2022-2023學(xué)年北京109中學(xué)高三（上）模擬考試數(shù)學(xué)試卷（10月份）（學(xué)生版+解析版）

20222023學(xué)年北京109中學(xué)高三（上）模擬考試數(shù)學(xué)試卷（10

月份）

一、單選題（每題4分，共40分）

2一、

1.（4分）已知：=1-ai,其中i為虛數(shù)單位，貝lj。=（）

l+i

A.-1B.1C.-2D.2

2.（4分）（/一§5的展開式中的系數(shù)為（）

A.10B.20C.40D.80

3.（4分）設(shè)x€R,則“cosx=0”是“sinx=l”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

4.（4分）COS2-COS2^2=（）

A-1B-立

a.22

5.（4分）已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)是（0,2）,其漸近線方程為〉=士級(jí)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

程是（）

A.%2-=1B.-y2=1

y22y2.

C.—-x2=1D.---=1

444

6.（4分）將函數(shù)y=s譏（2x+3）的圖象向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為

42

）

A.y=sin2xB.y=-sin2xC.y=cos2xD.y=-cos2x

7.（4分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,3）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=2?B.y=-x3C.y-cosD.y-

8.（4分）中國(guó)古代十進(jìn)位制的算籌計(jì)數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.據(jù)史料推測(cè),

算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年.算籌計(jì)數(shù)的方法是：個(gè)位、百位、萬(wàn)位……的數(shù)按

縱式的數(shù)碼擺出；十位、千位、十萬(wàn)位……的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出.如7738可用算籌表

示為=LTT三UT.1-9這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則3'。比64的運(yùn)算

結(jié)果可用算籌表示為（）

縱式：111IIIIlliHillTTTUTHIT

X全

橫式：一===^11

123456789

A.11=111B.LI生c.w=n=

D.nw

a+b、1

9.(4分)f(x)=logo.5x,0<a<b,若p=/(VHK),q=f(T(/(a)+/(b))，

則下列關(guān)系式中正確的是()

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

10.（4分）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（o）x+J）在區(qū)間（0,n）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則3

的取值范圍是（）

5135191381319

A.[—,——）B.[―,——）C.（——，-]D.（——，——]

36366366

二、填空題（每題5分，共25分）

11.（5分）函數(shù)y=m（3—4x）的定義域是.

12.（5分）能說(shuō)明“在△ABC中，若sin2A=sin23,則A=B”為假命題的一組A,5的值

是.

13.（5分）如圖所示，角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一|,3,則tan2a

14.（5分）已知/（x）是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=7-3x,則不等式/

（x）>九的解集用區(qū)間表示為

丫3va

/一若存在實(shí)數(shù)從使函數(shù)g（x）=于3有兩個(gè)

（x2,x>a

零點(diǎn)，則a的取值范圍是

三、解答題（共85分）

16.設(shè)/(x)—alnx++|x+l,其中“6R,曲線y—f(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線垂

直于y軸.

(1)求。的值；

(2)求函數(shù)f(x)的極值.

17.如圖，在直三棱柱ABC-4B1C1中，D,E分別是AB.BB1的中點(diǎn)，已知力B=2,441=

AC-CB-V2.

(I)證明：BC1〃平面A1CD；

(II)求CD與平面4CE所成角的正弦值；

(III)求。到平面AiCE的距離.

18.已知函數(shù)/'(%)=+@)(4>0,3>0,101V分且/(x)圖像的相鄰兩條對(duì)稱

7T

軸之間的距離為5,再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為一組已知條件.

(I)確定/(X)的解析式；

(II)若g(x)=f(x)+2cos(2x+專)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間.

條件①：/(X)的最小值為-2；

條件②：/(%)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為(駕，0)；

條件③：/(%)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(普，-1).

19.北京市某區(qū)針對(duì)高三年級(jí)的一次測(cè)試做調(diào)研分析，隨機(jī)抽取同時(shí)選考物理、化學(xué)的學(xué)生

330名，如表是物理、化學(xué)成績(jī)等級(jí)和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：

物理成ABC

績(jī)等級(jí)

化學(xué)成ABCABCABC

績(jī)等級(jí)

人數(shù)11053255701531210

(名)

(1)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理、化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知該生的物理成績(jī)

等級(jí)為A,估計(jì)該生的化學(xué)成績(jī)等級(jí)為A的概率；

(2)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理、化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中物

理、化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為A的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望(以上表中物理、化學(xué)成績(jī)

等級(jí)均為A的頻率作為每名學(xué)生物理、化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為A的概率)；

(3)記抽取的330名學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分150分)的方差為排名前

50%的成績(jī)方差為sj,排名后50%的成績(jī)方差為522,則52不可能同時(shí)大于512和522,

這種判斷是否正確.(直接寫出結(jié)論).

20.已知函數(shù)/(x)=xsinx.

(1)判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,%上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

(2)求證：函數(shù)/(x)在兀)內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；

(3)求函數(shù)。0)=華*在區(qū)間(1,TT］上的最小值.

21.集合Mk("20)是滿足下列條件的函數(shù)f(x)全體：如果對(duì)于任意的xi,X2&(&,+

8),都有/(XI)+f(X2)>/'(X1+X2).

(1)函數(shù)/(x)=/是否為集合M0的元素，說(shuō)明理由；

(2)求證：當(dāng)0<〃<1時(shí)，函數(shù)/(無(wú))=〃是集合Mi的元素；

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=lgxEMk,求人的取值范圍.

2022-2023學(xué)年北京109中學(xué)高三（上）考試數(shù)學(xué)試卷（10月份）

參考答案與試題解析

一、單選題（每題4分，共40分）

2

1.（4分）已知幣=1-m,其中a€R,i為虛數(shù)單位，則由（）

A.-1B.1C.-2D.2

【解答】解：苗=（普消）=1-i=1一山,

則a=\.

故選：B.

2.（4分）（/一|）5的展開式中/的系數(shù)為（）

A.10B.20C.40D.80

【解答】解：（/一§5的展開式的通項(xiàng)公式為7i+l=稼（?）5Y（—|）k=（-2）

-3k

令10-3%=4,則％=2,

???展開式中d的系數(shù)為量（-2）2=40,

故選：C.

3.（4分）設(shè)賬R,則“cosx=0”是“sinx=l”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【解答】解：:sin2l+cos2>x=1,

①當(dāng)cosx=0時(shí)，則sinx=±l,.??充分性不成立,

②當(dāng)sinx=1時(shí)，則cosx=0,/.必要性成立,

???"cosx=0”是“sinx=l”的必要不充分條件.

故選：B.

4.（4分）COS2y^—COS2^=（）

D.立

A.-2C.

?--f2

【解答】解：COS?居一COS?金2TC71zj7127T27r71

=cos（一+一）-cos-=sin——cos-=—COS-=

2121212126

_V3

21

故選：B.

5.（4分）已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)是（0,2）,其漸近線方程為丫=士合，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

程是（）

2y2X2

A.x2—=1B.———y2=1

44

y2y2/

C.—-%22=1D.---=1

444

y2x2

【解答】解：雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)是（0,2）,開始雙曲線方程為：—其漸近

4b2

線方程為'=±2羽

所以b=l,

所求雙曲線方程為：--X2=1.

4

故選：C.

*77"_TC

6.（4分）將函數(shù)y=s譏（2%+芻的圖象向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為

（）

A.y=sin2xB.y=-sin2xC.y=cos2xD.y=-cos2x

【解答】解：將函數(shù)y=sin（2x+芻的圖象向左平移W個(gè)單位長(zhǎng)度后，

所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=sin（2x+ir+%）=-cos2x的圖象，

故選：D.

7.（4分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,3）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=23B.y=-x3C.y=cos*D.y=

【解答】解：A,-：f（-x）="卜=2M=f（x）,.力二?況為偶函數(shù),又?.?當(dāng)x>0時(shí),y

=2、單調(diào)遞增，...A錯(cuò)誤，

B,?.?>=-/為奇函數(shù)，，臺(tái)錯(cuò)誤，

YxX

C,V/（-x）=cos（一5）=COS-=f（x）,cos-為偶函數(shù)，

V0<x<3,.\0<^<1<?,.R=cos子在（0,3）上單調(diào)遞減，正確，

2222

2—%

D,.——>0,???-2<x<2,：.f（x）的定義域?yàn)椋?2,2）,

2\x?2x

,:f(-x)=/〃----=/n(y-7^)-1=-In-----=—f(x),.*./(x)為奇函數(shù)，錯(cuò)誤，

2-x'2+M2+x

故選：C.

8.(4分)中國(guó)古代十進(jìn)位制的算籌計(jì)數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.據(jù)史料推測(cè)，

算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年.算籌計(jì)數(shù)的方法是：個(gè)位、百位、萬(wàn)位……的數(shù)按

縱式的數(shù)碼擺出；十位、千位、十萬(wàn)位……的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出.如7738可用算籌表

示為上TT三可.1-9這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則3'。貝64的運(yùn)算

結(jié)果可用算籌表示為()

縱式：IIIIIIIlliHillTTTUT>

橫建式?jīng)_：一==—=一—工I_—L—=J=—=

123456789

A.II=IHB.=1=11=C.

D.

【解答】解：根據(jù)題意，3'。&64=36=729,

用算籌計(jì)數(shù)表示為n=w；

故選：D.

9.(4分(x)=logo,5x,0<a<b,若p=/(VHK),q=r=1(/(a)

則下列關(guān)系式中正確的是()

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

【解答】解：(x)=logo,5x,0<a<bf

***P=/(V^)=log0.5(Voh)=2(Iog0.5?+log0.5/?)，

a+hQ+b1—

q=/(-y-)=log0.5(----)<log0.5(VoK)=P，

，2

1I

r=[(/(a)+/(b))=工(logo.5a+k>go.5b),

:?p=f>q.

故選：D.

10.(4分)設(shè)函數(shù)/(x)=sin(3x+給在區(qū)間(0,n)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則3

的取值范圍是()

5135191381319

A[B.[-,—)C.(——，-]D.(

-?了)3663T'T]

【解答】解：當(dāng)3<0時(shí)?，不能滿足在區(qū)間（0,71）極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，所以3>0;

函數(shù)/（]）=sin（u）x+^）在區(qū)間（0,Tt）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn),

■ji71元

(一,

(A)X4~737E3(0714-3o-),

57r

/.—VtOTl+n亍

23<3TT,

求得一<€0<?

6s

故選：C.

二、填空題（每題5分，共25分）

12

11.(5分)函數(shù)y=)(3-4%)+±的定義域是(-00,0)u(0,G.

【解答】解：由題意可知3-4%>0

%H0

所以3W(-8,0)U(0,》

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）u（0,

故答案為：（-8,0）U（0,分.

12.（5分）能說(shuō)明“在△ABC中，若sin2A=sin28,則A=8”為假命題的一組A,8的值

是4=60°,8=30°.

【解答】解：當(dāng)4=60°,8=30°時(shí)，sin2A=sinl20°=—；sin2B=sin60°=苧，此

Blsin2A=sin2B/

故答案為：A=60°,B=30°.

13.（5分）如圖所示，角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一|,貝I]tan2a

_24

4

-4

245

【解答】解：?.?角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(一自二),--

33

--

355

2tana_24

則tan2a=

l-tan2a7

故答案為：—.

14.(5分)已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-3x,則不等式/

(x)>x的解集用區(qū)間表示為(-4,0)U(4,+8).

【解答】解：當(dāng)x>0時(shí)，不等式/(x)>x化為7-3x>x,解得x>4；

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,/(x)=-/(-x)=-x2-3x,不等式/(x)>x化為---3x>x,

解得-4<x<0.

而/(0)=0不滿足不等式/(x)>x.

綜上可得：不等式/(x)>x的解集用區(qū)間表示為(-4,0)U(4,+8).

黨3YV(]

/-若存在實(shí)數(shù)A使函數(shù)g(x)=/(x)-6有兩個(gè)

｛x2,x>a

零點(diǎn)，則a的取值范圍是或a>U.

【解答】解：(x)=/(x)-分有兩個(gè)零點(diǎn)，

.V(x)=/,有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=/(x)與y=/>的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

由尸=7可得，X=0或X=1

①當(dāng)4>1時(shí)，函數(shù)/1(X)的圖象如圖所示，此時(shí)存在從滿足題意，故4>1滿足題意

②當(dāng)“=1時(shí)，由于函數(shù)/(X)在定義域R上單調(diào)遞增，故不符合題意

③當(dāng)OVaVl時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，故不符合題意

④a=0時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，故不符合題意

⑤當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，此時(shí)存在b使得，(x)與)，=匕有兩

故答案為：伍|a<0或。>1}

三、解答題(共85分)

1Q

16.設(shè)/(x)=4如:+自+*1,其中a€R,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線垂

直于y軸.

(1)求。的值；

(2)求函數(shù)/(X)的極值.

【解答】解：(1)求導(dǎo)函數(shù)可得/(x)=?-A+l>

x2x2

?.?曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線垂直于y軸,

13

"(I)=0,g+L

a=

1Q

(2)由(1)知，f(x)=-伍什攝+分+1(x>0)

f(v)=_1__1,3^(3x+l)(x-l)

22

x2x22x

令/(x)=0,可得x=1或x=—/(舍去)

；0<xVl時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)遞減；x>l時(shí)，/(x)>0,函數(shù)遞增

；.x=l時(shí)，函數(shù)/(X)取得極小值為3.

17.如圖，在直三棱柱ABC-486中，￡>,E分別是AB.的中點(diǎn)，已知AB=2,AA1=

AC-CB—V2.

(I)證明：BCi〃平面4C￡)；

(II)求CO與平面4CE所成角的正弦值；

(III)求。到平面4CE的距離.

【解答】證明：(/)連接AC1交4c于點(diǎn)F,則尸為ACi中點(diǎn),

連接力F,又。是AB中點(diǎn),

則BC\//DF,

?.?。bu平面ACO,BCiC平面ACO,

，BCi〃平面4CD

(〃)\'AB=2,BC=AC=V2,可得NACB=90°,即AC_LBC,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4,CB,CCi為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

LL^V2V2V2

則A(V2,0,V2),C(0,0,0),E(0,V2,——)，D(一，——，0),

222

TT-^2^

則C/i=(V2,0,V2),CE=(0,V2,—),

設(shè)平面4CE的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-CAr=V2x+V2z=0

則t—萬(wàn)，令z=2,則y=-1,x--2>

n-CE=>/2y+^~z=0

二平面A1CE的一個(gè)法向量為n=(-2,-1,2),

t\J2ypZ

又CD=(—,—,0),

22

設(shè)CD與平面ACE所成角為6,

...smg叵L=一姿L=

z

\CD\-\n\J4+1+4XJ異;

(〃/)。到平面4CE的距離”=挈

同1x/4+4+42

10＜勁,且/(4)圖像的相鄰兩條對(duì)稱

71

軸之間的距離為了再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為一組已知條件.

(I)確定f(x)的解析式;

(II)若g(x)=/(%)+2cos(2x+著)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間.

條件①：/（X）的最小值為-2；

條件②：/（X）圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為（聾，0）；

條件③：/（%）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（半，-1）.

71

【解答】解：（I）由于函數(shù)/G）圖像上兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為鼻,

所以函數(shù)/（%）的最小正周期7=2X＞兀，

所以3=竿=2,

此時(shí)/（x）=Asin（2x+（p）；

選條件①②，

因?yàn)?（x）的最小值為-A,

所以A=2f

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為（罌，0），

所以2x含+＜p=/OT（keZ）,

解得W=k兀一詈，（fcGZ）,

因?yàn)閨初

所以0=*'

所以/（%）=2sin（2x4-看）;

選條件①③，

因?yàn)?（尢）的最小值為-A,

所以A=2,

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）的圖像過得，一1）,

則樽）=-1，

艮|12si7i（等+乎）=—1,sin（竽+＞）=—*，

因?yàn)镮wlV參

一,7n57r137r

所以一＜（p+—v——，

636

p*r21\I?57r1ITTTC

所以。+-y=-g-，0=3

所以f(%)=2sin(2x+5)；

選擇條件②③，

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的一個(gè)對(duì)稱中心為(駕，0),

所以2x+3=kji(kGZ),

解得<p=k兀一普，(keZ),

因?yàn)閨*|V*,

所以9=看，

此時(shí)/1(%)=4sin(2x+冷,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的圖像過(半，-1),

則鏢)=-1，

即As譏—F(p)——1,

”，11幾

所以Asin---=-1,

6

所以A=2,

所以/(%)=2sin(2x+看)；

綜上，不論選哪兩個(gè)條件，/(x)=2sm(2x+J)；

(II)由(I)知，/(%)=2sm(2%+5)，

所以g(x)=f(x)+2cos(2%+5)=2sin(2x+Q+2cos(2x+著)=2>/2sin(2x+駕),

,n57r37r

由一4-2kn<2x4--<—+2kn,kEZ,

2122

得莉+kn,kwZ,

n13

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為|媼+/cm—n+kn]f依Z.

19.北京市某區(qū)針對(duì)高三年級(jí)的一次測(cè)試做調(diào)研分析，隨機(jī)抽取同時(shí)選考物理、化學(xué)的學(xué)生

330名，如表是物理、化學(xué)成績(jī)等級(jí)和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況:

物理成ABC

績(jī)等級(jí)

化學(xué)成ABcABCABC

績(jī)等級(jí)

人數(shù)no53255701531210

(名)

(1)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理、化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知該生的物理成績(jī)

等級(jí)為A,估計(jì)該生的化學(xué)成績(jī)等級(jí)為A的概率；

(2)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理、化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中物

理、化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為4的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望(以上表中物理、化學(xué)成績(jī)

等級(jí)均為4的頻率作為每名學(xué)生物理、化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為A的概率)；

(3)記抽取的330名學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分150分)的方差為排名前

50%的成績(jī)方差為s]2,排名后50%的成績(jī)方差為s/,則$2不可能同時(shí)大于sF和S22,

這種判斷是否正確.(直接寫出結(jié)論).

【解答】解：(1)設(shè)事件A為該生物理成績(jī)等級(jí)為A的情況下，化學(xué)成績(jī)等級(jí)為A,

樣本中物理成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為110+53+2=165,

1102

在該群體中化學(xué)成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為110,所以頻率為,=

由樣本估計(jì)總體可得P(4)=|,

故該生物理成績(jī)等級(jí)為A,估計(jì)該生化學(xué)成績(jī)等級(jí)為A的概率為1.

(2)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理、化學(xué)的學(xué)生隨機(jī)選取一名，物理、化學(xué)成績(jī)等級(jí)均

1101

為4的概率估計(jì)為二=

3303

由題意隨機(jī)變量X的取值范圍是｛0,1,2),

P(X=0)=(1)2=小

P(X=l)=Gx*x5=^

P(X=2)=(1)2=i,

則X的分布列:

X012

P441

r———

999

E(X)=0Xq4+lXg4+2Xg1=w2.

(3)不正確；

舉例：排名前50%的成績(jī)均為150分，方差為登=0,排名后50%的成績(jī)均為0分，方

差為S22=0,顯然，>0,所以s2>s￡,s2>s/,故，同時(shí)大于Si2和S22.

20.已知函數(shù)/(x)=xsinx.

(1)判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,今上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

(2)求證：函數(shù)/(x)在g,兀)內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)：

(3)求函數(shù)g(x)=筆產(chǎn)在區(qū)間(1,