空間角的計算

3.2.3空間的角的計算1整理課件空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法，解題時，可用定量的計算代替定性的分析，從而防止了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點之一。我們主要研究怎么樣用向量的方法解決空間角的問題。2整理課件空間的角：空間的角常見的有：線線角、線面角、面面角。

空間兩條異面直線所成的角可轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角。故我們研究線線角時，就主要求范圍內(nèi)的角；

斜線與平面所成的角是指斜線與它在面內(nèi)的射影所成銳角，再結(jié)合與面垂直、平行或在面內(nèi)這些特殊情況，線面角的范圍也是；

兩個平面所成的角是用二面角的平面角來度量。它的范圍是?？傊臻g的角最終都可以轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角。因此我們可以考慮通過兩個向量的夾角去求這些空間角。3整理課件異面直線所成角的范圍：

思考：結(jié)論：一、線線角：4整理課件所以與所成角的余弦值為解：以點C為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，設(shè)則：

所以：例一：5整理課件練習(xí)：在長方體

中，簡解：6整理課件直線與平面所成角的范圍：

思考：結(jié)論：二、線面角：7整理課件例二：在長方體中，簡解：所以~~~~8整理課件練習(xí)：

的棱長為1.正方體xyz設(shè)正方體棱長為1，9整理課件l將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖，設(shè)二面角的大小為，其中DCBA三、面面角：①方向向量法：二面角的范圍：10整理課件例三：如圖3，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線〔庫底與水壩的交線〕的距離AC和BD分別為和,CD的長為,AB的長為。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。解：如圖，化為向量問題根據(jù)向量的加法法那么有于是，得設(shè)向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成的二面角。因此ABCD所以所以庫底與水壩所成二面角的余弦值為11整理課件ll三、面面角：二面角的范圍：②法向量法注意法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補角12整理課件設(shè)平面

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角13整理課件小結(jié)：1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

14整理課件lDCBA3.二面角：ll一進(jìn)一出，二面角等于法向量的夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補角。15整理課件2、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是n1=〔1，0，1〕，n2=〔0，1，1〕，那么這條斜線與平面所成的角是______.1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個法向量是______.3.三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,E為PC中點,,那么PA與BE所成角的余弦值為_________.

4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,那么AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_________.16整理課件2、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是=〔1，0，1〕，=〔0，1，1〕，那么這條斜線與平面所成的角是______.3、兩平面的法向量分別m=(0,1,0),n=(0,1,1)，那么兩平面所成的鈍二面角為______.練習(xí):1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個法向量是______.600135017整理課件4.三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E為PC中點,那么PA與BE所成角的余弦值為_________.

5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,那么AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_________.6.正方體中ABCD-A1B1C1D1中E為A1D1的中點,那么二面角E-BC-A的大小是________18整理課件7.正三棱柱中，D是AC的中點，當(dāng)時，求二面角的余弦值。CADBC1B1A18.已知正方體的邊長為2，

O為AC和BD的交點，M為的中點（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM19整理課件

解法一：如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。設(shè)底面三角形的邊長為a，側(cè)棱長為b,則C(0,0,0)故則可設(shè)=1，，則B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，則〈〉即為二面角的大小在中，即E分有向線段的比為20整理課件由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值為yxzCADBC1B1A1FE21整理課件解法二：同法一，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz

在坐標(biāo)平面yoz中

設(shè)面的一個法向量為同法一，可求B(0,1,0)∴可取＝(1,0,0)為面的法向量

∴yxzCADBC1B1A1由得解得

所以，可取

二面角的大小等于〈〉

∴∴cos〈〉=

即二面角的余弦值為

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角22整理課件8.①證明：以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則可得8.已知正方體的邊長為2，

O為AC和BD的交點，M為的中點（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz23整理課件②B1A1C1D1DCBAOMxyz24整理課件習(xí)題課例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(1)求證：PA//平面EDB(2)求證：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABDPEFC例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求證(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABDO25整理課件例3如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在線段BC上是否存在一點E,使PA與平面PDE所成角的大小為450?假設(shè)存在，確定點E的位置；假設(shè)不存在說明理由。DBACEP例4〔2006年福建卷〕如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，〔I〕求證：AO⊥平面BCD；〔II〕求異面直線AB與CD所成角的大??；〔III〕求點E到平面ACD的距離。26整理課件1.正三棱柱中，D是AC的中點，當(dāng)時，求二面角的余弦值。CADBC1B1A12.已知正方體的邊長為2，

O為AC和BD的交點，M為的中點（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM練習(xí)：27整理課件

解法一：如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。設(shè)底面三角形的邊長為a，側(cè)棱長為b,則C(0,0,0)故則可設(shè)=1，，則B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，則〈〉即為二面角的大小在中，即E分有向線段的比為28整理課件由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值為yxzCADBC1B1A1FE29整理課件解法二：同法一，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz

在坐標(biāo)平面yoz中

設(shè)面的一個法向量為同法一，可求B(0,1,0)∴可取＝(1,0,0)為面的法向量

∴yxzCADBC1B1A1由得解得

所以，可取

二面角的大小等于〈〉

∴∴cos〈〉=

即二面角的余弦值為

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角30整理課件8.①證明：以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則可得8.已知正方體的邊長為2，

O為AC和BD的交點，M為的中點（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz31整理課件②B1A1C1D1DCBAOMxyz32整理課件例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(1)求證：PA//平面EDB(2)求證：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF33整理課件ABCDPEFXYZG解：如以下圖建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點G,連結(jié)EG34整理課件ABCDPEFXYZG(2)求證：PB⊥平面EFD35整理課件ABCDPEFXYZ(3)求二面角C-PB-D的大小。36整理課件ABCDPEFXYZ37整理課件38整理課件例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求證(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyz39整理課件SABDOC證明：(1)取BC中點O，連接OA、OS。40整理課件(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直線SD與平面SAB所成角的正弦值為41整理課件例3如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在線段BC上是否存在一點E,使PA與平面PDE所成角的大小為450?假設(shè)存在，確定點E的位置；假設(shè)不存在說明理由。DBACEPxzy42整理課件解：以A為原點，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BE=m，則43整理課件例4〔2006年福建卷〕如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，〔I〕求證：AO⊥平面BCD；〔II〕求異面直線AB與CD所成角的大??；〔III〕求點E到平面ACD的距離。44整理課件解：〔I〕略〔II〕解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為

45整理課件〔III〕解：設(shè)平面ACD的法向量為那么令得是平面ACD的一個法向量，又所以點E到平面ACD的距離46整理課件例5、(2004，天津)如以下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點。(1)證明：PA//平面EDB；(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz47整理課件ABCDPEGxyz(1)證明：設(shè)正方形邊長為1，那么PD=DC=DA=1.連AC、BD交于G點48整理課件(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以EB與底面ABCD所成的角的正弦值為所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為49整理課件

方向朝面內(nèi)，方向朝面外，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角50整理課件1、如圖，：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值(2)OS與面SAB所成角的余弦值(3)二面角B－AS－O的余弦值OABCSxyz【練習(xí)】

51整理課件OABCSxyz1、如圖，：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的