拓展專題3極值點偏移問題（學(xué)生版）

拓展專題3極值點偏移問題極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對稱性，極值點偏移問題常出現(xiàn)在高考壓軸題中，這類問題往往思維要求高，過程較為繁瑣，計算量較大，學(xué)生往往寫幾步就寫不下去了，實際上解決極值點偏移問題，有三大法寶：其一是：構(gòu)造極值對稱差函數(shù)法；其二是：消元構(gòu)造一元函數(shù)法；其三是：利用指數(shù)、對數(shù)平均不等式。三者各有千秋，獨具各色.極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對稱性，極值點偏移問題常出現(xiàn)在高考壓軸題中，這類問題往往思維要求高，過程較為繁瑣，計算量較大，學(xué)生往往寫幾步就寫不下去了，實際上解決極值點偏移問題，有三大法寶：其一是：構(gòu)造極值對稱差函數(shù)法；其二是：消元構(gòu)造一元函數(shù)法；其三是：利用指數(shù)、對數(shù)平均不等式。三者各有千秋，獨具各色.——江蘇省清江中學(xué)高級教師崔緒春探究1：構(gòu)造極值對稱差函數(shù)【典例剖析】例1.(2022·江蘇省連云港市期末)已知函數(shù)f(x)=lnx+2ax(1)若a=2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)有兩個不相等的零點x1，x2，證明：選題意圖:選題意圖:極值點偏移問題，以導(dǎo)數(shù)為背景，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，思維跨度大、問題多變的特點.構(gòu)造對稱差函數(shù)是解決此類問題的常見方法，本題第（2）問采用該方法，幫助梳理思路并掌握解題方法.思維引導(dǎo)：第（2）問結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，得到零點x1,x2的范圍；分析要證不等式x1+x【變式訓(xùn)練】練11(2022·江西省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ln(1)證明：f(x+1)≤x.(2)若函數(shù)h(x)=2xf(x)，若存在x1<x2使練12(2022·山東省模擬)已知函數(shù)f(x)=2ex+ax-1．

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)從下列兩個選項中任選一個求解：

①當(dāng)a=3時，設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+x3-x2，若x1+x【規(guī)律方法】構(gòu)造對稱差函數(shù)是極值點偏移問題的一種通性解法,主要用來解決兩數(shù)和或者積與極值點相關(guān)的不等式證明問題.對于此類問題一般的求解思路是將兩個變量分到不等式的兩側(cè),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,通過兩個變量之間的關(guān)系“減元”,建立新函數(shù),最終將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性來求解.例：已知函數(shù)fx滿足fx1=fx2(x1<x2),求證:x1+x2>2x0

(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,求出極值點,確定x1<x0<x2;

(2)構(gòu)造函gx=fx-f2x0-x,x<x0,注意gx0=0;

(3)求函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x),確定g(x)在x<探究2：消元構(gòu)造一元函數(shù)【典例剖析】例2.(2022·遼寧省沈陽市月考)已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx在定義域內(nèi)有兩個不同的零點x=1\*GB3①求a的取值范圍；=2\*GB3②證明：x1+x2選題意圖選題意圖：極值點偏移問題，有時構(gòu)造對稱差函數(shù)涉及極限問題，該題可考慮消參減元，其中比差值換元是另一常見的方法，構(gòu)造一元函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性.數(shù)，思維引導(dǎo)：第=2\*GB3②問，通過fx1=0,fx2=0消去待證不等式中的參數(shù)a，變形使不等式中出現(xiàn)x1x【變式訓(xùn)練】練21(2022·廣東省聯(lián)考)已知f(x)=-12x(1)若函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為1，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知h(x)=f(x)-g(x)的兩個零點為x1，x2(x1<x練22(2022·重慶市模擬)x1和x2是關(guān)于x(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若x2-x【規(guī)律方法】消元構(gòu)造一元函數(shù)是解決極值點偏移的另一種簡單快捷的方法.利用兩數(shù)之比(差)作為變量t,繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)問題求解,將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題,從而實現(xiàn)消元的目的.例：已知函數(shù)fx=ex-ax有兩個零點分別為x1,x2,若a∈e,+∞,定關(guān)系：利用方程的結(jié)構(gòu)特點消去參數(shù)，建立x1,x換元：引入新變量t=x2x1,證明x1+x2>2構(gòu)造函數(shù)求解：構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)，ht=lnt-2t-1t+1，探究3：利用對數(shù)平均不等式【典例剖析】例3.(2021·江西省南昌市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ln2x-x+mlnx有兩個極值點x1，x2.

(1)選題意圖選題意圖：應(yīng)用對數(shù)平均不等式鏈來證明雙變量不等式，思路簡捷，但要注意先證后用，根據(jù)證明需要合理選取其中一個，完成證明.思維引導(dǎo)：第（2）問給出了2種解法，方法一證明不等式x1-x2【變式訓(xùn)練】練31(2021·四川省成都市模擬)已知函數(shù)f(x)=2x-alnx+4a，(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)令g(x)=f(x)-sinx，若存在x1,x2∈(0,+∞)練32(2021·廣東省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=(a+2)lnx+2x-ax(a∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a<-2時，若x1，x2【規(guī)律方法】對數(shù)平均不等式能有效解決含有fx1兩正數(shù)a,b的對數(shù)平均定義是L(a,b)=a-blna-lnb,a≠ba,a=bab≤L(a,b)≤a+b2當(dāng)a=b時，不等式成立；當(dāng)a≠b時，不妨令a>b=1\*GB2⑴La,b≤a+b2?lna-lnb>2a-ba+b?ln=2\*GB2