《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》（曾慧平）教案 第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 3.4曲率

課題曲率課時(shí)1課時(shí)（45min）第26課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）理解曲率的概念。（2）掌握曲率的計(jì)算公式。（3）掌握曲率圓和曲率半徑的計(jì)算。素質(zhì)目標(biāo)：（1）培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力．（2）培養(yǎng)觀察能力、空間想象能力、分析與解決問題能力、數(shù)學(xué)思維能力．（3）養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：曲率的概念和計(jì)算公式教學(xué)難點(diǎn)：曲率圓和曲率半徑的計(jì)算教學(xué)方法講練結(jié)合法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)→→→傳授新知（18min）→解題技巧歸納（5min）→強(qiáng)化訓(xùn)練（10min）→課堂小結(jié)（3min）→布置作業(yè)教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，完成課前任務(wù)請(qǐng)大家預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容?！緦W(xué)生】完成課前任務(wù)通過課前任務(wù)，使學(xué)生了解所學(xué)課知識(shí)的重要性，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣考勤（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到，清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況問題導(dǎo)入（2min）【教師】提出以下問題：回憶二階求導(dǎo)的方法與計(jì)算公式？【學(xué)生】思考、舉手回答通過問題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（24min）【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)3.4.1曲率的概念與曲率的計(jì)算公式知識(shí)點(diǎn)曲率的概念?【教師】介紹曲率的定義如圖3-11所示，設(shè)，B是光滑曲線上的兩點(diǎn)，弧段的長(zhǎng)度為，曲線在點(diǎn)處的切線傾斜角為，在點(diǎn)B處的切線傾斜角為．當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，切線轉(zhuǎn)過的角度為．我們用比值（即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度）來表達(dá)弧段的平均彎曲程度．圖3-11記，稱為弧段的平均曲率．記，稱為曲線在點(diǎn)處的曲率．在存在的條件下，也可以表示為．此式說明曲線在點(diǎn)A處的曲率可表示為轉(zhuǎn)角微分與弧微分之比，其中弧微分．?【學(xué)生】聆聽、理解?【教師】講解例題圖3-12例1如圖3-12所示，設(shè)點(diǎn)為半徑為的圓上的任意兩點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線所夾的角為，求該圓在各點(diǎn)處的曲率．圖3-12知識(shí)點(diǎn)曲率的計(jì)算公式?【教師】介紹曲率的計(jì)算公式設(shè)曲線的函數(shù)為，且具有二階導(dǎo)數(shù)．因?yàn)?，上式兩邊取微分得，所以．已知，從而得曲率的?jì)算公式，即．?【學(xué)生】聆聽、理解、記憶公式?【教師】講解例題例2計(jì)算雙曲線在點(diǎn)處的曲率．?【學(xué)生】聆聽、理解、演算3.4.2曲率圓與曲率半徑知識(shí)點(diǎn)曲率圓與曲率中心?【教師】介紹曲率圓與曲率中心的定義如圖3-13所示，設(shè)曲線在點(diǎn)處的曲率為()．在點(diǎn)處曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點(diǎn)，使．以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，這個(gè)圓稱為曲線在點(diǎn)M處的曲率圓，曲率圓的圓心稱為曲線在點(diǎn)處的曲率中心，曲率圓的半徑稱為曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．曲線在點(diǎn)處的曲率()與曲線在點(diǎn)處的曲率半徑有如下關(guān)系：．圖3-13?【學(xué)生】聆聽、理解?【教師】講解例題圖3-14例3如圖3-14所示，設(shè)工件內(nèi)表面的截線為拋物線．現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面，問選用砂輪的直徑為多大時(shí)才比較合適？圖3-14【學(xué)生】聆聽、思考、演算、對(duì)比演算步驟和結(jié)果通過教師講解和例題分析，使學(xué)生理解曲率的概念并理解曲率圓與曲率半徑的幾何意義，掌握實(shí)際問題中求曲線的長(zhǎng)度解題技巧歸納（5min）【教師】提煉知識(shí)1．．2．以“曲”代“直”的思路【學(xué)生】聆聽，記筆記通過提煉知識(shí)點(diǎn)有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的高效性強(qiáng)化練習(xí)（10min）【教師】通過APP發(fā)送強(qiáng)化練習(xí)作業(yè)題，并點(diǎn)名部分學(xué)生進(jìn)行板演1．求下列曲線在指定點(diǎn)處的曲率和曲率半徑．（1）在點(diǎn)處； （2）在點(diǎn)處．2．曲線上哪一點(diǎn)處的曲率半徑最?。壳蟪鲈擖c(diǎn)處的曲率半徑．3．設(shè)工件內(nèi)表面的截線為拋物線，用砂輪磨削其內(nèi)表面，問應(yīng)選用多大直徑的砂輪可得到較好的磨削結(jié)果？對(duì)比自己的計(jì)算結(jié)果，查找易錯(cuò)點(diǎn)，提升解題水平通過強(qiáng)化練習(xí)，使學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，并以學(xué)生為主體，針對(duì)學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)其他學(xué)生掌握知識(shí)課堂小結(jié)（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了曲率的概念和計(jì)算公式，曲率圓與曲率半徑的定義及計(jì)算。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固課上所學(xué)知識(shí)，能夠熟練掌握曲率圓和曲率半徑的計(jì)算。【學(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固學(xué)生對(duì)曲率相關(guān)知識(shí)的印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)完成教材中小節(jié)作業(yè)3.4中與本課相關(guān)的習(xí)題本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進(jìn)行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后任務(wù)通過課后作業(yè)復(fù)習(xí)鞏固學(xué)到