或x+1此時(shí)x+1+故答案為：?1、0、1、2、3；（4）∵x+10+x?8表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到如圖，

當(dāng)x對(duì)應(yīng)的數(shù)在?10與8之間(包含?10與8)，即?10≤x≤8時(shí)，x+10+當(dāng)x對(duì)應(yīng)的數(shù)在?10的左邊或8右邊時(shí)，顯然x?8>18或x+10∴此時(shí)x+10+綜上所述：x+10+x?8的最小值是18，當(dāng)且僅當(dāng)又∵x+2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=?2∴當(dāng)且僅當(dāng)x=?2時(shí)，x+10+故答案為：?2（5）同理可得：①x?10+x?2的最小值是8，當(dāng)且僅當(dāng)②x?10+x+8的最小值是18，當(dāng)且僅當(dāng)③x?2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=2∴當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，2x?1015．（2022秋·浙江金華·七年級(jí)校聯(lián)考期中）【定義新知】我們知道：式子x?3的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點(diǎn)與表示有理數(shù)3的點(diǎn)之間的距離，因此，若點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=a?b．若點(diǎn)P表示的數(shù)為x（1）式子x+5在數(shù)軸上的幾何意義是____________________________________，若x+5=6，則x（2）當(dāng)x+3+x?1|取最小值時(shí)，（3）當(dāng)x=_________時(shí)，x+2+【解決問(wèn)題】（4）如圖，一條筆直的公路邊有三個(gè)居民區(qū)A、B、C和市民廣場(chǎng)O，居民區(qū)A、B、C分別位于市民廣場(chǎng)左側(cè)5km，右側(cè)1km，右側(cè)3km．A小區(qū)有居民1000人，B居民區(qū)有居民2000人，C居民區(qū)有居民3000人．現(xiàn)因防疫需要，需要在該公路上建一個(gè)核酸檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室P，用于接收這3個(gè)小區(qū)的全員核酸樣本．若核酸樣本的運(yùn)輸和包裝成本為每千米1元/千份，那么實(shí)驗(yàn)室P建在何處才能使總運(yùn)輸和包裝成本最低，最低成本是多少？【思路點(diǎn)撥】（1）結(jié)合題意直接可以得出x+5在數(shù)軸上的幾何意義，x+5=6表示數(shù)軸上與有理數(shù)?5（2）x+3+x?1表示數(shù)軸上x(chóng)到?3與x到1的距離之和最小，x應(yīng)該在（3）x+2+x+6+x?1表示數(shù)軸上x(chóng)到?6、x到?2與x到1的距離之和最小，x應(yīng)該在?6與1之間的線段上，當(dāng)x=?2是，x到?6、x到（4）A、B、C在數(shù)軸上分別表示?5，1,3，P表示x，使總運(yùn)輸和包裝成本最低即x+5+2x?1+3【解題過(guò)程】（1）解：由題意可知，式子x+5在數(shù)軸上的幾何意義是：數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點(diǎn)與表示有理數(shù)?5的點(diǎn)之間的距離；x+5=6表示數(shù)軸上與有理數(shù)?5?11或1，故答案為：數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點(diǎn)與表示有理數(shù)?5的點(diǎn)之間的距離；?11或1，（2）x+3+x?1表示數(shù)軸上x(chóng)到?3與所以x應(yīng)該在?3與1之間的線段上，所以x可以取整數(shù)?3，?2，?1，0,1故答案為：?3，?2，?1，0,1（3）x+2+x+6+x?1表示數(shù)軸上x(chóng)到?6、x到所以x應(yīng)該在?6與1之間的線段上，且當(dāng)x=?2是，x到?6、x到?2與x到1的距離之和最小，最小值為?6到1的距離為7；故答案為：?2，7；（4）A、B、C在數(shù)軸上分別表示?5，1,3，P表示x，使總運(yùn)輸和包裝成本最低即x+5+2x+5x在1時(shí)，x+5+x在1與3之間的線段上x(chóng)?1+所以x在1時(shí)x+5+2x?1所以實(shí)驗(yàn)室P建在點(diǎn)B處才能使總運(yùn)輸和包裝成本最低，最低成本是12元．16．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）（1）閱讀：如圖，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離可以表示為AB=|a?b|（2）理解：①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和?3的兩點(diǎn)之間的距離是；②數(shù)軸上表示x和?1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果AB=2，那么x=（3）運(yùn)用：③當(dāng)代數(shù)式x+1+|x?2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是④當(dāng)代數(shù)式x+1+|x?2+x?4|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x（4）提升：⑤有A、B、C、D、E五位小朋友按順時(shí)針?lè)较驀梢粋€(gè)小圓圈，他們分別有卡片12、6、9、3、10張．現(xiàn)在為使每人手中卡片數(shù)相等，各調(diào)幾張卡片給相鄰小朋友（可以從相鄰小朋友調(diào)進(jìn)或調(diào)出給相鄰小朋友），要使調(diào)動(dòng)的卡片總數(shù)最小，應(yīng)該做怎樣的調(diào)動(dòng)安排？最少調(diào)動(dòng)幾張？【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)閱讀材料直接可得答案；②根據(jù)閱讀材料列出方程，可解得答案；③由x+1+|x?2|表示到表示?1④由x+1+|x?2+x?4|⑤設(shè)A給Ba張（a>0時(shí)，即為A給Ba張，a<0時(shí)，即為B給Aa張，），B給Cb張，C給Dc張，D給Ed張，E給Ae張，要使每人手中的卡片數(shù)相等，每人均為8張，故6+a?b=89+b?c=83+c?d=810+d?e=8，即得由b+2+b+b+1+【解題過(guò)程】解：①∵5?2=3,∴表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是3，表示1和?3的兩點(diǎn)之間的距離是4，故答案為：3，4；②表示x和?1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是x?(?1)=當(dāng)AB=2時(shí)，解得x=1或x=?3，故答案為：x+1，1或?3③∵x+1+|x?2|表示到表示?1∴x+1+|x?2||取最小值時(shí)，x的范圍是?1≤x≤2故答案為：?1≤x≤2；④∵x+1+|x?2+x?4|∴x=2時(shí)，x+1+|x?2故答案為：2；⑤設(shè)A給Ba張（a>0時(shí)，即為A給Ba張，a<0時(shí)，即為B給Aa張，），B給Cb張，C給Dc張，D給Ed張，E給Ae張，由于共有卡片數(shù)為12+6+9+3+10=40由題意：6+a?b=89+b?c=8變形得：a=b+2c=b+1∴a+∵b+2+b+b+1+∴b=0時(shí)，b+2+b+此時(shí)a=2,c=1,d=?4,e=?2，∴A給B2張，B給C0張，C給D1張，E給D4張，A給E2張，調(diào)動(dòng)的卡片總數(shù)最小，最少調(diào)動(dòng)9張．17．（2022秋·北京·七年級(jí)期末）閱讀材料：小蘭在學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)發(fā)現(xiàn)：若點(diǎn)M、N表示的數(shù)分別為?1、3，則線段MN的長(zhǎng)度可以這樣計(jì)算|?1?3|=4或|3?(?1)|=4，那么當(dāng)點(diǎn)M、N表示的數(shù)分別為m、n時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度可以表示為|m?n|或|n?m|．請(qǐng)你參考小蘭的發(fā)現(xiàn)，解決下面的問(wèn)題．在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、C分別表示數(shù)a、b、c給出如下定義：若|a?b|=2|a?c|，則稱(chēng)點(diǎn)B為點(diǎn)A、C的雙倍絕對(duì)點(diǎn)．（1）如圖1，a=?1①若c=2，點(diǎn)D、E、F在數(shù)軸上分別表示數(shù)?3、5、7，在這三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)_______是點(diǎn)A、C的雙倍絕對(duì)點(diǎn)；②若|a?c|=2，則b=________；（2）若a=3，|b?c|=5，則c的最小值為_(kāi)_______；（3）線段PQ在數(shù)軸上，點(diǎn)P、Q分別表示數(shù)?4、?2，a=3，|a?c|=2，線段PQ與點(diǎn)A、C同時(shí)沿?cái)?shù)軸正方向移動(dòng)，點(diǎn)A、C的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，線段PQ的速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t(t>0)，當(dāng)線段PQ上存在點(diǎn)A、C的雙倍絕對(duì)點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)雙倍絕對(duì)