3.2離散傅里葉變換的性質(zhì)

離散傅里葉變換(2)數(shù)字信號(hào)處理離散傅里葉變換的性質(zhì)主要內(nèi)容離散傅里葉變換的隱含周期性離散傅里葉變換的基本性質(zhì)離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性課前回顧DFSDFT離散傅里葉變換的基本性質(zhì)Z變換DTFTDFTx(n)的Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣X(ejw)在區(qū)間[0,2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣與Z變換和DTFT的關(guān)系例：已知

計(jì)算和，并說明兩者的關(guān)系；解:

從DTFT定義出發(fā)DTFT和DFT的關(guān)系：離散傅里葉變換的隱含周期性線性性質(zhì)

若則

N點(diǎn)DFTN點(diǎn)DFT循環(huán)移位性質(zhì)時(shí)域循環(huán)移位定理若則

時(shí)域的循環(huán)移位對(duì)應(yīng)頻域的相移循環(huán)移位性質(zhì)

設(shè)x(n)為有限長序列，長度為N，則x(n)的循環(huán)移位定義為序列的循環(huán)移位周期移位取主值延拓序列序列的循環(huán)移位循環(huán)移位性質(zhì)循環(huán)移位性質(zhì)頻域循環(huán)移位定理

如果

則

時(shí)域的相移對(duì)應(yīng)頻域的循環(huán)移位頻域循環(huán)移位定理

旋轉(zhuǎn)因子：問題：若，則DFT[y(n)]歐拉公式：作業(yè)：若，則DFT[y(n)]循環(huán)移位性質(zhì)循環(huán)卷積計(jì)算循環(huán)卷積如果長度分別為N、M則的L點(diǎn)圓周卷積定義為：補(bǔ)零h0h7h6h5h4h3h2h1x0x7x5x6x4x3x2x1圓周卷積循環(huán)卷積計(jì)算循環(huán)卷積

翻轉(zhuǎn)求和移位相乘周期延拓取主值翻轉(zhuǎn)求和移位相乘

線性卷積循環(huán)卷積計(jì)算循環(huán)卷積翻轉(zhuǎn)求和移位相乘周期延拓取主值y(0)=x(0)h(0)+x(1)h(6-1)+x(2)h(6-2)+x(3)h(6-3)+x(4)h(6-4)+x(5)h(6-5)=2

…….…….N=6循環(huán)卷積計(jì)算循環(huán)卷積y(1)=x(0)h(1)+x(1)h(6-2)+x(2)h(6-3)+x(3)h(6-4)+x(4)h(6-5)+x(5)h(6-6)=3y(n)={2,3,4,3,2,2}y(2)=4y(3)=3y(4)=2y(5)=20≤n

≤5

解：作業(yè)循環(huán)卷積計(jì)算

將序列用集合方式進(jìn)行表示：線性卷積的不進(jìn)位乘法循環(huán)卷積計(jì)算

循環(huán)卷積定理時(shí)域循環(huán)卷積定理

如果則

循環(huán)卷積定理時(shí)域循環(huán)卷積定理

由于所以

即：循環(huán)卷積亦滿足交換律

循環(huán)卷積定理頻域循環(huán)卷積定理

如果

則

解：例3.5循環(huán)卷積定理

循環(huán)卷積計(jì)算

卷積定理傅里葉變換時(shí)域卷積定理離散傅里葉變換時(shí)域卷積定理傅里葉變換頻域卷積定理離散傅里葉變換頻域卷積定理DTFT共軛對(duì)稱性一個(gè)域的共軛對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的翻轉(zhuǎn)共軛。結(jié)論一個(gè)域的實(shí)部對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的共軛對(duì)稱分量實(shí)部的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性。結(jié)論一個(gè)域的虛部對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的共軛反對(duì)稱分量虛部的傅里葉變換具有共軛反對(duì)稱性。結(jié)論

設(shè)

x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列，長度為N

則

且

X(N)=X(0)復(fù)共軛序列的DFT

證明：

0≤k≤N-1

同理：

離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性(a)將序列分解成循環(huán)共軛對(duì)稱部分與循環(huán)共軛反對(duì)稱部分討論:

其中：循環(huán)共軛對(duì)稱序列循環(huán)共軛反對(duì)稱序列離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性

循環(huán)共軛對(duì)稱分量循環(huán)共軛反對(duì)稱分量離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性

(b)將序列

分解成實(shí)部和虛部離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性

討論:

離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性DFTDFT

DFT

DFT

DFT

DFT共軛對(duì)稱性DTFT共軛對(duì)稱性

DFT

DFT

DFT

DFT

DFT

FTFT

FT

FT

FT離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性

利用DFT的共軛對(duì)稱性，通過計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)DFT，可以得到兩個(gè)不同實(shí)序列的N點(diǎn)DFT。

設(shè)x1(n)和x2(n)為兩個(gè)實(shí)序列,構(gòu)造x(n)=x1(n)+jx2(n)

Xep(k)=DFT［x1(n)］

所以

X1(k)=DFT［x1(n)］=1/2［X(k)+X*(N﹣k)］

X2(k)=DFT［x2(n)］=﹣j1/2［X(k)﹣X*(N﹣k)］=1/2［X(k)+X*(N﹣k)］

Xop(k)=DFT［jx2(n)］=1/2［X(k)-X*(N﹣k)］

利用DFT的共軛對(duì)稱性，可以通過計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)DFT，得到兩個(gè)不同實(shí)序列的N點(diǎn)DFT，從而簡化計(jì)算量。X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)

離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性

例3.6，

已知

離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性

例3.6，

已知

小結(jié)，DFT定義DFT與FT和ZT的關(guān)系

DFT的性質(zhì)

隱含周