第11章 方程與方程組的數(shù)值解

2023/11/14方程與方程（組）的數(shù)值求解吳鵬（rocwoods）rocwoods@126.comMATLAB從零到進階2023/11/14主要內(nèi)容概述MATLAB求解方程(組)的函數(shù)及其用法應(yīng)用擴展2023/11/14第一節(jié)概述2023/11/14

非線性方程種類繁多，大體可以分為多項式非線性方程和其他非線性方程。MATLAB中和求解方程有關(guān)的函數(shù)(運算符)有solve,/,\,fzero,roots,fsolve等。其中，solve是符號求解方程(組)，在符號計算章節(jié)已經(jīng)介紹了。/,\(右除和左除)是求解線性方程(組)，fzero是求解一元非線性方程，roots是求多項式方程的根，fsolve是求解非線性方程組。注意函數(shù)適用的范圍。

2023/11/14第二節(jié)MATLAB求解方程(組)的函數(shù)及其用法2023/11/14一、左除”\”與右除”/”

在MATLAB環(huán)境中，強烈建議使用左除”\”或者右除”/”解線性方程組

左除和右除是根據(jù)除號左側(cè)還是右側(cè)是分母而定的，方程系數(shù)矩陣在未知數(shù)左側(cè)，則用左除，反之用右除。使用左除”\”或者右除”/”的好處是因為其對線性方程(組)的廣泛適用性，當未知數(shù)個數(shù)大于方程個數(shù)的時候，左除或右除會給出方程的特解，結(jié)合null函數(shù)，可以得到通解。當未知數(shù)個數(shù)小于方程個數(shù)的時候，左除或右除會給出方程的最小二乘解。

參考書中【例11.2-1】，【例11.2-2】

2023/11/14二、fzero函數(shù)[x,fval,exitflag,output]=fzero(fun,x0,options)輸入?yún)?shù)：Fun:目標函數(shù)，簡單表達式的函數(shù)一般用匿名函數(shù)表示，復(fù)雜的用函數(shù)文件的函數(shù)句柄形式給出X0：優(yōu)化算法初始迭代解，一般根據(jù)經(jīng)驗或者猜測給出。Options:優(yōu)化參數(shù)設(shè)置。輸出參數(shù)：X:最優(yōu)解輸出（或最后迭代解）Fval:最優(yōu)解（或最后迭代解）對應(yīng)的函數(shù)值Exitflag:函數(shù)結(jié)束信息（具體參見幫助文檔）Output:函數(shù)基本信息

包括迭代次數(shù)，目標函數(shù)最大計算次數(shù)，使用的算法名稱，計算規(guī)模。參考書中【例11.2-3】多項式方程如果用fzero求解的話，需要提供初值，而且每次只能得到一個解，求得的解依賴于初值點的選取。而且如果方程含有虛根的話，fzero直接求解是無法得到的。因此MATLAB針對多項式方程專門設(shè)計了roots函數(shù)來求解。其一般調(diào)用格式如下：r=roots(c)其中輸入?yún)?shù)： c:多項式方程系數(shù)組成的行向量或者列向量，按降冪順序排列。

函數(shù)輸出參數(shù)：r:多項式方程的解向量

參考：

【例11.2-4】2023/11/14三、roots函數(shù)

[x,fval,exitflag,output,jacobian]=fsolve(fun,x0,options)其中輸入?yún)?shù)：Fun:目標函數(shù)，一般用函數(shù)句柄形式給出X0：

優(yōu)化算法初始迭代解Options:參數(shù)設(shè)置（具體設(shè)置參考幫助文檔）輸出參數(shù)：X:最優(yōu)解輸出（或最后迭代解）Fval:最優(yōu)解（或最后迭代解）對應(yīng)的函數(shù)值Exitflag:函數(shù)結(jié)束信息（具體參考幫助文檔）Output:函數(shù)基本信息

包括迭代次數(shù)，目標函數(shù)最大計算次數(shù)，使用的算法名稱，計算規(guī)模Jacobian：Jacobian矩陣（主要用來判斷是否得到有效解）

參考：

【例11.2-5】2023/11/14四、

fsolve

函數(shù)

實際問題中，許多帶參數(shù)的方程組，參數(shù)往往在程序運行中才知道具體值。參考：

【例11.2-6】2023/11/14五、含參數(shù)方程組求解2023/11/14第三節(jié)應(yīng)用擴展

“按揭”的含義及還款方式等額還款模型給定如下參數(shù)：R：月貸款利率，B：總借款額，MP：為月還款額，YE(t)為月初貸款余額，IR(t)為月利息償還額，BJ(t)為月本金償還額，t=1,…,n，n為還款期數(shù)。則根據(jù)每月還款額中的現(xiàn)金流包括支付的利息和償還的本金，月還總額一定，有如下模型：YE(t+1)=YE(t)-BJ(t)，BJ(t)=MP-IR(t)，IR(t)=YE(t)×R隨著如期繳納最后一期月供款，貸款全部還清,即YE(n)=0。2023/11/14一、等額還款模型與計算2023/11/14二、

MATLAB編程求解等額還款模型給定月還款額、還款期數(shù)、貸款總額