薄壁箱梁空間計算的板梁單元法

薄壁箱梁空間計算的板梁單元法

0采用設(shè)置箱梁補償原理構(gòu)造箱梁板件由于薄板結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)通常必須承受雙向彎曲和扭轉(zhuǎn)，所以有必要產(chǎn)生雙向彎曲、畸變、變形和彎曲滯后。用一般方法,如廣義坐標法、彈性地基梁比擬法及一般的有限元法等計算薄壁箱梁結(jié)構(gòu)撓曲、扭轉(zhuǎn)、畸變和剪力滯后都是比較復雜和繁冗的。1949年符拉索夫提出了對平板圍成的閉口截面桿件考慮截面外形輪廓線變形的約束扭轉(zhuǎn)理論的廣義坐標法,這也是當今計算閉口截面薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)的主要方法。但這一方法要求箱梁截面雙軸對稱,并且不能考慮箱梁頂板與底板的懸臂作用。在70年代,我國著名橋梁專家李國豪院士提出了箱梁撓曲、扭轉(zhuǎn)有限元法,該方法按扭轉(zhuǎn)中心確定扭轉(zhuǎn)翹曲變形沿箱梁橫截面的分布,當箱梁橫截面不是雙軸對稱時,這與A.A.烏曼斯基薄壁結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)理論不符,畸變中心計算列式的物理意義也不夠明確。文獻提出了單室箱梁扭轉(zhuǎn)和截面畸變計算的彈性地基梁相似法,該方法提出了計算畸變的良好思路,但其截面畸變翹曲慣性矩JⅡ按扭轉(zhuǎn)中心計算似乎不妥。另外多室箱梁剪切中心和畸變中心的計算都是比較煩瑣的,給工程應(yīng)用帶來了諸多不便。本文根據(jù)箱梁力學行為為梁特征的特點,將圍成閉口截面箱梁的板件視為板梁,即相當于箱梁梁段子單元。這種方法不管箱梁是單室還是多室都可用板梁子單元組拼形成箱梁梁段單元。本文提出的計算方法不需計算箱梁的剪切中心和畸變中心,且計算思路與方法較簡潔,物理概念明確,自由度較少,計算精度較高,可用于大型多室箱梁結(jié)構(gòu)的空間計算分析。1箱梁截面位移參數(shù)為了說明問題的方便,本節(jié)將以單室箱梁為例給出其位移模式。如圖1(b)所示,對于單室箱梁,其截面位移參數(shù)為四個角點的縱向位移wul、wuR、wll、wlR,箱梁頂板、底板的橫向位移uu、ul及左、右上角的豎向位移vl、vR,為了考慮箱梁頂板的剪力滯后,還須在箱梁頂板增加軸向非均勻變形f1sin((x+bu2)πbu)+f2sin((3x+bu2)πbu)[4?5],這樣整個箱梁截面具有特征的變形參數(shù)共有10個。若把箱梁梁段單元作為一個整體單元考慮,用10個截面位移參數(shù)來描述箱梁兩個方向的撓曲、扭轉(zhuǎn)、畸變和剪力滯后,這給選擇位移函數(shù)帶來一定的困難。由于組成薄壁箱梁的各板件共同受力的結(jié)果,箱梁的應(yīng)力主要是以梁的應(yīng)力特征反映出來,這也說明組成箱梁的各板件是以梁的力學行為為特征的。因此可將箱梁的各板件劃分為板梁子單元。這樣就很方便地用10個截面位移參數(shù)來描述箱梁兩個方向的撓曲、扭轉(zhuǎn)、畸變及剪力滯后。對于組成箱梁的各板梁子單元,其橫向和豎向位移模式在縱向采用三次多項式、扭轉(zhuǎn)變位和軸向均勻與非均勻縱向變位均采用一次多項式。圖2給出了箱梁頂板子單元的坐標布置圖。對頂板橫向位移uuc=[Ν(z)]{δuu}豎向位移vuc=[Ν(z)]{δvu}縱向位移wuc=[Μ(z)]{δwu}+[Μ(z)]sin((x+bu2)πbu){δf1}+[Μ(z)]sin((3x+bu2)πbu){δf2}扭轉(zhuǎn)位移φu=[Ν(z)]{δφu}}(1)式中,[N(z)]=[N1(z)N2(z)N3(z)N4(z)];Ν1(z)=1-3(zl)2+2(zl)3;Ν2(z)=z-2z2l+z3l2;Ν3(z)=3(zl)2-2(zl)3;Ν4(z)=-z2l+z3l2;[M(z)]=[M1(z)M2(z)];Μ1(z)=1-zl;Μ2(z)=zl;{δuu}e=[uuciuuci′uucjuucj′]Τ;{δvu}e=[vucivuci′vucjvucj′]Τ;{δwu}e=[wuciuucj]Τ;{δf1}=[f1if1j]Τ;{δf2}=[f2if2j]Τ;{δφu}e=[φuiφuj]Τ上述式中,{δuu}、{δvu}、{δwu}、{δφu}指箱梁頂板板梁子單元質(zhì)心處橫向變位、豎向變位、軸向均勻變位及扭轉(zhuǎn)變位的節(jié)點位移參數(shù),{δf1}、{δf2}為考慮箱梁頂板剪滯效應(yīng)而增加的非均勻變形的正弦波峰值。對底板ulc=[Ν(z)]{δul}vlc=[Ν(z)]{δvl}wlc=[Μ(z)]{δwl}φl=[Μ(z)]{δφl}}(2){δul}=[ulciulci′ulcjulcj′]Τ{δvl}=[vlcivlci′vlcjvlcj′]Τ{δwl}=[wlciwlcj]Τ{δφl}=[φliφlj]Τ右腹板ufR=[Ν(z)]{δufR}vfR=[Ν(z)]{δvfR}wfR=[Μ(z)]{δwfR}φfR=[Μ(z)]{δφfR}}(3){δufR}=[ufRiufRi′ufRjufRj′]Τ{δvfR}=[vfRivfRi′vfRjvfRj′]Τ{δwfR}=[wfRiwfRj]Τ{δφfR}=[φfRiφfRj]Τ左腹板ufl=[Ν(z)]{δufl}Τvfl=[Ν(z)]{δvfl}Τwfl=[Μ(z)]{δwfl}Τφfl=[Μ(z)]{δφfl}Τ}(4){δufl}=[ufliufli′ufljuflj′]Τ{δvfl}=[vflivfli′vfljvflj′]Τ{δwfl}=[wfliwflj]Τ{δφfl}=[φfliφflj]Τ2[wlcvucvlc]本文第1節(jié)給出了箱梁截面位移參數(shù)及其板梁子單元的位移模式,為了組拼箱梁各板件的剛度矩陣,并以箱梁截面位移參數(shù)作為節(jié)點自由度,于是需要建立箱梁截面位移參數(shù)與其板梁子單元位移參數(shù)的關(guān)系。對于箱梁板件的板梁子單元,由梁單元的基本假定,不考慮板梁單元縱向纖維的擠壓,可略去箱梁板件寬度與厚度方向纖維擠壓變形,于是左腹板下部豎向位移為vlt=vl+tanα(uu-ul),右腹板下部豎向位移為vRt=vR+tanα(ul-uu)。根據(jù)組成箱梁各板件板梁子單元之間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系可得到箱梁截面位移參數(shù)與其板梁子單元位移參數(shù)關(guān)系:對頂板有{du}=Alwzujfq(5)對底板有{dl}=Bnffbxit(6)對左腹板有{dfl}=Crsvcqwd(7)對右腹板有{dfR}=Ducfqxte(8)式中{du}=[wucuucvucuuc′vuc′φuf1f2]T{dl}=[wlculcvlculc′vlc′φl]T{dfl}=[wfluflvflufl′vfl′φfl]T{dfR}=[wfRufRvfRufR′vfR′φfR]Tglozgny=[uuulvlvRwulwuRwllwlRf1f2]TA=[Aij]8×10A1,5=A1,6=12;A2,1=1;A3,3=A3,4=12;A4,5=-A4,6=1b;A5,5=A5,6=-A5,7=-A5,8=12h;A5,9=sinα1+sinα32h;A5,10=sinα2+sinα42h;A6,3=-A6,4=-1b;A7,9=A8,10=1B=[Bij]6×10B1,7=B1,8=12;B2,2=1;B3,3=A3,4=12;B4,7=-B4,8=1bl;B5,5=B5,6=-B5,7=-B5,8=12h;B5,9=sinα1+sinα32h;B5,10=sinα2+sinα42h;B6,1=-B6,2=-2btanα;B6,3=-B6,4=-1blC=[Cij]6×10C1,5=C1,7=12;C1,9=sinα12;C1,10=sinα22;C2,1=sinα;C2,3=cosα;C3,1=cos2α2cosα;C3,2=12cosα;C3,3=-sinα;C4,5=-C4,7=1hb;C4,9=sinα1hb;C4,10=sinα2hb;C5,5=12bcosα-sinαh;C5,6=-12bcosα;C5,7=12blcosα+sinαh;C5,8=-12blcosα;C5,9=-sinαsinα1h;C5,10=-sinαsinα2h;C6,1=-C6,2=1hD=[Dij]6×10D1,6=D1,8=12;D1,9=sinα32;D1,10=sinα42;D2,1=-sinα;D2,4=cosα;D3,1=-cos2α2cosα;D3,2=-12cosα;D3,4=sinα;D4,6=-D4,8=1hb;D4,9=sinα3hb;D4,10=sinα4hb;D5,5=3sin2α-cos2α2bcosα;D5,6=sinαh-3sin2α-cos2α2bcosα;D5,7=-12blcosα;D5,8=12blcosα-sinαh;D5,9=-sinαsinα3h;D5,10=-sinαsinα4h;D6,1=-D6,2=1h其余系數(shù)Ai,j、Bi,j、Ci,j、Di,j(i=1,2,…,6或8,j=1,2,…,10)為零。3[[[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]][][]][]][][][][][][]][][][]][]][]]][]][]]dz]d[][]][]][]][][][][][][]][][][]][]][]][]][][][][]][]][][][][][][][][][][][][][][][][][][π=πu+πl(wèi)+πfl+πfR-{F}eT[{di}T{dj}T]eT(9)式中,πu、πl(wèi)、πfl及πfR分別為薄壁箱梁單元頂板板梁、底板板梁、左腹板板梁及右腹板板梁子單元的應(yīng)變能。即πu=12∫ΩuE([Μ′(z)]{δwuc}+sin((x+bu2)πbu)[Μ′(z)]{δf1}+sin((3x+3bu2)πbu)[Μ′(z)]{δf2}-x[Ν″(z)]{δuu}-y[Ν″(z)]{δvu})2dΩ+12∫l0GJu[Μ′(z)]{δφu}[Μ′(z)]{δφu}dz=12[{δwu}Τ{δf1}Τ{δf2}Τ{δuu}Τ{δvu}Τ][ΚΤu][{δwu}Τ{δf1}Τ{δf2}Τ{δuu}Τ{δvu}Τ]Τ+12∫l0GJu{δφu}Τ[Μ′(z)]Τ[Μ′(z)]{δφu}dz=12{du}Τ[Κu]{du}(10)式中,[KΤu]=[KΤuij];KΤu1,1=EA∫l0[M′(z)]T[M′(z)]dz;ΚΤu2,1=∫ΩuE[Μ′(z)]Τ[Μ′(z)]sin((x+bu2)πbu)dΩ;ΚΤu2,2=∫ΩuE[Μ′(z)]Τ[Μ′(z)]sin2((x+bu2)πbu)dΩ;ΚΤu3,1=∫ΩuE[Μ′(z)]Τ[Μ′(z)]sin((3x+bu2)πbu)dΩ;ΚΤu3,2=∫ΩuE[Μ′(z)]Τ[Μ′(z)]sin((x+bu2)πbu)?sin((3x+bu2)πbu)dΩ；ΚΤu3,3=∫ΩuE[Μ′(z)]Τ[Μ′(z)]sin2((3x+bu2)πbu)dΩ；KΤu4,4=EIuy∫l0[N″(z)]T[N″(z)]dz;KΤu5,5=EIux∫l0[N″(z)]T[N″(z)]dz;而[Ku]是由[KΤu]和箱梁頂板扭轉(zhuǎn)剛度矩陣∫l0GJu[M′(z)]T[M′(z)]dz疊加后再按自由度{du}編號重排后而得到的。πl(wèi)=12∫l0EΙlx[Ν″(z)]{δul}[Ν″(z)]{δul}dz+12∫l0EΙly[Ν″(z)]{δvl}[Ν″(z)]{δvl}dz+12∫l0GJl[Μ′(z)]{δφl}[Μ′(z)]{δφl}dz+12∫l0EA[Μ′(z)]{δwlc}[Μ′(z)]{δwlc}dzπfl=12∫l0EΙflx[Ν″(z)]{δufl}[Ν″(z)]{δufl}dz+12∫l0EΙfly[Ν″(z)]{δvfl}[Ν″(z)]{δvfl}dz+12∫l0GJfl[Μ′(z)]{δφfl}[Μ′(z)]{δφfl}dz+12∫l0EA[Μ′(z)]{δwfl}[Μ′(z)]{δwfl}dzπfR=12∫l0EΙfRx[Ν″(z)]{δufR}[Ν″(z)]{δufR}dz+12∫l0EΙfRy[Ν″(z)]{δvfR}[Ν″(z)]{δvfR}dz+12∫l0GJfR[Μ′(z)]{δφfR}Τ[Μ′(z)]{δφfR}Τdz+12∫l0EA[Μ′(z)]{δwfR}Τ[Μ′(z)]{δwfR}Τdz其中,E、G分別為箱梁的彈性模量和剪切模量,Iux、Iuy、Ilx、Ily、Iflx、Ifly、IfRx、IfRy分別為箱梁頂板、底板、左腹板、右腹板其相應(yīng)的局部坐標x軸和y軸的慣性矩,Ju、Jl、Jfl、JfR分別為其相應(yīng)的扭轉(zhuǎn)慣性矩。將πu、πl(wèi)、πfl、πfR代入式(9),再根據(jù)變分原理有([A00A]Τ[Κu][A00A]+[B00B]Τ[Κl][B00B]+[C00C]Τ[Κfl][C00C]+[D00D]Τ[ΚfR][D00D])?{{di}{dj}}={F}e(11)式中,[Ku]、[Kl]、[Kfl]、[KfR]分別為箱梁頂板、底板、左腹板及右腹板子單元的單元剛度矩陣,除[Ku]外,這些子單元剛度矩陣與普通空間梁單元剛度矩陣形式相同。其剛度矩陣形式可參閱有關(guān)結(jié)構(gòu)力學和有限元方面的書籍,但要注意繞各板局部坐標轉(zhuǎn)角與橫向、豎向位移一階導數(shù)的關(guān)系及自由度排列序號。令{δ}=[{di}Τ{dj}Τ]Τ[Κe]=[A00A]Τ[Κu][A00A]+[B00B]Τ[Κl][B00B]+[C00C]Τ[Κfl][C00C]+[D00D]Τ[ΚfR][D00D]式(11)變?yōu)閇K]e{δ}e={F}e(12)4橫向部結(jié)構(gòu)變位本文第3節(jié)式(12)是箱梁單元的平衡方程,而對整個箱梁結(jié)構(gòu)計算就需要考慮橫隔板的作用。箱梁結(jié)構(gòu)中設(shè)置橫隔板主要是抵抗箱梁橫截面畸變。設(shè)箱梁畸變角為γ,由圖1(b)變位模式有γ=uu-ulh-12bl[vR+vR+tanα(ul-uu)]-[vl+vl+tanα(uu-ul)]=(1h+tanαbl)(uu-ul)-1bl(vR-vl)(13)又設(shè)橫隔板抗剪剛度為Rd(橫隔板頂點產(chǎn)生單位側(cè)向水平位移時作用于頂點的橫向水平力),則產(chǎn)生畸變角γ的剪切力為Rdγh,如圖3,橫隔板剪切變形應(yīng)變能πRd等于剪切力所做之功,則圖3橫隔板畸變示意πRd=12Rdh2γ2=12Rdh2((1h+tanα1bl)-1bl(vR-vl))2(14)對式(14)進行變分有δπRd=Rdh2((1h+tanα1bl)(uu-ul)-1bl(vR-vl))?((1h+tanα1bl)(δuu-δul)-1bl(δvR-δvl))(15)在對箱梁結(jié)構(gòu)進行有限元離散時,盡可能將橫隔板位置劃分到箱梁截面節(jié)點位置,否則還需根據(jù)箱梁中板梁子單元的變位關(guān)系來確定橫隔板位置處的uu、ul、vR、vl。為了使問題變得簡單,設(shè)橫隔板在箱梁i截面節(jié)點處,則式(15)可寫成δπRd=Rdh2?((1h+tanα1bl)(uui-uli)-1bl(vRi-vli))?((1h+tanα1bl)(δuui-δuli)-1bl(δvRi-δvli))=Rdh2[δu