概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：隨機(jī)向量及其分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論部分

2第三章隨機(jī)向量及其分布§1二維隨機(jī)向量2.二維r.v.(聯(lián)合)分布函數(shù):

3若將(ξ,η)看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),則分布函數(shù)F(x,y)的值為(ξ,η)落在陰影部分的概率(如圖1)圖1圖243.分布函數(shù)的性質(zhì)(1)F(x,y)關(guān)于x和y都是不減函數(shù);F(-,y)=0,F(+,y)=?.F(x,-

)=0,F(x,+

)=?F(-

,-

)=0,F(+,+)=1(3)F(x,y)關(guān)于x右連續(xù),關(guān)于y右連續(xù).(2)0≤F(x,y)≤1;54.二維離散型和連續(xù)型r.v.

(一)二維離散型r.v.6例1.設(shè)r.v.ξ在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值,r.v.η則在1~ξ中等可能地取一整數(shù),試求(ξ,η)的分布律和分布函數(shù).作業(yè)：3.17(二)二維連續(xù)型r.v.8二維連續(xù)型r.v.(ξ,η)落在平面G上概率,就等于密度函數(shù)f(x,y)在G上的積分,這就將概率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為一個(gè)二重積分的計(jì)算了.注9作業(yè)：3.2(1),(2),(4)10§2.邊緣分布

一、邊緣分布函數(shù)：11二、邊緣分布律：12例1(續(xù))

η1234p?j

11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16

pi?ξ13三、邊緣概率密度:14作業(yè)：3.2(3),3.4(1)15§3.條件分布

一、二維離散型r.v.的情況:16

17例1.設(shè)(ξ,η)的分布律為:

ξ5713182010.080.0100.020.1420.110.100.090.010.0430.030.070.150.060.09求在ξ=2時(shí)η的條件分布律.η例2一射擊手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),射擊到擊中目標(biāo)兩次為止,設(shè)以ξ表示首次擊中目標(biāo)進(jìn)行的射擊次數(shù),以η表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù),試求ξ和η的聯(lián)合分布律和條件分布律.18二、二維連續(xù)型r.v.1920例4.設(shè)數(shù)ξ在區(qū)間(0,1)上隨機(jī)地取值,當(dāng)觀察到ξ

=x(0<x<1)時(shí),數(shù)η在區(qū)間(x,1)上隨機(jī)地取值,求η的概率密度.作業(yè)：3.2(5)(6),3.4(2),3.621求邊緣分布和條件分布。22注:由二維隨機(jī)變量(ξ,η)的聯(lián)合分布可唯一地確定ξ和η的邊緣分布；

反之,若已知ξ,η的邊緣分布,并不一定能確定它們的聯(lián)合分布.23§4.多維隨機(jī)變量242.離散型多維隨機(jī)向量25多項(xiàng)分布26273.連續(xù)型多維隨機(jī)向量282930(2)多維正態(tài)分布31特例:32§5.相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

1.定義:(1)當(dāng)n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí),由每個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)可唯一地確定聯(lián)合分布函數(shù).注(2)當(dāng)n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí),條件分布化為無條件分布.即:(3)本質(zhì)推廣332.等價(jià)定義:★.對于離散型隨機(jī)變量:★.對于連續(xù)型隨機(jī)變量:343.命題：設(shè)(ξ,η)服從二維正態(tài)分布,則X,Y相互獨(dú)立的充要條件是r=0.作業(yè)：3.5,3.8354.隨機(jī)向量的獨(dú)立性注每個(gè)隨機(jī)向量的各分量之間未必相互獨(dú)立365.進(jìn)一步的結(jié)論:37(一)對于離散型r.v.的函數(shù)的分布:設(shè)ξ1,ξ2是離散型r.v.且相互獨(dú)立,其分布律分別為:P{ξ1=i}=pi,i=0,1,2,3,…,P{ξ2=j}=qj,j=0,1,2,3,…,求η

=ξ1+ξ2的分布律.為η=ξ1+ξ2的分布律.結(jié)論§6.隨機(jī)向量的函數(shù)的分布一.和(η=ξ1+ξ2)的分布:38例設(shè)ξ1,ξ2是相互獨(dú)立的r.v.,分別服從參數(shù)為

1,2的泊松分布,試求(1)η=ξ1

+ξ2的分布律.(2)ξ1

關(guān)于η的條件分布律.39(二)連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布:已知(ξ1,ξ2)的聯(lián)合密度是f(x,y),求η=ξ1+ξ2的密度.結(jié)論40例1.設(shè)ξ1和ξ2相互獨(dú)立,且都服從N(0,1),求:η=ξ1+ξ2的分布密度.結(jié)論:41例2.設(shè)ξ1和ξ2相互獨(dú)立,分別在(0,1)、(0,2)上服從均勻分布。求:η=ξ1

+ξ2的分布密度.作業(yè)：3.11(1)42二.商(積)的分布43(四)利用“分布函數(shù)法”導(dǎo)出兩r.v.的和,商等的分布函數(shù)或密度函數(shù)的公式,其要點(diǎn)為:注意方法44三.最大（?。╇S機(jī)變量的分布45推廣46作業(yè)：3.1347例3.(書P51)48四.隨機(jī)向量的變換定理:4950以n=2為例作討論：對應(yīng)的函數(shù)方程組為：51(1)有唯一的反函數(shù)滿足：52推廣：若方程組53作業(yè)：3.17(1),3.1954第三章習(xí)題課一.主要內(nèi)容：(1)二維r.v.的分布函數(shù),離散型r.v.的聯(lián)合分布,連續(xù)型r.v.的聯(lián)合概率密度.(2)邊緣分布函數(shù);邊緣分布律;邊緣概率密度.(3)條件分布律;條件概率密度.(4)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立.(5)兩個(gè)r.v.函數(shù)的分布.二.課堂練習(xí)：551.設(shè)某人從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中依次取出兩個(gè)數(shù),記X為第一次所取出的數(shù),Y為第二次所取出的數(shù),若第一次取后不放回,求X和Y的聯(lián)合分布律.565.設(shè)離散型隨機(jī)變量X與Y的分布列分別為X0