2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期課后培優(yōu)分級(jí)練(北師大版)2

2.2平方根

回課堂知識(shí)梳理

算術(shù)平方根：

一般地，如果一個(gè)正數(shù)X的平方等于4,即Y=a,那么這個(gè)正數(shù)X就叫做。的算術(shù)平方

根，記為“五”，讀作“根號(hào)特別地，我們規(guī)定0的算術(shù)平方根是0,即而=0.

平方根：若x?=a,則x叫a的平方根，x=iVa.

平方根的性質(zhì)：正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)；。的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方

根.

開(kāi)平方及相關(guān)運(yùn)算：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方，其中a叫做被開(kāi)方數(shù).開(kāi)平

方與平方互為逆運(yùn)算.

羔課后培優(yōu)練

"培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.4的算術(shù)平方根是（）

A.2B.-2C.72D.±72

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)算術(shù)平方根的概念進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：4的算術(shù)平方根是2；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查算術(shù)平方根的概念，掌握算術(shù)平方根的概念是解題的關(guān)鍵.

2.下列各式中，正確的是（）

A.725=±5B.±725=5C.±>/25=±5D.J（-54=-5

【答案】C

【解析】【分析】

根據(jù)平方根以及算術(shù)平方根進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【詳解】

解：A.>/25=5.不符合題意；

B.±>/25=±5.不符合題意；

C.±岳=±5,符合題意；

D.再=5，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平方根以及算術(shù)平方根的計(jì)算，正確地計(jì)算能力是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

3.若一個(gè)數(shù)的平方根等于它本身，則這個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.0和1D.±1

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)平方根的定義求解即可，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于。，即/="，那么這個(gè)數(shù)x就叫做”的平方根.

【詳解】

解：V（+1）2=1,02=0,

平方根等于本身的數(shù)是0,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)平方根的理解，熟練掌握平方根的意義是解答本題的關(guān)鍵.

4.6的平方根是（）

A.6B.±6C.-s/6D.土瓜

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)平方根的定義解答即可.【詳解】

6的平方根是土木.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平方根的判斷，掌握定義是解題的關(guān)鍵.注意：正數(shù)有兩個(gè)平方根，0有一個(gè)平方根是它本

身，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

5.一個(gè)自然數(shù)的一個(gè)平方根是m則與它相鄰的上一個(gè)自然數(shù)的平方根是（）

A.i.y/a—1B.<7—1C.1D.+-Ja2-1

【答案】D

【解析】

【分析】

先用a表示該自然數(shù)，然后再求出這個(gè)自然數(shù)相鄰的上一個(gè)自然數(shù)的平方根.

【詳解】

解：由題意可知：該自然數(shù)為小,

,該自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)為"一1,

a2-l的平方根為土J6-1-

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是求出該自然數(shù)的表達(dá)式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

6.下列說(shuō)法正確的是（）

A.-4的平方根是±2B.Y的算術(shù)平方根是-2

C.J記的平方根是±4D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義及求法，即可一一判定.

【詳解】

解：A.負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，故該選項(xiàng)不正確；B.負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，也沒(méi)有算術(shù)平方根，故該選項(xiàng)不正確；

C.加=4的平方根是±2,故該選項(xiàng)不正確：

D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0,故該選項(xiàng)正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平方根及算術(shù)平方根的定義及求法，熟練掌握和運(yùn)用平方根及和算術(shù)平方根的定義及求法是解

決本題的關(guān)鍵.

7.若一個(gè)正數(shù)加的平方根為3a-6和10-4a,則，"的值是（）

A.4B.6C.16D.36

【答案】D

【解析】

【分析】

由正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，可得3。—6+10-4a=0,可求。=4,即可求加.

【詳解】

解：由題意知3a—6+10—4“=0,

解得a=4,

貝1]3。-6=3*4-6=6,

=6?=36，故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平方根的性質(zhì)，熟練掌握正數(shù)的平方根的特點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.

8.若血嬴是正整數(shù)，則滿足條件的根的最小正整數(shù)值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)算術(shù)平方根得出血嬴加，根據(jù)瘋嬴為正整數(shù)得出80/”是完全平方數(shù)，求出即可.

【詳解】解：；阿7為正整數(shù)，

.,.80w>0,80〃?是完全平方數(shù)，

：80x5=400=202,

的最小正整數(shù)值為：5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)算術(shù)平方根的應(yīng)用，注意：。（?>0）的算術(shù)平方根是&-

9.（-1J的平方根是.

【答案】士仁2

【解析】

【分析】

根據(jù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案?

【詳解】

（-1J的平方根是：士,

故答案為：±2].

【點(diǎn)睛】

本題考查了平方根的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于。，那么這個(gè)數(shù)

X就叫做4的平方根.

10.計(jì)算：（石y=,7（-87=-

【答案】58

【解析】

【分析】

根據(jù)平方根的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

解：（不了=5；J（-8『=8.

故答案為:5；8.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平方根的性質(zhì)，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,

11.已知a,b滿足Ja-2+。+3）2=0,則（a+b）2022的值為.

【答案】1

【解析】

【分析】

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出4、方的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】

解：,:Na-2+(6+3)2=0,KUyja-2>0,(方+3)2>0,

.'.a-2=0,6+3=0,

解得〃=2,b--3,

所以，(a+b)2。22=(2-3)2。22=].

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.

12.已知x、y都是實(shí)數(shù)，且丫=G1+>/^7+3,貝1]肛=.

【答案】6

【解析】

【分析】

利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求出x值，再代入求出y值，即可求解.

【詳解】

解：1/yJx-2)-J2-X,

x—2N092—xNO,

x=2,

將x=2代入y=，x-2+J2-X+3,得：y=3,

:.xy=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，代數(shù)式的求值，熟練掌握并靈活運(yùn)用算術(shù)平方根的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

13.下列各數(shù)的平方根：

(1)64；

121

(3)0.0004；

(4)(-25)、

(5)11.

【答案】(1)+8；(2)±*；(3)±0.02；(4)±25；(5)士而

【解析】

【分析】

根據(jù)平方根的定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于出那么這個(gè)數(shù)x叫做。的平方根，計(jì)算即可.

【詳解】

解：(1)因?yàn)?±8)~=64,所以64的平方根是±8,即±>/^?=±8；

(2)因?yàn)樗院诘钠椒礁鞘?,即士匡=±工；

(11)12112111V12111

(3)因?yàn)?±0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02,即土而殖=±0.02：

(4)因?yàn)?±25)2=(-25『，所以(-25)2的平方根是±25,W±y/(-25)2=±25；

(5)11的平方根是±而.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平方根，熟記平方根的定義是解本題的關(guān)鍵.

14.解方程：

(1)x2=9；(2)16(x+2)2-25=0

313

【答案】(1)x=±3；(2)=--^x=~—

x44

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平方根的意義求解即可；

(2)根據(jù)平方根的意義求解即可.

【詳解】

(1)x2—9,

?.?(±3)2=9,

x=±3；

(2)16(彳+2)2—25=0,

16(X+2)2=25,

x+2=±—,

4

【點(diǎn)睛】

此題考查平方根的意義，掌握平方根的意義是解答此題的關(guān)鍵.

15.(1)已知(X-1)2=4,求x的值.

(2)已知2a-1與-a+2是正數(shù)機(jī)的平方根，求，”的值.

【答案】(1)3或-1.(2)9

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平方根的含義和求法，求出x的值即可.

(2)根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)可得出。的值，繼而得出這個(gè)正數(shù)也

【詳解】

解：(1)V(x-1)2=4,

x-1=±2,x=3或-1.

(2)2a-1與-〃+2是正數(shù)，〃的平方根，

2a—1—ci+2=0,

解得：a--\,

則這個(gè)正數(shù)的值為/M=[2X(-1)-1]2=9.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了平方根.解題的關(guān)鍵是掌握平方根的知識(shí)，掌握一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù).

16.己知x=l-34,y=4a-3.

(1)如果X的算術(shù)平方根為4,求4的值；

(2)如果x,y是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根，求這個(gè)正數(shù).

【答案】(1)。=-5；(2)25o

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平方運(yùn)算，可得1-3〃=42,解一元一次方程，可得答案；

(2)根據(jù)同一個(gè)數(shù)的平方根相等或互為相反數(shù)，可得〃的值，根據(jù)平方運(yùn)算，可得答案.

(1)解：...x的算術(shù)平方根是4,

1—3a=42>

?*ci——5■

(2)；x,y是同一個(gè)數(shù)的兩個(gè)不同的平方根，

(1-3。)+(4。-3)=0,

解得：4=2,

：(1-34)2=(1-3x2)2=25.

.?.這個(gè)數(shù)是25.

【點(diǎn)睛】

本題考查了算術(shù)平方根與平方根，熟練掌握一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，是解題的

關(guān)鍵.

17.我們以前學(xué)過(guò)完全平方公式(?！馈?2=/±2燦+。2,現(xiàn)在，又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的非負(fù)數(shù)都可

以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如3=(百5=(石)2,下面我們觀察：

(V2-1)2=(V2)2-2xlx^+l2=2-272+1=3-2>/2,

反之，3-2&=2-2夜+1=(應(yīng)-1『，

V3-2^=(>/2-l)2

?'>>/A/3—2>/2=V2—1

仿上例，求:

⑴，4-2百；

（2）計(jì)算：（3-2夜+&2娓+V7-2V12+……+719-2790；

⑶若”藥則求4a3-9/—2。+1的值.

【答案】(1)百-1；(2)屈-1；(3)0

【解析】

【分析】

(1)利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公式直接化簡(jiǎn)即可得解；

(2)根據(jù)前面幾個(gè)式子可猜想出其中的變化規(guī)律，直接利用規(guī)律進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再求和即可得解;

(3)對(duì)。二庶7依次進(jìn)行分母有理化可得〃=血+1，再通過(guò)移項(xiàng)、平方等變形可得/=2〃+1、

.3=2/+〃，然后將其代入所求代數(shù)式，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得解.

【詳解】

(1)

百一1（2）/-2收+^5-2#+-7-2厄+……+J19-2廊

=&-1+百一祀+”-百+……+y/W-y/9=710-1（3）?=^^j='/2+l,：.a-l=丘,（a-l）2=2,

??a2—2a+1=2,

〃=2。+1,/=2a2+a，

??4a，—9a~—2a+1

=4（2〃+〃）一9。2-2a+l=8/+4。一9〃2_2。+1=一。2+2。+]=一（2々+1）+勿+1=0,

貝|)4/-9片-24+1的值為0.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、完全平方公式的應(yīng)用、求代數(shù)式的值等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能夠

靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練

18.求下列式子中的x：

3

(l)25(x-1)2=49；

⑵如+1)2=32.

4

【答案】(l)x/=2,雙=-二

(2)x/=7,X2=-9

【解析】

【分析】

(1)兩邊同時(shí)除以25,再開(kāi)平方解一元一次方程即可；

(2)方程兩邊同時(shí)乘以2,再開(kāi)平方解一元--次方程即可.

⑴

3

解：25(x-『『49,

4

解得：x/=2,X2=--；

（2）

y（X+I）2=32,

（x+1）2=32x2,

（x+1）2=64,

x+l=±8,

x+l=8或x+1=-8,

解得:x/=7,X2=-9.

【點(diǎn)睛】

此題考查了利用平方根定義解方程，正確理解并掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

19.交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過(guò)的距離估計(jì)車輛行駛的速度，他們總結(jié)了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：「=16荷，

其中v表示車速（單位：千米時(shí)），4表示剎車后車輪滑過(guò)的距離（單位：米），f表示摩擦因數(shù).在某次交通

事故調(diào)查中，測(cè)得d=25米，/=1.44,而該路段的限速為80千米時(shí)，肇事汽車當(dāng)時(shí)的車速大約是多少？

此車是否超速行駛？

【答案】96「米/時(shí)，此車超速行駛

【解析】

【分析】

此題只需把d=25米=0.025千米，戶1.44,代入v=16j彳，求得v的值后，再進(jìn)一步和80千米比較，作出

判斷即可.

【詳解】

解：由題意知v=16歷=16x，25xl.44=16x6=96（千米/時(shí)）.

96千米/時(shí)＞80千米/時(shí)，

答：肇事汽車當(dāng)時(shí)的速度大約是96千米/時(shí)，此車超速行駛.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了算術(shù)平方根在實(shí)際中的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.20.（1）填寫(xiě)下表:

a0.00010.011100100001000000

（2）由上表你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)用文字語(yǔ)言敘述你發(fā)現(xiàn)的這一規(guī)律;

（3）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空.

①已知75=1.414,720?4.472,那么7555X______，A/2000?，^/02?,^/（Hj2?

②若石2141.4,貝ij"=.若揚(yáng)=0.04472,貝.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）①14.14,44.72,0.4472,0.1414；②20000,0.002

【解析】

【分析】

（1）利用算術(shù)平方根定義計(jì)算，填寫(xiě)即可；

（2）找出得到的規(guī)律，用語(yǔ)言敘述即可.

（3）利用（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)而分別得出各數(shù)據(jù)答案.

【詳解】

解：（1）填表如下：

a0.00010.01110010000

0.010.1110100

的小數(shù)點(diǎn)向左（或向右）移到兩位，算術(shù)平方根小數(shù)點(diǎn)向左（或向右）移到一位.

⑶①14.1444.720.44720.1414②200000.002

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)，解題需注意被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)和相應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)之間的互

換關(guān)系，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解本題的關(guān)鍵.

21.你能找出規(guī)律嗎？

（1）計(jì)算：74x79=,^/4^9=,716x^25=,（16x25=;

（2）根據(jù)找到的規(guī)律計(jì)算：舟后；（3）若“=a,b=M,用含a,b的式子表示而.

【答案】(1)6；6；20；20；規(guī)律見(jiàn)解析;

(2)9

⑶曬=ab

【解析】

【分析】

(1)首先求出每個(gè)算式的值是多少，然后總結(jié)出規(guī)律：&義屈=箍(?>0,b>0),據(jù)此判斷即可.

(2)根據(jù)而、揚(yáng)=而進(jìn)行解答即可.

(3)根據(jù)“=應(yīng)，b=M，可得而=J2xl0=0xx>/ni=a6,據(jù)此解答即可.

(1)

："x?=2x3=6,74^9=736=6,716x725=4x5=20,716x25=>/400=20,

二總結(jié)出的規(guī)律是:日義韭=寂(fl>0,b>0).

故答案為：6；6：20；20

⑵

限厲=13*27=a=9;

(3)

"：a=6,b=M，

V20=V2xl0=\/2xxy/\0=ab，

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是注意觀察總結(jié)出規(guī)律，并能正

確的應(yīng)用規(guī)律.

22.【初步感知】

(1)直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果.

①"二;

@Vi772r=；③《+23+33=;

?713+24+33+43=；

【深入探究】觀察下列等式.

@1+2=(1^;

②]+2+3=(1+；)>3.

@l+2+3+4=(1+^)x4；

Z-X1cr/u(1+5)x5

@l+2+3+4+5=--；—；

根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫(xiě)適當(dāng)內(nèi)容.

c(1+2022)x2022

(2)=-------------；

(3)1+2+3+?,?+〃+(〃+1)=f

【拓展應(yīng)用】計(jì)算：

(4)Vl3+23+33+---+993+100,；

(5)113+123+133+--.+193+203.

【答案】⑴①1②3③6@10

(2)1+2+3+…+2021+2022

(3)(〃+1)(〃+2)

2

(4)5050

(5)41075

【解析】

【分析】

(1)直接計(jì)算即可；

(2)根據(jù)前4個(gè)式子的規(guī)律填空即可：

(3)根據(jù)規(guī)律可得1+2+3+…+“+(n+1)=(〃+1)("+2)；

2

(4)根據(jù)(1)的計(jì)算可得原式=1+2+3+…+100；(5)根據(jù)規(guī)律可得原式=(P+23+33+...+193+203)-

(P+23+33+...+93+103),再根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可.

(1)

解：①/=1;

②《+23=3；

③JF+23+33=6；

④JT+2,+33+43=IO

故答案為：①1②3③6@10

(2)

解：由規(guī)律可得：1+2+3+...+2022=(1+2022)X2022,

2

故答案為：1+2+3+...+2022；

(3)

徐昆：1+2+3+,??+〃+(〃+1)=-----------.

2

“公(〃+1)(九+2)

故答案為：——△——

2

(4)

解：原式=1+2+3+…+100=000叫Xl°n=5050；

2

(5)

解:原式=(13+23+33+...+193+203)-(13+23+33+-+93+103)

=(#+23++2()3)2-(Vl3+23+...+103)2

=(1+2+...+20)2-(1+2+...+10)2

21x20,11x10,

22

=2102-552

=41075.

【點(diǎn)睛】

本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，能夠根據(jù)式子的變化得到規(guī)律是解題關(guān)鍵.

培優(yōu)第三階——中考沙場(chǎng)點(diǎn)兵

23.(2022?四川涼山?中考真題)化簡(jiǎn)：必了=<)

A.i2B.-2C.4D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

先計(jì)算（-2）2=4,再求算術(shù)平方根即可.

【詳解】

解：=4=2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

24.（2022?四川瀘州?中考真題）-4=（）

A.—2B.—C.4D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)算術(shù)平方根的定義可求.

【詳解】

解:-y/4=-2,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了算術(shù)平方根的定義，要注意正確區(qū)分平方根與算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)