2022年數學(百色專用)一輪復習教學案-專題6方程與不等式的實際應用

專題六方程與不等式的實際應用縱觀近五年百色中考數學試卷，方程與不等式的實際應用是每年的必考解答題型之一，一般出現(xiàn)在第24題，其中2021年第24題考查二元一次方程的實際應用；2020年、2019年第24題綜合考查二元一次方程組與一元一次方程的實際應用；2018年第24題綜合考查分式方程與一元一次方程的實際應用；2017年第24題綜合考查一次方程(組)與一元一次不等式的實際應用．解決方程與不等式的實際應用題的一般步驟：①認真審題，理解題意，弄清題中的已知量、未知量以及它們之間的關系；②設未知數(合理地選擇未知數是解題的關鍵)；③列方程(組)或不等式；④解方程(組)或不等式(注意：解分式方程時必須要有“驗根”這一步)；⑤檢驗，對所求結果進行檢驗，看是否符合題意；⑥作答．解決方程與不等式的實際應用題時，首先要認真審題，從題中找出已知量與未知量之間的關系，然后根據題意列出關系式，進而解決相關問題．在解決問題的過程中要注意方程與不等式的解是否符合題意，涉及函數要檢驗自變量的取值范圍，當題干中出現(xiàn)方案設計問題或最值問題時，往往需要根據題干中的已知條件和函數的增減性來解決方案設計或最值問題．一次方程(組)的實際應用【例1】(2021·陜西中考)一家商店在銷售某種服裝(每件的標價相同)時，按這種服裝每件標價的8折銷售10件的銷售額，與按這種服裝每件的標價降低30元銷售11件的銷售額相等．求這種服裝每件的標價．【解析】設這種服裝每件的標價是x元，根據“這種服裝每件標價的8折銷售10件的銷售額，與按這種服裝每件的標價降低30元銷售11件的銷售額相等”列出方程，然后解方程即可求解．【解答】解：設這種服裝每件的標價是x元．根據題意，得10×0.8x＝11(x－30).解得x＝110.答：這種服裝每件的標價為110元．1．現(xiàn)有一條長度為359mm的銅管料，把它鋸成長度分別為39mm和29mm的兩種不同規(guī)格的小銅管(要求沒有余料)．每鋸一次損耗1mm的銅管料．為了使銅管料損耗最少，應分別鋸成39mm的小銅管__6__段，29mm的小銅管__4__段．2．某中學組織七年級全體學生參加社會實踐，若只調配45座客車若干輛，則有15人沒有座位；若只調配30座客車，則用車數量將增加3輛，且空出15個座位．(1)該學校七年級總共有多少學生？(2)若同時調配45座和30座兩種車型，既保證每人有座，又保證每車不空座，則兩種車型各需多少輛？解：(1)設只調配45座客車x輛，則該學校七年級共有學生(45x＋15)人，只調配30座客車需要(x＋3)輛．由題意，得30(x＋3)－(45x＋15)＝15.解得x＝4.∴45x＋15＝45×4＋15＝180＋15＝195.答：該學校七年級共有學生195人；(2)設需要調配45座客車m輛，30座客車n輛，由題意，得45m＋30n＝195.∴n＝eq\f(13－3m,2).又∵m，n均為正整數，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝2.))答：需調配45座客車1輛，30座客車5輛或調配45座客車3輛，30座客車2輛．eq\a\vs4\al(分式方程的實際應用)【例2】(2021·常州中考)為落實節(jié)約用水的政策，某旅游景點進行設施改造，將手擰水龍頭全部更換成感應水龍頭．已知該景點在設施改造后，平均每天用水量是原來的一半，20t水可以比原來多用5天．該景點在設施改造后平均每天用水多少噸？【解析】本題考查了分式方程的應用，讀懂題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．設該景點在設施改造后平均每天用水xt，則在改造前平均每天用水2xt，根據“20t水可以比原來多用5天”列出方程并解答．【解答】解：設該景點在設施改造后平均每天用水xt，則在改造前平均每天用水2xt.根據題意，得eq\f(20,x)－eq\f(20,2x)＝5.解得x＝2.經檢驗，x＝2是原方程的解，且符合題意．答：該景點在設施改造后平均每天用水2t．3．(2021·徐州中考)某網店開展促銷活動，其商品一律按8折銷售，促銷期間用400元在該網店購得某商品的數量較打折前多出2件．問：該商品打折前每件多少元？解：設該商品打折前每件x元，則打折后每件0.8x元．根據題意，得eq\f(400,x)＋2＝eq\f(400,0.8x).解得x＝50.經檢驗，x＝50是原方程的解，且符合題意．答：該商品打折前每件50元．eq\a\vs4\al(方程與不等式的綜合應用)【例3】某學校為豐富同學們的課余生活，購買了一批數量相等的象棋和圍棋供興趣小組使用，其中購買象棋用了420元，購買圍棋用了756元，已知每副圍棋比每副象棋貴8元．(1)求每副圍棋和象棋各是多少元？(2)若該校決定再次購買同種圍棋和象棋共40副，且再次購買的費用不超過600元，則該校最多可再購買多少副圍棋？【解析】(1)設每副圍棋x元，則每副象棋(x－8)元，根據“420元購買象棋數量＝756元購買圍棋數量”列出方程求解即可；(2)設購買圍棋m副，則購買象棋(40－m)副，根據題意列出不等式求解即可．【解答】解：(1)設每副圍棋x元，則每副象棋(x－8)元．根據題意，得eq\f(420,x－8)＝eq\f(756,x).解得x＝18.經檢驗，x＝18是原方程的解，且符合題意．∴x－8＝10.答：每副圍棋18元，每副象棋10元；(2)設該校購買m副圍棋，則購買(40－m)副象棋．根據題意，得18m＋10(40－m)≤600.解得m≤25.∵m為正整數，∴m的最大值是25.答：該校最多可再購買25副圍棋．4．(2021·玉林中考)某市垃圾處理廠利用焚燒垃圾產生的熱能發(fā)電．有A，B兩個焚燒爐，每個焚燒爐每天焚燒垃圾均為100t，每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐比B焚燒爐多發(fā)電50度，A，B焚燒爐每天共發(fā)電55000度．(1)求焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐各發(fā)電多少度？(2)若經過改進工藝，與改進工藝之前相比每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐的發(fā)電量分別增加a%和2a%，則A，B焚燒爐每天共發(fā)電至少增加(5＋a)%，求a的最小值．解：(1)設焚燒一噸垃圾，A焚燒爐發(fā)電m度，B焚燒爐發(fā)電n度．根據題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝50，,100（m＋n）＝55000.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝300，,n＝250.))答：焚燒一噸垃圾，A焚燒爐發(fā)電300度，B發(fā)焚燒爐發(fā)電250度；(2)由題意，得改進工藝后每焚燒一噸垃圾A焚燒爐發(fā)電300(1＋a%)度，則B焚燒爐發(fā)電250(1＋2a%)度，由題意，得100×300(1＋a%)＋100×250(1＋2a%)≥55000[1＋(5＋a)%].整理，得5a≥55.解得a≥11.∴a的最小值為11.eq\a\vs4\al(一元二次方程的實際應用)【例4】(2021·煙臺中考)直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件．(1)若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？(2)小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過(1)中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？【解析】(1)根據日利潤＝每件利潤×日銷售量，可求出售價為60元時的原利潤，設售價應定為x元，則每件的利潤為(x－40)元，日銷售量為20＋eq\f(10（60－x）,5)＝(140－2x)件，根據日利潤＝每件利潤×日銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；(2)設該商品需要打a折銷售，根據銷售價格不超過50元，列出不等式求解即可．【解答】解：(1)設售價應定為x元，則每件的利潤為(x－40)元，日銷售量為20＋eq\f(10（60－x）,5)＝(140－2x)件．由題意，得(x－40)(140－2x)＝(60－40)×20.整理，得x2－110x＋3000＝0.解得x1＝50，x2＝60(舍去).答：每件售價應定為50元；(2)設該商品需要打a折銷售．由題意，得62.5×eq\f(a,10)≤50.解得a≤8.答：該商品至少需打8折銷售．5．列方程(組)解應用題：某駐村工作隊，為帶動群眾增收致富，鞏固脫貧攻堅成效，決定在該村山腳下，圍一塊面積為600m2的矩形試驗茶園，便于成功后大面積推廣．如圖，茶園一面靠墻，墻長35m，另外三面用69m長的籬笆圍成，其中一邊開有一扇1m寬的門(不包括籬笆)．求這個茶園的長和寬．解：設茶園AB邊的長為xm，則BC邊的長為(69＋1－2x)m．根據題意，得x(69＋1－2x)＝600.整理，得x2－35x＋300＝0.解得x1＝15，x2＝20.當x＝15時，70－2x＝40＞35，不符合題意，舍去；當x＝20時，70－2x＝30＜35，符合題意．答：這個茶園的長和寬分別為30m，20m．6．如圖，某城建部門計劃在新建的城市廣場的一塊長方形空地上修建一個面積為1200m2的停車場，將停車場四周余下的空地修建成同樣寬的通道，已知整個長方形空地的長為50m，寬為40m.(1)求四周通道的寬度；(2)某建筑公司希望用80萬元的承包金額承攬這項工程，城建部門認為金額太高需要降價，經過兩次協(xié)商，最終以51.2萬元達成一致，若兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．解：(1)設四周通道的寬度為xm，則停車場的長為(50－2x)m，寬為(40－2x)m.由題意，得(50－2x)(40－2x)＝1200.整理，得x2－45x＋200＝0.解得x1＝5，x2＝40.當x＝5時，40－2x＝40－2×5＝30，符合題意；當x＝40時，40－2x＝40－2×40＝－40＜0，不符合題意，舍去．答：四周通道的寬度為5m；(2)設每次降價的百分率為a.由題意，得80(1－a)2＝51.2.解得a1＝0.2＝20%，a2＝1.8(不合題意，舍去).答：每次降價的百分率為20%.1.(2021·吉林中考)港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，它由橋梁和隧道兩部分組成，橋梁和隧道全長共55km.其中橋梁長度比隧道長度的9倍少4km.求港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度．解：設港珠澳大橋隧道長度為xkm，橋梁長度為ykm.由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝55，,y＝9x－4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5.9，,y＝49.1.))答：港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度分別為49.1km和5.9km.2．(2021·郴州中考)“七·一”建黨節(jié)前夕，某校決定購買A，B兩種獎品，用于表彰在“童心向黨”活動中表現(xiàn)突出的學生．已知A獎品比B獎品每件多25元，預算資金為1700元，其中800元購買A獎品，其余資金購買B獎品，且購買B獎品的數量是A獎品的3倍．(1)求A，B獎品的單價；(2)購買當日，正逢該店搞促銷活動，所有商品均按原價八折銷售，故學校調整了購買方案：不超過預算資金且購買A獎品的資金不少于720元，A，B兩種獎品共100件，求購買A，B兩種獎品的數量，有哪幾種方案？解：(1)設A獎品的單價為x元，則B獎品的單價為(x－25)元．由題意，得eq\f(800,x)×3＝eq\f(1700－800,x－25).解得x＝40.經檢驗，x＝40是原方程的解，且符合題意．∴x－25＝15.答：A獎品的單價為40元，B獎品的單價為15元；(2)設購買A獎品的數量為m件，則購買B獎品的數量為(100－m)件．由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40×0.8×m≥720，,40×0.8×m＋15×0.8×（100－m）≤1700.))解得22.5≤m≤25.∵m為正整數，∴m的值為23，24，25.∴有三種方案：①購買A獎品23件，B獎品77件；②購買A獎品24件，B獎品76件；③購買A獎品25件，B獎品75件．3．(2021·朝陽中考)某商場以每件20元的價格購進一種商品，規(guī)定這種商品每件售價不低于進價，又不高于38元，經市場調查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y(件)與每件售價x(元)之間符合一次函數關系，如圖所示．(1)求y與x之間的函數關系式；(2)該商場銷售這種商品要想每天獲得600元的利潤，每件商品的售價應定為多少元？(3)設商場銷售這種商品每天獲利w(元)，當每件商品的售價定為多少元時，每天銷售利潤最大？最大利潤是多少？解：(1)設y與x之間的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0).由所給函數圖象可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25k＋b＝70，,35k＋b＝50.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,