2022-2023學(xué)年安徽省蒙城二中高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題試卷

2022-2023學(xué)年安徽省蒙城二中高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)拋物線(xiàn)y2=4x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4,到直線(xiàn)/：3x+4y+12=o的距離為則4+4的最小值為

()

2,若(1+依)(1+幻5的展開(kāi)式中x2,%3的系數(shù)之和為一10,則實(shí)數(shù)。的值為()

A.-3B.-2C.-1D.1

3.函數(shù)/(x)=Asin(s+0)的部分圖象如圖中實(shí)線(xiàn)所示，圖中圓C與〃x)的圖象交于兩點(diǎn)，且M在)'軸上,

則下列說(shuō)法中正確的是

A.函數(shù)f(x)的最小正周期是2兀

B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)［:兀成中心對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)F。)在(-4，一冷)單調(diào)遞增

36

54

D.函數(shù)f(x)的圖象向右平移一后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)

12

4.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(l-2c)=10,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(1乃、(1兀、

5,關(guān)于函數(shù)/Q)=4sin-X+-+4cos+-,有下述三個(gè)結(jié)論：

7T

①函數(shù)/(X)的一個(gè)周期為一；

2

TT371

②函數(shù)/（X）在上單調(diào)遞增；

.24_

③函數(shù)/（幻的值域?yàn)椋?,4A/2］.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①②B.②C.②③D.③

6.已知正方體45CD-的棱長(zhǎng)為2,E,F,G分別是棱AO,CC,,的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題:

①EF工B。；

②直線(xiàn)尸G與直線(xiàn)4。所成角為60°；

③過(guò)E，F(xiàn),G三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形；

④三棱錐B—EFG的體積為。.

6

其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知定義在R上的函數(shù)/（X）滿(mǎn)足〃力=/（一力，且在（0,+◎上是增函數(shù)，不等式/（公+2）47（—1）對(duì)于

%叩,2］恒成立，則。的取值范圍是

-g,0D.[0,1]

8.已知拋物線(xiàn)＞2=20》的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)三-卓=1（。＞0,。＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的

9

線(xiàn)段長(zhǎng)為一，那么該雙曲線(xiàn)的離心率為（）

2

555廠(chǎng)

A.-B.—C.—D.5/5

432

9.若函數(shù)/（x）=3cosx+4sinx在尤=。時(shí)取得最小值，貝（Jcos6=（）

3443

A.-B.一一C.-D.--

5555

10.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）之和，也就

是我們所謂的“1+1”問(wèn)題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國(guó)數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤(rùn)等在哥德巴赫猜想

的證明中做出相當(dāng)好的成績(jī).若將6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為（）

11.在A5c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,dc,若c-acosB=(2a-b)cosA,貝!!ABC的形狀為()

A.直角三角形B.等腰非等邊三角形

C.等腰或直角三角形D.鈍角三角形

12.等腰直角三角形4法的斜邊A3為正四面體ABCD側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊45旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，有下

列說(shuō)法：

(1)四面體E-BCD的體積有最大值和最小值；

(2)存在某個(gè)位置，使得AE_LBZ);

(3)設(shè)二面角。一43-￡的平面角為。，則GNNZME；

(4)AE的中點(diǎn)M與A8的中點(diǎn)N連線(xiàn)交平面5CQ于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸的軌跡為橢圓.

其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.棱長(zhǎng)為。的正四面體ABCD與正三棱錐E-B8的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體A3C0E的頂點(diǎn)均在一球的

球面上，則正三棱錐E-6CD的內(nèi)切球半徑為.

14.函數(shù)/(x)=Jlogos(4x_3)的定義域是.

15.已知函數(shù)/(xX-x'+sinx,若/(a)=M,則"-a)=.

16.若(2-X)，=%+4(l+x)+%(l+x)-++%(l+x)7'則4+4+4++a6+?7=__，&=?

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的邊長(zhǎng)分別為a1,c,且c=2.

7T

(1)若A=§,b=3、求sinC的值；

(2)若$畝/13520+51118852州二35也。，且AABC的面積S="sinC,求。和。的值.

222

18.(12分)已知函數(shù)7(%)=〃(％+1)111(%+1)—12一公(々＞0)是減函數(shù).

(1)試確定a的值；

(2)已知數(shù)列{a"}a〃=電■如a〃(fi￡N")，求證：ln［(〃+2)<］<1-*

19.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識(shí)測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”、

"不合格''兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)結(jié)

果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示：

等級(jí)不合格合格

得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

頻數(shù)6X24

(I)若測(cè)試的同學(xué)中，分?jǐn)?shù)段［20,40)、［40,60)、［60,80)、［80,100］內(nèi)女生的人數(shù)分別為2人、8人、16人、4人,

完成2x2列聯(lián)表，并判斷：是否有90%以上的把握認(rèn)為性別與安全意識(shí)有關(guān)？

是否合格

不合格合格總計(jì)

性別

男生

女生

總計(jì)

(II)用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中，共選取1()人進(jìn)行座談，現(xiàn)再?gòu)倪@1()人中任選4

人，記所選4人的量化總分為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(IH)某評(píng)估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)M(M,其中D(X)表示X的方差)來(lái)評(píng)估該校安全教育活動(dòng)的成效，若用20.7,

則認(rèn)定教育活動(dòng)是有效的；否則認(rèn)定教育活動(dòng)無(wú)效，應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(H)的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安

全教育方案？

附表及公式：K'=-------------------------,其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

20.(12分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了10()名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性

有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“體育迷”.

(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?

非體育迷體育迷合計(jì)

男

女1055

合計(jì)

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3

次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E(X)和方差

D(X).

附：犬=_______〃3-兒)2________

(a+-)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.050.01

k3.8416.635

21.(12分)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，單位圓與角X終邊的交點(diǎn)為P,過(guò)P作平行于y軸的直線(xiàn)/,設(shè)/與9終邊所在直線(xiàn)

的交點(diǎn)為。，f(x)=OPOQ.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

71

(2)求函數(shù)“X)在區(qū)間-.71上的值域.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=x2+Q—2)x—"nx+2.

(1)若x=2是/(x)的極值點(diǎn)，求/Xx)的極大值；

(2)求實(shí)數(shù)/的范圍，使得/(x)22恒成立.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

分析：題設(shè)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)是相離的，4+4可以化成4+1+&-1，其中4+1是點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，也就是。到

焦點(diǎn)的距離，這樣我們從幾何意義得到4+1+4的最小值，從而得到4+4的最小值.

y2=4x

詳解：由《①得到3y2+16y+48=0,△=256-12x48<0,故①無(wú)解，

3x+4y+12=0

所以直線(xiàn)3x+4y+12=0與拋物線(xiàn)是相離的.

由4+/=4+1+d]—19

而4+1為「到準(zhǔn)線(xiàn)》=—1的距離，故4+1為p到焦點(diǎn)F(I,O)的距離，

11x3+0x4+121

從而4+1+4的最小值為F到直線(xiàn)3x+4y+12=0的距離J~k亍~L=3,

故4+4的最小值為2,故選A.

點(diǎn)睛：拋物線(xiàn)中與線(xiàn)段的長(zhǎng)度相關(guān)的最值問(wèn)題，可利用拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)把動(dòng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)或焦點(diǎn)的距離

來(lái)求解.

2、B

【解析】

由(1+ar)(l+4=(1+x)5+ax(l+x)5,進(jìn)而分別求出展開(kāi)式中x2的系數(shù)及展開(kāi)式中1的系數(shù)，令二者之和等于

-10,可求出實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】

由(1+ax)(l+x)5=(1+X)5+ax(l+%)5,

232

則展開(kāi)式中X的系數(shù)為c；+?C5'=10+5a,展開(kāi)式中X的系數(shù)為C^+?C5=10+lOa,

二者的系數(shù)之和為(10+5a)+(10a+10)=15a+20=—10,得。=—2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)/(x)=Asin(2x+?)再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.

【詳解】

TTI7777"TT

根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為丁，所以彳7=二一(—二)=37,解得了=萬(wàn)，

32362

所以/(X)的最小正周期T="，不妨令A(yù)＞0,0＜。＜乃，由周期丁=%，所以。=2,

又/1_彳)=0,所以夕=?,所以/(x)=Asin(2x+?),

令2%+欠=左乃次eZ,解得x=紅—工，左eZ,當(dāng)左=3時(shí)，x=—,即函數(shù)/(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為［。肛,

即函數(shù)/(力的圖象關(guān)于點(diǎn)《萬(wàn),o］成中心對(duì)稱(chēng).故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得

三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求得z=2+4i,得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】

1010(1+2z)

由題意，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足2(1-2i)=10,可得Z=[K=]J=2+4i,

1-2/+2zJ

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4)位于第一象限

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解

是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)x€5,當(dāng)時(shí)，[x+geV■，與￡，/(x)=40sin([x+M],再利用單調(diào)性

242312241212；

判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)/(x)=4sin]；x+?

+4C/L+A的值域等價(jià)于函數(shù)

123J

；1的值域，而當(dāng)XG[0,乃]時(shí),g(x)=40sin(gn

g(x)=4sinx+4cosgxg(x+;r)=g(x),—x+—再求值域.

23

【詳解】

、萬(wàn)、八、

因?yàn)?sML+274[+4CJL+2141

/(x+5=4cos—x+—+4sin—x+—w/(x),故①錯(cuò)誤;

(212(212；212,212

,71?)n,1\7兀t74(17兀,所以/(x)=4sin(Jx+W]—4co1s+gn1H

當(dāng)xe-，時(shí)，寸+尸=4A/2sin—x-\-----

T23122423212

ITTTT1\TTTT34

不工+不￡—所以/(x)在—上單調(diào)遞增，故②正確;

的值域等價(jià)于函數(shù)g(x)=4sin；x+4cos；x的值域，易知

函數(shù)/(x)=4sin

(23)

17T\

g(x+/)=g(x),故當(dāng)xe[0,乃]時(shí)，g(x)=4及sin—x+—e[4,472],故③正確.

23J

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類(lèi)討論思想，屬于中檔題.

6、C

【解析】

畫(huà)出幾何體的圖形，然后轉(zhuǎn)化判斷四個(gè)命題的真假即可.

【詳解】

如圖；

連接相關(guān)點(diǎn)的線(xiàn)段，。為的中點(diǎn)，連接瓦O,因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，可知尸，EO_L8C，可知平面瓦O,

即可證明SO"，所以①正確；

直線(xiàn)FG與直線(xiàn)4。所成角就是直線(xiàn)4B與直線(xiàn)4。所成角為60。5正確;

過(guò)E，F(xiàn),G三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形；如圖:

是五邊形EHFGI.所以③不正確

如圖：

三棱錐8-￡FG的體積為:

由條件易知尸是GM中點(diǎn),

所以VB-EFG=VB-EFM=*F-BEM，

^i^x2--x2xl--!-x3xl=-,

而SBEM=S梯形A6MO—SMBE~S&EDM

2222

v?=rlxl4-所以三棱錐B*G的體積為本④正確;

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及空間幾何體的體積，直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面的基本性質(zhì)，是中

檔題.

7、A

【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在（ro,0）上是減函數(shù)，由此可將不等式化為-1W方+241;利用分

3131

離變量法可得-巳4。4-上，求得-三的最大值和--的最小值即可得到結(jié)果.

XXXx

【詳解】

/（X）=/（-%）.??/（X）為定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

又“X）在（0,+8）上是增函數(shù).?"（X）在（-8,0）上是減函數(shù)

-/（ar+2）</（-I）.".|ar+2|<l,即一1K冰+2W1

Q1

一1W以+2W1對(duì)于xe［1,2］恒成立.??一14aW—2在［1,2］上恒成立

3「3一

即"的取值范圍為：一多一1

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題，涉及到恒成立問(wèn)題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單

調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來(lái)處理恒成立問(wèn)題.

8、A

【解析】

由拋物線(xiàn)V=20x的焦點(diǎn)(5,0)得雙曲線(xiàn)點(diǎn)—方=1(。>00>0)的焦點(diǎn)(±5,0),求出戶(hù)5,由拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程

%=-5被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為一9，由焦半徑公式2b二2=92,聯(lián)立求解.

2a2

【詳解】

解：由拋物線(xiàn)y2=20x,可得2P=2(),則p=l(),故其準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-5,

72

拋物線(xiàn)y2=2Qx的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)，-方=l(a>0力>0)的左焦點(diǎn)，

/.c=5?

9

拋物線(xiàn)y2=20x的準(zhǔn)線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為3，

9

—2b2又,2=25=/+/,

a2

a=4,Q3,

c5

則雙曲線(xiàn)的離心率為

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)及利用過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)求離心率.弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng).

9、D

【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)f(x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得f(x)在尤=6函數(shù)取得最小值時(shí)cos6的值.

【詳解】

4

解：/'(x)=3cosx+4sinx=5-cosx+—sinx=5sin(x+a),其中，sintz='，cosa--

5

故當(dāng)e+a=2kn-；*必,即e=2Z乃一5一a(ZwZ)時(shí)，函數(shù)取最小值/((?)=—5,

所以cos0=cos(2A;r----a)=cos(----a)=-sina=——，

225

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有3+3=6,利用古典概型求解即可.

【詳解】

6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),

而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),

根據(jù)古典概型知，所求概率為P=,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.

11、C

【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由sin(A+B)=sinC,化簡(jiǎn)可得sinBcosA=sinAcos4,最后分類(lèi)討論可得

【詳解】

解：因?yàn)閏-acosB=(2a-h)cosA

所以sinC-sinAcosB=(2sinA-sinB)cosA

所以sinC-sinAcos8=2sinAcosA-sin8cosA

所以sin(A+3)-sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinAcosB+sinBcosA-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinBcosA=sinAcosA

TT

當(dāng)0)54=0時(shí)4=一，AABC為直角三角形；

2

當(dāng)cosA。0時(shí)sinA=sin8即A=6,AABC為等腰三角形；

AA8C的形狀是等腰三角形或直角三角形

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

解：對(duì)于（1）,當(dāng)平面A5E,且￡在A8的右上方時(shí)，E到平面的距離最大，當(dāng)平面48E,且E在

AB的左下方時(shí)，E到平面BCD的距離最小，

四面體E-5CQ的體積有最大值和最小值，故（1）正確；

對(duì)于（2）,連接OE,若存在某個(gè)位置，使得AEJL8D,又則AEJ_平面8OE,可得AE_LOE,進(jìn)一步可得

AE=DE,此時(shí)E-480為正三棱錐，故（2）正確；

對(duì)于（3）,取A3中點(diǎn)0,連接。0,EO,則NOOE為二面角O-A8-E的平面角，為。，

直角邊AE繞斜邊A5旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，0G[0,it）,

jr

ZDAE^[—,it）,所以O(shè)NNZME不成立.（3）不正確；

對(duì)于（4）AE的中點(diǎn)M與48的中點(diǎn)N連線(xiàn)交平面BCD于點(diǎn)P,P到BC的距離為：dp.BC,

IpBI

因?yàn)?-VI,所以點(diǎn)尸的軌跡為橢圓.（4）正確.

4-BC

故選：C.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體對(duì)應(yīng)的特征，以幾何體為載體，考查相關(guān)的空間關(guān)系，在解題的過(guò)程中，需

要認(rèn)真分析，得到結(jié)果，注意對(duì)知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1I3-\/2—V6

13、---------a

12

【解析】

由棱長(zhǎng)為。的正四面體ABCD求出外接球的半徑，進(jìn)而求出正三棱錐E-BC。的高及側(cè)棱長(zhǎng)，可得正三棱錐

石-BCD的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，進(jìn)而求出體積與表面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑，由等體積丫=；S表面積???’,求出內(nèi)

切圓的半徑.

【詳解】

由題意可知：

多面體ABCDE的外接球即正四面體ABCD的外接球

作AE1.面BCD交于尸，連接CF,如圖

貝ICF=2旦河,且AE為外接球的直徑，可得

323

AF=>J3-療=J/_g幻2=等。，

2「_BC=a

設(shè)三角形8。的外接圓的半徑為r,貝！J'-sin60o-^,解得

T7

設(shè)外接球的半徑為R,則&2=，+（A尸_R）2可得2AF.R=r2+AF2>

即2.?.H=《+魚(yú)，解得/?=逅a,

3394

設(shè)正三棱錐后-88的高為〃，

因?yàn)锳E-2R~~Y~a，所以力=EF=2R-AF=-=^^~a>

所以BE=CE=DE=yiEF2+CF2=J-a+-a=—a,

V632

而B(niǎo)D=BC=CD=a,

所以正三棱錐E-BCD的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，

設(shè)內(nèi)切球的半徑為R'，VE-BDC=§5ABs-EF=—,(SE-8CD)表面積,R?

即1G2瓜13+-\/32p，繇徂o13A/2--76

即一?——a.——a=-------a?R解得：R=------------a-

3463412

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意借助

幾何體的直觀圖進(jìn)行分析.

14、

【解析】

由于偶次根式中被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，對(duì)數(shù)的真數(shù)要大于零，然后解不等式組可得答案.

【詳解】

解：由題意得，

x<\

log0.5(4x-3)>0

41>0，解得3,

X>一

4

3

所以:＜九41,

4

故答案為：

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.

15、-M

【解析】

根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=-/+sinx,其定義域?yàn)镽,

所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

34

X/(-%)=-(-%)+sin(-x)=-卜3+sjn=,

所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，因?yàn)?(a)=M,

所以止a)=-M.

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力；熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中

檔題、常考題型.

16、12821

【解析】

令x=0,求得/+4+4++4+%的值.利用［3-(1+月］'展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得松的值.

【詳解】

令x=0,得/+%++%=27=128.［3—(1+力］展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為C；37-1—(l+x)J,當(dāng)r=6時(shí)，為

G3(l+x)6=21(l+x)6,即6=21.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，考查賦值法求解二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)sinC=.(2)a-b—5.

7

【解析】

(1)先由余弦定理求得“，再由正弦定理計(jì)算即可得到所求值；

(2)運(yùn)用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)可得sinA+sinB=5sinC,運(yùn)用正弦定理和三角形的面積公式可

得a,b的方程組，解方程即可得到所求值.

【詳解】

解：(1)由余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA=9+4-2x3x2x—=7,?=>/7

由正弦定理——，得sinC

sirt4sinC

/、.A.3.41+cosfi.n1+cosA_.一

(2)由已知得：sinAx--------1-sinBx-------=3sinC

22

sin4+sinAcosB+sinB+siaBcosA=6sinC

sinA+sin8+sin(A+B)=6sinC,sinA+s'mB-5sinC

所以a+b=5c=10①

I25

又S=-a戾inC=—sinC,所以昉=25……②

22

由①②解得a=h=5

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用，以及三角函數(shù)的恒等變換，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18、(I)a=2(II)見(jiàn)證明

【解析】

(I)求導(dǎo)得/'(X)=aln(x+1)—2x,由/(x)是減函數(shù)得,對(duì)任意的xG(-1,-H?),都有/'(x)=aln(x+1)-2x<0

恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=aln(x+l)-2x,通過(guò)求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0,即可求出

(H)由/(X)是減函數(shù)，且40)=0可得,當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<0,則/⑺<0,即2(〃+l)ln(l+〃)<〃2+2”,

衣,\2?ln(rt+l)1nn+2,1nn+2

兩邊問(wèn)除以2(〃+1)得，--------<------------,KHpna<------------,從而

'〃+12n+ln+l2n+in+\

1<123n)(345〃+2)_1〃+2

—C1li2.3ci“<—2“?(一2,一3,一4n+lJk兩邊取對(duì)數(shù)

ln「(〃+2)(]<ln(：：2)、=21n(n+2)-ln(n+l)-(n+l)ln2,然后再證明

LV'"」2H+I(n+l)

21n(〃+2)—ln(〃+l)—("+1)1112+5—1<0恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)

/7(x)=21n(x+2)-ln(x+l)-(x+l)ln2+|-l,xe[l,+oo),通過(guò)求導(dǎo)證明〃(x)<0即可.

【詳解】

解：(I)/(x)的定義域?yàn)?-1,+8),/'(x)=aln(x+l)-2x.

由/(x)是減函數(shù)得，對(duì)任意的XW(T,+8),都有/'(x)=aln(x+l)-2xW0恒成立.

設(shè)g(x)=aln(x+l)-2x.

-2x-^-1

9由。>0知—1>—1,

'g'")=2

x+1

(.a

???當(dāng)工￡卜1，5一］時(shí)，g〈X)>0;當(dāng)一1,+00時(shí)，g'(x)<0,

.?.8(力在［-1e-1］上單調(diào)遞增，在仁-1,+8)上單調(diào)遞減，

g(尤)在X=>時(shí)取得最大值.

又???g(O)=O,.?.對(duì)任意的大?-1收),g(x)Vg(O)恒成立,即g(x)的最大值為g⑼.

.,.--1=0,解得a=2.

2

(n>由/(x)是減函數(shù)，且/(o)=()可得，當(dāng)%>()時(shí)，/(%)<0,

/(H)<0,即2(n+l)ln(l+n)<n2+2〃.

?1n〃+2

兩邊同除以2(n+1『得，+即Qa<------------

H+12〃+1〃+1“2〃+1鹿+1

123n345〃+2)1n+2

從而z,…2342-3-4……^+Tj

〃+1

(n+2)~

所以ln[(〃+2)7；]<ln=21n(〃+2)-ln(〃+l)-(〃+l)ln2①.

2日(〃+1)

77

下面證21n(〃+2)-ln(〃+l)-(〃+1)1112+2-1<0；

記/z(x)=21n(x+2)-ln(x+l)-(x+l)ln2+^-l,xe[l,4oo).

1「I

21x--------ln2+—

；?1(x)—In2+——.-ln2+-2,,2,

x+2x+12x~+3x+22Xd---F3

X

2

???y=x+—在[2,+8)上單調(diào)遞增，

：.”(X)在[2,+8)上單調(diào)遞減，

而〃'(x)<〃(2)=(—ln2+；=；(2—31n2)=g(2—ln8)<0,

.,.當(dāng)xe[2,+oo)時(shí)，恒成立，

.?.〃(%)在［2,位)上單調(diào)遞減,

即XE[2,+OO)時(shí)，/z(x)</?(2)=21n4-ln3-31n2=ln2-ln3<0,

，當(dāng)〃之2時(shí)，〃(〃)〈().

1O「

V7/(1)=21n3-In2-21n2--=ln--lnVe<0,

28

當(dāng)〃eN*時(shí)，//(〃)<(),即21ri(〃+2)—In(〃+1)—(〃+1)ln2<1—2②.

綜上①@可得，In[(〃+2)Z,]<1-].

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計(jì)算求

解能力，屬于難題.，

19、(I)詳見(jiàn)解析；(n)詳見(jiàn)解析；(ni)不需要調(diào)整安全教育方案.

【解析】

(I)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫(xiě)好2*2列聯(lián)表，計(jì)算出K?的值，由此判斷出在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)90%的前提下，不能

認(rèn)為性別與安全測(cè)試是否合格有關(guān).(II)利用超幾何分布的計(jì)算公式，計(jì)算出X的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.(HD由

(II)中數(shù)據(jù)，計(jì)算出。(X),進(jìn)而求得加的值，從而得出該校的安全教育活動(dòng)是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.

【詳解】

解：(I)由頻率分布直方圖可知，得分在[20,40)的頻率為0.005x20=0.1,故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為4=60,

/.y—60x0.2=12,x=18.

性別與合格情況的2x2列聯(lián)表為:

是否合格

不合格合格小計(jì)

性別

男生141630

女生102030

小計(jì)243660

腔_60x（14x20-10x16）2

—<2.706

八30x30x24x369

即在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)90%的前提下，不能認(rèn)為性別與安全測(cè)試是否合格有關(guān).

(II)“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為24:36=2:3,因此抽取的1()人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X可

能的取值為20、15、1()、5、()，

「41O「202o

P（X=20）=&=R,P（X=15）=點(diǎn)=五/"=10）=蕓=了

C：=1

P"=5)U，P(X=O)

X的分布列為:

X20151050

18341

P

1421735210

所以越=20x-i-+15x芻+10x』+5xW+0x」-=12.

1421735210

22222

(HI)由(口)知：D(X)=(20-12)X^-+(15-12)X^-+(10-12)X|+(5-12)XA+(0-12)X^=16

箭去27.

故我們認(rèn)為該校的安全教育活動(dòng)是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查2x2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查超幾何分布的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算，所以中檔題.

十乂39

20、⑴無(wú)關(guān)；⑵“

【解析】

(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而可得列聯(lián)表如下:

非體育迷體育迷合計(jì)

男301545

女451055

合計(jì)7525100

將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得

,4(力1叼-〃12出/101)x(30x10-4ox15尸100

A'=-------—=-------------=—^3.03?

75x25x45x5533

因?yàn)?.03(X3.841,所以我