微專題三將軍飲馬模型（教師版）

微專題三將軍飲馬模型模型將軍飲馬模型如圖，A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，求在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小。該種題型一般可以做A點(diǎn)或B點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，或，連接或，或交直線l于點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小?！镜淅?】如圖，牧童在離河邊3km的A處牧馬，小屋位于他南6km東9km的B處，他想把他的馬牽到河邊飲水，然后回小屋．他要完成此過程所走的最短路程是多少？并在圖中畫出飲水C所在在位置（保留作圖痕跡）．【答案】最短路程是；畫圖見解析．【分析】先作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．【詳解】解：如圖，作出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)是馬飲水的位置，根據(jù)對稱性可得，,則，∴，由已知得，，，在中，由勾股定理求得，即，答：他要完成這件事情所走的最短路程是，飲水所在位置．【典例2】如圖，在一條東西向的馬路上有廣場A和醫(yī)院C，在各自正北方向上分別有汽車站B和汽車站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在馬路AC段之間建造一個加油站P．（1）若要使得加油站P到兩汽車站的距離之和最小，請用尺規(guī)作圖在圖1中作出加油站P的位置，并直接寫出此時的最小值．（作圖請保留痕跡，結(jié)果可以保留根號）（2）若要使得加油站到兩汽車站的距離相等，請用尺規(guī)作圖在圖2中作出加油站P的位置，并求出此時PA的距離．（作圖請保留痕跡）【答案】（1）圖見解析，km；（2）圖見解析，km．【分析】（1）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，連接DB′交AC于點(diǎn)P，連接PB，此時PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值；（2）連接BD，作線段BD的垂直平分線交AC于點(diǎn)P，連接PB，PD，點(diǎn)P即為所求，設(shè)PA＝xkm，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖1中，點(diǎn)P即為所求．過點(diǎn)D作DE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E．則四邊形ACDE是矩形，∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km），∵AB＝AB′＝4km，∴EB′＝AE+AB′＝12（km），∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）．（2）如圖2中，點(diǎn)P即為所求，設(shè)PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km，∵∠A＝∠C＝90°，在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD，∴42+x2＝82+（14﹣x）2，解得x＝∴AP＝（km）．模型提分訓(xùn)練模型提分訓(xùn)練一、單選題1．已知線段AB及直線l，在直線上確定一點(diǎn)，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問題．【詳解】解：∵點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，∴作B點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)B'，連接AB'與l的交點(diǎn)為P，由對稱性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′為最小故選：C．2．如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，若AE＝2，則EM＋CM的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．4【答案】C【分析】連接BE，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EF⊥BC交于點(diǎn)F，此時EM＋CM的值最小，求出BE即可．【詳解】解：連接BE，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EF⊥BC交于點(diǎn)F，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴B點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于AD對稱，∴BM＝CM，∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此時EM＋CM的值最小，∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，∴FC＝2，EF＝2，在Rt△BEF中，BF＝4，∴BE＝2，故選：C．3．如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線DE分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，若△AEC的周長是14，則直線DE上任意一點(diǎn)到A、C距離和最小為（）A．28 B．18 C．10 D．7【答案】C【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，B和C關(guān)于直線DE對稱，EB=EC，因此E點(diǎn)就是DE上到A、C距離和最小的點(diǎn)，由△AEC的周長可求．【詳解】解：∵DE是BC的中垂線，∴BE=EC，B和C關(guān)于直線DE對稱∴E點(diǎn)就是DE上到A、C距離和最小的點(diǎn)，∵AB=EB+AE=CE+EA，△ACE的周長為14，∴AB=14﹣4=10，即直線DE上任意一點(diǎn)到A、C距離和最小為10．故選C．二、填空題4．如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個動點(diǎn)，E是中點(diǎn)，則的最小值為_________．【答案】6【分析】連接BE交AD于M，則BE就是EM+CM的最小值，通過等腰三角形的“三線合一”，可得BE=AD即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接BE，與AD交于點(diǎn)M．∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴B、C關(guān)于AD對稱，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，AD是中線∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．5．如圖，是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，P是AD上的一個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為______．【答案】30°【分析】連接BP，由等邊三角形的性質(zhì)可知AD為BC的垂直平分線，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周長最小，即P點(diǎn)為BE與AD的交點(diǎn)時．最后根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，即得出CP平分，從而可求出．【詳解】如圖連接BP．∵為等邊三角形，∴AD為BC的垂直平分線，∴BP=CP，∵△PCE的周長=PE+CP+CE=PE+BP+CE，∴當(dāng)PE+BP最小時，△PCE的周長最小，∵PE+BP最小時為BE的長，即此時BE與AD的交點(diǎn)為P，如圖．又∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，AD為高，為等邊三角形，∴P點(diǎn)即為等邊角平分線的交點(diǎn)，∴CP平分，∴．故答案為：6．如圖，正△ABC的邊長為2，過點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，D為線段BC′上一動點(diǎn)，則AD+CD的最小值是_____．【答案】4【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，證明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=B+AB=4．【詳解】解：如圖，連接D，∵正△ABC的邊長為2，△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，∴∠CB=60°，∴∠CB=∠B，∵BD=BD，∴△CBD≌△BD，∴CD=D，∴AD+CD=D+CD，∴當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=B+AB=4，故答案為：4．．7．如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個動點(diǎn)，的面積為12，，則周長的最小值是_______________．【答案】8【分析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，故當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時，AM+DM最小，即為AD，由此再根據(jù)三線合一定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AM=BM，∴△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，∴當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時，AM+DM最小，即為AD，∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周長最小值=AD+BD=8，故答案為：8．8．如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路徑是_______km．【答案】17【分析】如圖（見詳解），將小河看成直線MN，由題意先作A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，連接A`B，構(gòu)建直角三角形，則A`B就是最短路線；在Rt△A`DB中，∠A`DB=90°，BD=8km，A`D=AD+A`A，利用勾股定理即可求出A`B．【詳解】如圖，做出點(diǎn)A關(guān)于小河MN的對稱點(diǎn)A`，連接A`B交MN于點(diǎn)P，則A`B就是牧童要完成這件事情所走的最短路程長度．在Rt△A`DB中，由勾股定理求得．則他要完成這件事情所走的最短路程是17km．三、解答題9．如圖，在銳角∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，試在∠AOB的兩邊上各取一點(diǎn)M，N，使得△PMN的周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡）【答案】見詳解【分析】作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，N，△PMN即為所求求作三角形．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，PN，△PMN即為所求作三角形．理由：由軸對稱的性質(zhì)得MP＝ME，NP＝NF，∴△PMN的周長＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時△PP1P2的周長最短．10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底邊BC上的中線，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)．（1）在AD上找一點(diǎn)E，使得PE+EB的值最??；（2）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，當(dāng)∠BPE滿足什么條件時，△ABC是等邊三角形，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）∠BPE=90°，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AD垂直平分BC，再根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短的性質(zhì)，連接CP交AD于點(diǎn)E，并連接BE，即可得解；（2）因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，要使△ABC是等邊三角形，則需BC=AB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，所以CP⊥AB，即∠BPE=90°．【詳解】解：（1）如圖，連接CP交AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求；（2）∠BPE=90°，理由如下：∵∠BPE=90°∴CP⊥AB，∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，∴CP垂直平分AB∴CA=CB∵AB=AC∴AB=AC=BC∴△ABC是等邊三角形11．如圖，鐵路上、兩站相距8km，、為兩個村莊，，，垂足分別為、，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上修建一個中轉(zhuǎn)站，使得到、兩村的距離和最短．請?jiān)趫D中畫出點(diǎn)的位置，并求出的最小值．【答案】圖見解析，【分析】根據(jù)軸對稱求最短路線作出C點(diǎn)對稱點(diǎn)C′，連接C′D即可得出P點(diǎn)位置，再利用勾股定理得出C′D即為收購站P到C、D兩村莊的距離和最小值．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接與的交點(diǎn)就是點(diǎn)過作的延長線于點(diǎn)則，∴在中

∴∴的最小值為．12．如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，，求周長的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)求得的度數(shù)，繼而求得；（2）利用最短路線模型計(jì)算即可；【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時，的周長最小，理由：∵，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時，，此時最小值等于的長，∴的周長最小值為．13．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，點(diǎn)P為AC邊上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，求PB+PD的最小值．請?jiān)跈M線上補(bǔ)充其推理過程或理由．解：如圖2，延長BC到點(diǎn)B′，使得BC＝B′C，連接PB′∵∠ACB＝90°（已知）∴（垂直的定義）∴PB＝（線段垂直平分線的性質(zhì)）∴PB+PD＝PB′+PD（等式性質(zhì)）∴過點(diǎn)B′作B′D⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)P，此時PB+PD取最小值，連接AB′，在△ABC和△AB′C中，∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°，∴△ABC≌△AB′C（理由：）∴S△ABB′＝S△ABC+＝2S△ABC（全等三角形面積相等）∵S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48∴（同一三角形面積相等）∴B′D＝∴【答案】AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；AB?B′D＝48；PB+PD的最小值為【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′D⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，此時PB+PD有最小值，連接AB′，根據(jù)對稱性的性質(zhì)，BP=B′P，證明△ABC≌△AB′C，根據(jù)S△ABB′=S△ABC+S△AB′C=2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值．【詳解】解：如圖2，延長BC到點(diǎn)B′，使得BC=B′C，連接PB′，∵∠ACB=90°（已知），∴AC⊥BB'（垂直的定義），∴PB=PB'（線段垂直平分線的性質(zhì)），∴PB+PD=PB′+PD（等式性質(zhì)），∴過點(diǎn)B′作B′D⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)P，此時PB+PD取最小值，連接AB′．在△ABC和△AB′C中，∵AC=AC，∠ACB=∠ACB′=90°，BC=B′C，∴△ABC≌△AB′C（理由：SAS），∴SABB′=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC（全等三角形面積相等），∵S△ABB′=×AB×B'D=×10×B′D=5B′D，又∵S△ABB′=2S△ABC=2××BC×AC=2××6×8=48，∴

AB?B′D＝48（同一三角形面積相等），∴B′D=，∴PB+PD的最小值為．故答案為：AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；AB?B′D＝48；PB+PD的最小值為．14．已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．（1）如圖1、2，若點(diǎn)D是CB上一點(diǎn)，且CD＝3，點(diǎn)E是AB上的動點(diǎn)，將△DBE沿DE對折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′（點(diǎn)B′和點(diǎn)C在直線AB的異側(cè)），DB′與AB交于點(diǎn)H．①當(dāng)∠B′EA＝20°時，求∠EDB的度數(shù)．②當(dāng)△B′HE是等腰三角形時，求∠DEB的度數(shù)．（2）如圖2，若點(diǎn)D是CB上一點(diǎn)，且CD＝3，M是線段AC上的動點(diǎn)，以∠MDN為直角構(gòu)造等腰直角△DMN（D，M，N三點(diǎn)順時針方向排列），在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，直接寫出CN+NB的最小值．【答案】（1）①50°；②105°或127.5°；（2）3．【分析】（1）①由題意利用翻折變換的性質(zhì)求出∠DEB，可得結(jié)論；②根據(jù)題意分三種情形，利用翻折變換的性質(zhì)分別求出∠DEB即可；（2）根據(jù)題意連接CN，BN，過點(diǎn)N作直線l⊥AC，BT⊥CB于點(diǎn)T，作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)Q，連接BQ．證明△DCM≌△N