2022-2023學年山西省晉中市中考數(shù)學專項突破仿真模擬卷（一模二模）含解析

2022-2023學年山西省晉中市中考數(shù)學專項突破仿真模擬卷

（一模）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）某地一天的最高氣溫是12°C,最低氣溫是-2'C,則該地這天的溫差是（）

A.-10°CB.10°CC.14°CD.-14°C

2.（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

3.（3分）下列運算中正確的是（）

A.V2XV3=V6B.V2+V3=V5C.瓜+6=2D.-I2=-2

4.（3分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（）

5.（3分）一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，ABHCF,

ZF=ZACB=90°,則ND8c的度數(shù)為（）

D.30°

6.（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

3x>2x-1

A.-2-1012B.-2-102

C.-2-1012^D.-2-1012*

7.（3分）如圖，在四邊形N8CD中，對角線4C、8。相交于點。，下列條件不能判定四

邊形N8CQ為平行四邊形的是（）

BC.

A.AB//CD,ADIIBCB.AD!IBC,AB=CDC.OA=OC,OB=ODD.

AB=CD,AD=BC

8.（3分）我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長短，引繩度之，余

繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條繩子

還剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？如果設(shè)有木條長

x尺，那么可列方程為（）

YX

A.X—4.5=1B.x+4.5=1C.x+4.5=2（x+1）D.x+4.5=2（x-l）

9.（3分）如圖，已知E為矩形紙片的邊。C上一點，將矩形紙片438沿BE折疊,

使點C恰好落在邊力。上的點尸處，若/B=6,AD=W,則。E的長為（）

DE

10.（3分）如圖，在正方形/8CZ）中，點E是邊8c上的一點，連接OE,AE,BD,且

AE,8。交于點尸，AB=6,BE=3,則陰影部分的面積是（）

A.12B.13C.14D.15

二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11.（3分）不等式;（x-2）＜3的解集是—.

12.（3分）一個正多邊形，它的一個內(nèi)角等于一個外角的2倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)

是—.

13.（3分）如圖是一組有規(guī)律排列的圖案，它們是由邊長為1的正方形組成，第（1）個

圖案有邊長為1的小正方形3個，第（2）個圖案有邊長為1的小正方形6個，第（3）個

圖案有邊長為1的小正方形9個，…依此規(guī)律，則第（〃）個圖案中，邊長為1的小正方形

鑰匙只能打開其中一把鎖，每把鎖只有一把鑰匙能打開.如果從三把鑰匙中隨機抽取兩把,

那么能一次性（即不能試）打開/鎖與8鎖的概率是

15.（3分）如圖，點N的坐標為（2,0）,點8的坐標為（0,273）,與y軸相切，點

C是0/上的動點，射線8c與x軸交于點。，則8。長的最大值等于

三.解答題（共8小題，滿分75分）

16⑴計算：。2）〉（母--獷”

42

（2）下面是小祺同學化簡分式。+1的過程，請仔細閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

4（＜7+1）2（tz—1）

解：原式（"i）s+i）（"i）s+i）第一步

=4（a+l）-2（a-l）第二步

=4。+4-2。+2...第三步

=2。+6……第四步

任務(wù)一：①以上求解過程中，第一步的依據(jù)是；

②小祺同學的求解過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是.

任務(wù)二：請你寫出正確的化簡過程.

17.如圖，四邊形488為矩形，NC為對角線，過點。作DE,/C于點E.

（1）尺規(guī)作圖：過點8作DE的平行線，交ZC于點F,要求：標明相應(yīng)字母，保留作圖

痕跡不寫作法。（2）在（1）的條件下，求證：DE=BF.

AB

18.春節(jié)前夕，赴山西慰問基層干部群眾，1月26日下午，在霍州市師莊鄉(xiāng)馮南垣村同村

民一起揉花饃，花饃將銷往全國各地，臨近年關(guān)，某商店決定購進一批花饃，已知甲種花

饃每件的進價比乙種花饃每件的進價少6元，花180元購買甲種花饃的件數(shù)與花240元購

買乙種花饃的件數(shù)相等.（1）求甲、乙兩種花饃每件的進價；（2）由于暢銷，第一批購進

的花饃已經(jīng)售馨，現(xiàn)該商店決定用4000元再購進一批甲、乙兩種花饃共200件，結(jié)果恰

逢批發(fā)商進行調(diào)價，甲種花饃在第一批進價的基礎(chǔ)上9折，而乙種花饃比第一批進價提高

了5%,則最多可購買乙種花饃多少件？

19.第24屆冬季奧林匹克運動會（簡稱“冬奧會”）于2022年2月4日在北京開幕，本屆

冬奧會設(shè)7個大項、15個分項、109個小項，在全國掀起了冰雪運動的熱潮，某校組織了

關(guān)于冬奧知識競答活動，隨機抽取了七年級基羊々同堂的或結(jié)也敕仰而加大木寺段的撕

人數(shù)（頻數(shù)）

數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖:16

若干名同學的成績頻數(shù)分布表

8

分組頻數(shù)4

060708090100”成績，分

60<x<704

70cx48012

90<x<10060<x<70

80<x<901670<x<80

80<x<90

90<x<100

請根據(jù)圖表信息，解答下列問題：（1）本次知識競答共抽取七年級同學名；在扇形

統(tǒng)計圖中，成績在“90<xW100”這一組所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為_°；（2）請

將頻數(shù)分布直方圖補充完整；（3）將此次競答活動成績在"8°<XW9°，，的記為良好，

在“90<x410°”的記為優(yōu)秀，已知該校初、高中共有學生2400名，小敏根據(jù)七年級

此次競答活動的結(jié)果，估計該校初、高中學生中對冬奧知識掌握情況達到良好或優(yōu)秀的人

A/XIX1Vnnimi+tZ4\

2400（40%+20%）=1440'主小心十二加1l/士”且不公工田'（A

數(shù)約為：'7,請你分析她的估計是否合理，并說明理由；（4）

該校計劃對此次競答活動成績最高的小穎同學：獎勵兩枚“2022北京冬夢之約”的郵票，

現(xiàn)有如圖所示“2022?北京冬夢之約”的四枚郵票供小穎選擇，依次記為A,

8,C,D,背面完全相同，將這四枚郵票背面朝上，洗勻放好，小穎從中隨機抽取一枚

不放回，再從中隨機抽取一枚.請用列表或畫樹狀圖的方法，求小穎同學抽到的兩枚郵票

恰好是B（冰墩墩）和。（雪容融）的概率.

Bfl/INC

中■第a

20.閱讀與思考：請仔細閱讀材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

利用數(shù)學知識求電阻的阻值

數(shù)學和物理的關(guān)系十分密切，數(shù)學是表達物理概念、定律簡明而準確的語言，同時，數(shù)學

為物理提供了計量、計算的工具和方法.

DR—Q

例如：已知兩個電阻1和&串聯(lián)后的總電阻為7Q,并聯(lián)后的總電阻為7,求這兩個

電阻的阻值各是多少.

根據(jù)串聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得4+&=7,①

11R,+R,7

--1=-----=一

根據(jù)并聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得《與36②

把①代入②，得凡&=6③

以上問題也可以通過以下兩種數(shù)學方法求解.

方法1：設(shè)”的阻值為x,則此的阻值為7-x.根據(jù)③可將問題轉(zhuǎn)化為")=6是否

有正數(shù)解的問題.

方法2：設(shè)兩個電阻的阻值分別為％和丁，則根據(jù)③，得x+?=7,根據(jù)③，得肛=6.所

6

y—~

以同時滿足要求的正數(shù)X和丁的值可以看成反比例函數(shù)X的圖象與一次函數(shù)

y=-x+7的圖象在第一象限內(nèi)的交點坐標(x/).

RR言。

任務(wù)：(1)已知兩個電陽I和t串聯(lián)后的總電阻為10Q,并聯(lián)后的總電阻為5，請

你借助“方法1”，求這兩個電阻的阻值各是多少.

(2)是否存在兩個電阻4和夫2,使串聯(lián)后的總電阻為4Q,并聯(lián)后的總電阻為？

小明借助“方法2”解答如下：

假設(shè)存在，設(shè)這兩個電阻的阻值分別為x和丁，

根據(jù)①，得x+'=.根據(jù)③，得肛=.

6

y-~

在如圖所示的直角坐標系中，小明分別畫出了滿足條件的反比例函數(shù)X和一次函數(shù)

y=-x+4的圖象.

觀察圖象可知，（填“存在”或"不存在”）滿足條件的兩個電阻.

21.2021年是中北大學建校80周年，某?！熬C合與實踐，，小組的同學來到中北大學參觀學習，

他們在德懷樓前的廣場上參觀了彭德懷元帥的雕像（如圖1）,并計劃測量“彭德懷元帥雕像”

的高度.他們制定了測量并完成了實地測量.如圖2,該小組同學在點C處用測角儀（高

度不計）測得該雕像頂端A的仰角=61。，向雕像的另一側(cè)前進9.5m到達點。處,

再次測得該雕像頂端A的仰角NAGN=45°,已知該同學的眼睛到地面的距離為1.5加，

請根據(jù)上述測量數(shù)據(jù)，求彭德懷元帥雕像的高度.（結(jié)果精確到°」加；參考數(shù)據(jù):

sin61°?0.87,cos61°?0.48,tan61°?1.80）

22.綜合與實踐

問題情境：四邊形Z8C。是正方形，對角線NC,80相交于點°,R是正方形內(nèi)一點，

/890=90。.將48尸0繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到4°￡0,點8,尸的對

應(yīng)點分別為點。，E,直線叱經(jīng)過點°.

特例分析：（1）如圖1,當點尸與點。重合時，判斷四邊形CE0尸的形狀，請說明理由,

并直接寫出ER與的數(shù)量關(guān)系.

深入探究：（2）如圖2,當點尸與點。不重合時，試判斷°E,EO,之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

類比遷移：（3）如圖3,將正方形/BCD改為菱形，對角線4C,3D相交于點°,

R是菱形內(nèi)一點，NBFC=90。,、將ABFC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到AOEC,

點8,口的對應(yīng)點分別為點。，￡請直接寫出EO,之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

12,

y=——x+bx+c

23.綜合與探究：如圖，拋物線2與x軸交于A,8兩點，與歹軸交于

點0,點3,0的坐標分別為（2,0）,（0,3）,點。與點C關(guān)于x軸對稱，「是直線

4C上方拋物線上一動點，連接尸0、交/C于點。.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式及點A的坐標；（2）在點P運動的過程中，求尸。：。。的

最大值；（3）在丁軸上是不存在點“，使//加8=45。？若存在，請直接寫出點"的

坐標；若不存在，請說明理由.

答案與解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）某地一天的最高氣溫是12"C,最低氣溫是-2"C,則該地這天的溫差是（）

A.-10°CB.10°CC.14°CD.-14°C

【正確答案】C

【詳解】12-（-2）=14（°C）.故選：C.

2.（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【正確答案】A

【詳解】A.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

B.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意：

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意.故選：A.

3.（3分）下列運算中正確的是（）

A.y/2xy/3=yfeB.夜+75=后C.76+73=2D.-I2=-2

【正確答案】A

【詳解】4、原式=02x3=娓,所以“選項正確；B、&與百不能合并，所以3選項

錯誤；

C、原式=而與=夜，所以C選項錯誤；D、原式=-1,所以。選項錯誤.故選：

A.

4.（3分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（）

【正確答案】A

【詳解】?.?主視圖和左視圖是三角形，，幾何體是錐體，

:俯視圖的大致輪廓是圓，該幾何體是圓錐.故選：A.

5.（3分）一副直角三角板如圖放置，點C在ED的延長線上，ABHCF,

ZF=ZACB=90°,則NDBC的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.18°D.30°

【正確答案】B

【詳解】由題意可得：NEDF=45。,ZABC=30°,

vAB/ICF,ZABD=AEDF=45°,NO8c=45。-30。=15。.故選：B.

6.（3分）不等式組F"-2），，X-4的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

3x>2x-1

—?&1?A，&1.>

C.-2-102D.-2-102

【正確答案】C

【詳解】13（X-2）,二4①，由①得1；由②得X>-1；故不等式組的解集為1,

3x>2x-l②

-L----------I,,，>

在數(shù)軸上表示出來為：-2-102.故選：c.

7.（3分）如圖，在四邊形438中，對角線4C、8。相交于點O,下列條件不能判定四

邊形/8CO為平行四邊形的是（）

Bc

A.AB//CD,AD//BCB.AD!IBC,AB=CDC.OA=OC,OB=ODD.

AB=CD,AD=BC

【正確答案】B

【詳解】/、根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以判定;

8、無法判定，四邊形可能是等腰梯形，也可能是平行四邊形；

C、根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以判定；

。、根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以判定；故選：B.

8.（3分）我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長短，引繩度之，余

繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條繩子

還剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？如果設(shè)有木條長

x尺，那么可列方程為（）

xX

A.x-4.5=—1B.x+4.5=—1C.x+4.5=2（x+1）D.x+4.5=2（x-l）

【正確答案】D

【詳解】依題意，得：x+4.5=2（x-l）.故選：D.

9.（3分）如圖，已知E為矩形紙片N8C。的邊。C上一點，將矩形紙片N38沿8E折疊,

使點C恰好落在邊49上的點尸處，若48=6,AD=[O,則DE的長為（）

Q1Q

A.2B.-C.3D.—

33

【正確答案】B

【詳解】設(shè)=則CE=6-x,由翻折的性質(zhì)得，

?.-BC=BF=T0,AB=6,；,AF=8DF=AD-DF=10-8=2,

在RtADEF中，-EF=CE=6-x,DE2+DF2=EF2,x2+22=(6-x)2,

解得：x=—.即DE>=號.故選：B.

33

10.(3分)如圖，在正方形488中，點E是邊8c上的一點，連接。E,AE,BD,且

AE,BD交于點F,AB=6,BE=3,則陰影部分的面積是（）

A.12B.13C.14D.15

【正確答案】D

【詳解】?.?四邊形45C。是正方形，，4O//8C,AD=AB=6,

AnAp

:.MDFs^EBF,/.——=——=2,AF=2EF,

BEEF

vAB=6，BE—3,.4.SAARF=^\RFD='XBExAB=9，

LX/lIfEi<SDt,Lj2

2

，5i0xn郎or=—354^￡=6,.\陰影部分的面積=6+9=15,故選：D.

二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11.（3分）不等式1（x-2）<3的解集是—.

2

【正確答案】x<8

【詳解】x-2<6,x<6+2,x<8,故答案為x<8.

12.（3分）一個正多邊形，它的一個內(nèi)角等于一個外角的2倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)

是—.

【正確答案】6

【詳解】設(shè)正多邊形的一個外角的度數(shù)為x。，由題意得2x+x=180。，

解得x=60,360。+60。=6,所以這個正多邊形的邊數(shù)是6.故答案為6.

13.（3分）如圖是一組有規(guī)律排列的圖案，它們是由邊長為1的正方形組成，第（1）個

圖案有邊長為I的小正方形3個，第（2）個圖案有邊長為1的小正方形6個，第（3）個

圖案有邊長為1的小正方形9個，…依此規(guī)律，則第（〃）個圖案中，邊長為1的小正方形

【詳解】?.?第（1）個圖案有邊長為1的小正方形的個數(shù)為：3=3x1,

第（2）個圖案有邊長為1的小正方形的個數(shù)為：6=3x2,

第（3）個圖案有邊長為1的小正方形的個數(shù)為：9=3x3,

第（4）個圖案有邊長為1的小正方形的個數(shù)為：12=3x4,...

第（〃）個圖案有邊長為1的小正方形的個數(shù)為：3”.故3”.

14.（3分）有三把鑰匙（編號分別是1,2,3）與三把鎖（編號分別是4,B,C）,每把

鑰匙只能打開其中一把鎖，每把鎖只有一把鑰匙能打開.如果從三把鑰匙中隨機抽取兩把,

那么能一次性（即不能試）打開Z鎖與8鎖的概率是.

【正確答案】-

6

【詳解】隨機抽取兩把分別打開/,5鎖，所有可能的結(jié)果為：

12,13,21,23,31,32,

共有6種等可能的情況數(shù)，其中能一次性（即不能試）打開4鎖與8鎖的有1種，

所以一次打開/鎖與8鎖的概率=1.故

66

15.（3分）如圖，點/的坐標為（2,0）,點8的坐標為（0,2名），與y軸相切，點

C是04上的動點，射線8c與x軸交于點。，則8。長的最大值等于.

【正確答案】473

【詳解】當射線8c與相切時，BD最大,

如圖，過8作的切線8C'交x軸于。'，8。即為所求，再連接/C',AB,

???點4的坐標為(2,0),點8的坐標為(0,273),:.OA=2,OB=2^3,

:.tanZABO=-=-^==—,.?.480=30°,ZOAB=60°,

OB2G3

根據(jù)切線長定理，BO=BC,ZAB()=ZABC'=30°,AAD'C=30°,AB=AD',

■：AC±BD',BC=CD',BD'=4>/3.故答案為4百.

三.解答題(共8小題，滿分75分)

(-3-2)x(—|)2-(一:尸S

16.(1)計算：52

42

（2）下面是小祺同學化簡分式。+1的過程，請仔細閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

4（?+1）2（a-l）

解：原式（"OS+1）（。-1）（。+1）第一步

=4（a+l）-2（a-l）,……第二步

=4。+4-2。+2...第三步

=2。+6……第四步

任務(wù)一：①以上求解過程中，第一步的依據(jù)是；

②小祺同學的求解過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是.

任務(wù)二：請你寫出正確的化簡過程.

_23

【正確答案】（1）10：（2）分式的基本性質(zhì)，二，丟掉分母，化簡過程見解析

【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算減法即可；（2）任務(wù)一：根據(jù)分式的基本性質(zhì)

求解即可；任務(wù)二：根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則求解即可.

=(-5)x----4+8=-------=——

【詳解】解：(1)原式255210.

（2）任務(wù)一：①以上求解過程中，第一步的依據(jù)是分式的基本性質(zhì):

②小祺同學的求解過程從第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是丟掉分母;

4（a+l）2（a-l）4a+4—2a+22a+6

任務(wù)二：原式（"+1）（”1）（。+1）（“-1）（。+1）（"1）（"1）（"。

2Q+6

-a2-l.

故①分式的基本性質(zhì)；②二、丟掉分母.

本題主要考查了有理數(shù)的四則混合運算、分式的加減等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握分式的

加減運算法則及依據(jù).

17.如圖，四邊形為矩形，4c為對角線，過點。作OE,NC于點E.

（1）尺規(guī)作圖：過點8作OE的平行線，交"C于點F,要求：標明相應(yīng)字母，保留作圖

痕跡不寫作法。（2）在（1）的條件下，求證：DE=BF.

【正確答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（I）以點8為圓心，以適當長為半徑畫弧交4c于點M,N,分別以M,N為圓

-MN

心，大于2的長為半徑畫弧，兩弧將于點P,連接8P并延長交4C于點R則

BFL4C,從而8F//QE

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)即可證明。E=8尸.

【小問1詳解】如圖，即為所求；

【小問2詳解】證明：..?四邊形48CZ）是矩形，.?.△Z8C和△/℃的面積相等，

vDE1AC（BF±ACt：.DE=BF,

本題考查了作圖曰復(fù)雜作圖，矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂線的作法.

18.春節(jié)前夕，赴山西慰問基層干部群眾，1月26日下午，在霍州市師莊鄉(xiāng)馮南垣村同村

民一起揉花饃，花饃將銷往全國各地，臨近年關(guān)，某商店決定購進一批花饃，已知甲種花

饃每件的進價比乙種花饃每件的進價少6元，花180元購買甲種花饃的件數(shù)與花240元購

買乙種花饃的件數(shù)相等.（1）求甲、乙兩種花饃每件的進價；（2）由于暢銷，第一批購進

的花饃已經(jīng)售馨，現(xiàn)該商店決定用4000元再購進一批甲、乙兩種花饃共20°件，結(jié)果恰

逢批發(fā)商進行調(diào)價，甲種花饃在第一批進價的基礎(chǔ)上9折，而乙種花饃比第-一批進價提高

了5%,則最多可購買乙種花饃多少件？

【正確答案】（1）甲種花饃每件的進價為18元，則乙種花饃每件的進價為24元：

（2）84件

【分析】（1）設(shè)甲種花饃每件的進價為x元，則乙種花饃每件的進價為Q+6）元，由題意:

花180元購買甲種花饃的件數(shù)與花24°元購買乙種花饃的件數(shù)相等.列出分式方程，解方

程即可；

（2）設(shè)購買乙種花饃。件，由題意：現(xiàn)該商店決定用4000元再購進一批甲、乙兩種花饃

共20°件，結(jié)果恰逢批發(fā)商進行調(diào)價，甲種花饃在第一批進價的基礎(chǔ)上9折，而乙種花饃

比第一批進價提高了5%,列出一元一次不等式，解不等式即可.

【小問1詳解】設(shè)甲種花饃每件的進價為x元，則乙種花饃每件的進價為（"+9元，

180_240

由題意得：xx+6,解得：x=18,

經(jīng)檢驗，》=18是原方程的解，且符合題意，則x+6=24,

答：甲種花饃每件的進價為18元，則乙種花饃每件的進價為24元；

【小問2詳解】設(shè)購買乙種花饃&件，則購買甲種花饃（20°一"）件,

由題意得：2441+5%）+18X90%X（200-小4000,解得：

；。為正整數(shù)，?"的最大值為84,答：最多可購買乙種花饃84件.

本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：°）找準等量關(guān)

系，正確列出分式方程；0）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

19.第24屆冬季奧林匹克運動會（簡稱“冬奧會”）于2022年2月4日在北京開幕，本屆

冬奧會設(shè)7個大項、15個分項、109個小項，在全國掀起了冰雪運動的熱潮，某校組織了

關(guān)于冬奧知識競答活動，隨機抽取了七年級若干名同學的成績，并整理成如下不完整的頻

數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖：

若干名同學的成績頻數(shù)分布表

分組頻數(shù)

60<x<704

70<x<8012

80<x<9016

90<x<100

請根據(jù)圖表信息，解答下列問題：（1）本次知識競答共抽取七年級同學名；在扇形

統(tǒng)計圖中，成績在“90<xW100”這一組所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為_°；（2）請

將頻數(shù)分布直方圖補充完整；（3）將此次競答活動成績在"8°<XW9°，，的記為良好，

在“90<x410°”的記為優(yōu)秀，已知該校初、高中共有學生2400名，小敏根據(jù)七年級

此次競答活動的結(jié)果，估計該校初、高中學生中對冬奧知識掌握情況達到良好或優(yōu)秀的人

A/XI2400X（40%+20%）=1440'主小心十二加1V/士”且不公工田'（Annimi+tZ4\

數(shù)約為：'7,請你分析她的1l估計是否合理，并說明理由；（4）

該校計劃對此次競答活動成績最高的小穎同學：獎勵兩枚“2022北京冬夢之約”的郵票，

現(xiàn)有如圖所示“2022?北京冬夢之約”的四枚郵票供小穎選擇，依次記為A,

8,C,D,背面完全相同，將這四枚郵票背面朝上，洗勻放好，小穎從中隨機抽取一枚

不放回，再從中隨機抽取一枚.請用列表或畫樹狀圖的方法，求小穎同學抽到的兩枚郵票

恰好是B（冰墩墩）和。（雪容融）的概率.

ABCD

【正確答案】（1）40；72（2）直方圖見解析（3）不合理，理由見解析（4）

]_

6

【分析】（1）由成績在“7°<x”80”的人數(shù)除以所占百分比得出本次知識競答共抽取七

年級同學的人數(shù)，即可解決問題；（2）根據(jù)成績在“9°<居100”這一組的人數(shù)，即可

解決問題；

（3）從學生的學段進行說明即可；（4）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中小穎同

學抽到的兩枚郵票恰好是8（冰墩墩）和C（雪容融）的結(jié)果有2種，再由概率公式求解

即可.

【小問1詳解】解：本次知識競答共抽取七年級同學為：12+30%=40（名），

則在扇形統(tǒng)計圖中，成績在“9°＜苞，1°°”這一組的人數(shù)為：40—4—12—16=8（名）,

在扇形統(tǒng)計圖中，成績在“9°＜與10°”這一組所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為:

Q

360°X—=72°

40,

故40,72；

【小問2詳解】由（1）可知，成績在10°”這一組的人數(shù)為8名,

高中學生對奧運知識的掌握程度不同，該校

七年級學生對奧運知識掌握的程度不能代表全校學生，所以根據(jù)七年級競答活動的結(jié)果,

估計全校學生中奧運知識掌握情況達到優(yōu)秀等級的人數(shù)不合理.

【小問4詳解】畫樹狀圖如下:

BCD

/N/1\/T\/N

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，其中小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是8（冰墩墩）和°（雪容融

）的結(jié)果有2種，故小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是8（冰墩墩）和°（雪容融）的概率為

2_1

12-6,

此題考查的是用樹狀圖法求概率以及頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖等知識.樹狀圖法可以

不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此

題是放回試驗還是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

20.閱讀與思考：請仔細閱讀材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

利用數(shù)學知識求電阻的阻值

數(shù)學和物理的關(guān)系十分密切，數(shù)學是表達物理概念、定律簡明而準確的語言，同時:數(shù)學

為物理提供了計量、計算的工具和方法.

例如：已知兩個電阻"和火2串聯(lián)后的總電阻為7Q,并聯(lián)后的總電阻為彳，求這兩個

電阻的阻值各是多少.

根據(jù)串聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得"+&=7,①

11R,+R,7

--1--=----=一

根據(jù)并聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得《&R#26②

把①代入②，得&生=6③

以上問題也可以通過以下兩種數(shù)學方法求解.

方法1：設(shè)K的阻值為x,則火2的阻值為7-乂根據(jù)③可將問題轉(zhuǎn)化為“°一》）=6是否

有正數(shù)解的問題.

方法2：設(shè)兩個電阻的阻值分別為％和V,則根據(jù)③，得x+?=7,根據(jù)③，得個=6.所

6

y=~

以同時滿足要求的正數(shù)X和丁的值可以看成反比例函數(shù)X的圖象與一次函數(shù)

歹=-》+7的圖象在第一象限內(nèi)的交點坐標（x，V）.

RR

任務(wù)：（1）已知兩個電陽I和5串聯(lián)后的總電阻為10Q,并聯(lián)后的總電阻為5，請

你借助“方法1”，求這兩個電阻的阻值各是多少.

（2）是否存在兩個電阻用和&2,使串聯(lián)后的總電阻為4Q,并聯(lián)后的總電阻為？

小明借助“方法2”解答如下：

假設(shè)存在，設(shè)這兩個電阻的阻值分別為x和丁，

根據(jù)①，得x+V=.根據(jù)③，得肛=.

6

y=—

在如圖所示的直角坐標系中，小明分別畫出了滿足條件的反比例函數(shù)X和一次函數(shù)

y=-x+4的圖象.

觀察圖象可知，（填“存在”或"不存在”）滿足條件的兩個電阻.

【正確答案】（1）4Q和6C；（2）4,6,不存在.

【分析】°）根據(jù)題意，得方程“（10-X）=24解方程即可；

°）根據(jù)題意可得x+?=4,xy=6t求x與V的值即求一次函數(shù)N=T+4與反比例函

6

y=—

數(shù)X有無交點，根據(jù)圖象判斷即可.

x+y=10

<x+y_5

【小問1詳解】解：設(shè)凡=",則&=（1°一"），根據(jù)題意得I912.

得孫=24,將x+〉=l0代入，得”（1°-X）=24,解方程得X=4或X=6,

；?這兩個電阻的阻值分別為：4Q和60.

[x+y=4

【小問2詳解】設(shè)4="，則與=y，根據(jù)題意得19=6,

6

y——

求解X和丁的過程即為求一次函數(shù)V=-x+4與反比例函數(shù)X的交點問題，

根據(jù)圖象可知，兩函數(shù)沒有交點，，不存在滿足條件的兩個電阻.故4,6,不存在.

本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型是解決本題的關(guān)

鍵.

21.2021年是中北大學建校80周年，某?！熬C合與實踐”小組的同學來到中北大學參觀學習,

他們在德懷樓前的廣場上參觀了彭德懷元帥的雕像（如圖D,并計劃測量“彭德懷元帥雕像”

的高度.他們制定了測量并完成了實地測量.如圖2,該小組同學在點0處用測角儀（高

度不計）測得該雕像頂端A的仰角2/￡.=61。，向雕像的另一側(cè)前進9.5m到達點。處,

再次測得該雕像頂端A的仰角NAGN=45。,已知該同學的眼晴到地面的距離為1.5加，

請根據(jù)上述測量數(shù)據(jù)，求彭德懷元帥雕像的高度.（結(jié)果精確到°」加；參考數(shù)據(jù)：

sin61°?0.87,cos61°x0.48,tan61°?1.80）

【正確答案】7.6m

【分析】連接過點/作/8,EG,垂足為8,可得四邊形E8G是矩形，從而

得EG=CO=9.5m,然后設(shè)=在RsABG和RtAABE中,分別表示出E8,

8G的長，列出關(guān)于x的方程，進行計算即可解答.

【詳解】解：連接腦V,過點N作NB,EG,垂足為8,

設(shè)/6=xm在中，ZAGB=45°tan4501,

「nABx5

?EB-------——=_x［口

在必△ABE中，NAEB=6T。"tan61°1.89

?9x+%—95

EB+BG=EG9解得XH6.11「.ZB=6.11

48+EC=6.11+1.5”7.6m彭德懷元帥雕像的高度為76m.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用。仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適

當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

22.綜合與實踐

問題情境：四邊形N8C。是正方形，對角線NC,80相交于點°,尸是正方形內(nèi)一點,

NBFC=90°.將XBFC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到2EC，點、B,尸的對

應(yīng)點分別為點。，E,直線E尸經(jīng)過點°.

特例分析：（1）如圖1,當點P與點。重合時，判斷四邊形CEO/7的形狀，請說明理由,

并直接寫出EF與DE的數(shù)量關(guān)系.

深入探究：（2）如圖2,當點尸與點。不重合時，試判斷。E,E0,W之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

類比遷移：（3）如圖3,將正方形/BCD改為菱形，對角線4C,8。相交于點。,

口是菱形內(nèi)一點，NBFC=90。,招ABFC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AOEC,

點8,產(chǎn)的對應(yīng)點分別為點。，后?請直接寫出°F,EO,之間的數(shù)量關(guān)系.

【正確答案】（1）四邊形CEDE是正方形，理由見解析，EF=^2DE.

（2）EO-FO=6DE,理由見解析；口）OE+OF=6DE,理由見解析

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得ZC'BO,BO=CO=DO,BC=CD,

ZBCD=90°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得C°=°°=CE=DE,可得結(jié)論；

（2）由“SAS”可證△DOEg&BOH,可得DE=BH,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得FC=CE,

NECF=90°=/BCD,BH=BF=DE,可求NHBF=90°,由等腰直角三角形的性

質(zhì)可求HF=6BH,即可求解；

（3）由“S4S1”可證可得N4HD=NDEC=90°,由四邊形內(nèi)角和

定理可求NG=ZFCE=60°,由“ASA”可證/\AOH絲ACOF,可得OH=OF,

可得結(jié)論.

【小問1詳解】四邊形CEQ9是正方形，理由如下，

???四邊形/8c。是正方形，

:.ACVBD，BO=CO=DO，BC=CD，NBC。=90°，

將ABFC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到ADEC,

CO=CEfBO=DEf.?.COMQOMCEMOE,.?.四邊形是菱形，

又???/CA80,.?.四邊形COAE是正方形，即四邊形尸是正方形，

EF=亞DE.

【小問2詳解】E0-F0=41DE,理由如下：

如圖2,延長"1至，，使EO=HO,連接

EO=HO，ZDOE=ZBOH，DO=BO，

:.△D0E]BOH（SAS）,.DE=BH,ABHF=ABFH,

???將XBFC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到,

:.FC=CE,NECF=90°=NBCD,BF=DE,；.NCFE=45°,BH=BF=DE

NBFC=90°,NBFH=180°-NCFE-NBFC=45°=ZBHF,

ZHBF=90°,:.HF=6BH,:.HF=OH-OF=OE-OF=42DEt

圖2

【小問3詳解】°E+°F=6DE,理由如下，

如圖3,過點。作NEO"=120。，交班1的延長線于點H,連接力”,并延長交

EC的延長線于點G,DP工EH于點P,???將繞點0按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得

到ADEC,

:.CE=CF,ED=BF,NECF=/BCD=60。,NBFC=/DEC=90。,

:.XBCD,△CEE都是等邊三角形，/C戶E=NCE尸=60°

ZDCH=/DEC-ZCEF=30°

?；NHDE=T2。。,：./DHE=30°=/DEH,:.DE二DH,

又?；DP工EH,

NDEP=30。，：,HP=PE=6DP,DE=2DP,:.HE=6DE,

?J四邊形/SCO是菱形，/BCD=60°,:.AD=CD,NADC=120。=NEDH,

AO=CO

NADH=NCDE,,-^ADH^^CDE（SAS）,N4HD=NDEC=90°,

NEDH+ZDHG+ZDEG+NG=360°fNG=60°，

NG=NFCE，:.CFHAG，NCAH=NFCO，

又；AO=CO,ZAOH=ZCOF,;.AAOH出ACOF（4S4）,.OH=OFt

：.OE+OF=OH+OE=HE=也DE

本題考查了