第三講數(shù)模微分方程講座

常微分方程理論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用北京理工大學(xué)王宏洲1、微分方程的主要適用范圍

我們所關(guān)心的研究對象的特征，會隨時間(空間)的變化而變化，這種變化可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的。

一般來說，如果判斷研究對象的某些特征可能會關(guān)于時間、空間連續(xù)，那么應(yīng)該重點(diǎn)考慮利用微分方程建立模型，至少可以利用微分方程建立某些子問題的模型。比如，問題中涉及到：(1)物體的運(yùn)動、振動、受力形變(2)生物(動植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化(3)物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞(4)消費(fèi)品在市場上的銷售過程(5)信息的擴(kuò)散與傳播導(dǎo)彈的運(yùn)動軌跡測算，運(yùn)動目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變自然環(huán)境中植物的生長，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進(jìn)，食物鏈問題；動植物、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長；傳染病的傳播與控制粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)比如，問題中涉及到：(1)物體的運(yùn)動、振動、受力形變；(2)生物(動植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化；(3)物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞；(4)消費(fèi)品在市場上的銷售過程；(5)信息的擴(kuò)散與傳播。導(dǎo)彈的運(yùn)動軌跡測算，運(yùn)動目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變自然環(huán)境中植物的生長，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進(jìn)，食物鏈問題；動植物、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長；傳染病的傳播與控制粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)如果研究的是事物在一段時間內(nèi)的變化情況，或者說在這個過程中發(fā)生了什么————微分方程的求解和求數(shù)值解如果研究的是事物未來的發(fā)展趨勢，穩(wěn)態(tài)情形，或者無法/無須獲得精確的解————可以利用微分方程幾何理論2、微分方程模型的分析方法3、方程的階數(shù)注意不同階方程的實(shí)際意義表達(dá)的是某個變量的增長速度，與其當(dāng)前狀態(tài)和時間變量之間的關(guān)系。從幾何的角度來理解，表達(dá)的是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，與函數(shù)本身及自變量之間的關(guān)系。表達(dá)的是某個變量的增量，與其當(dāng)前狀態(tài)和所處時間段之間的關(guān)系。如果討論的事物，有多個變量會隨著時間變化，而且可以分析出這些變量的增長速度與事物當(dāng)前狀態(tài)和時間變量之間的關(guān)系，可以考慮建立一階微分方程組。3、方程的階數(shù)二階、二階以上的常微分方程通常用于有運(yùn)動的物理現(xiàn)象。通常經(jīng)濟(jì)、管理、生態(tài)系統(tǒng)等領(lǐng)域，較少有實(shí)際量會涉及到二階導(dǎo)數(shù)，即所謂的加速度。偏微分方程比較復(fù)雜，比如對于u(x,y)：u為產(chǎn)品銷量；x為產(chǎn)品價格；y為廣告宣傳費(fèi)用。表示固定y時，u關(guān)于x的變化速度和加速度表示u關(guān)于x的變化速度，在y變化時的變化幅度理解為：價格變動時銷量的增幅，關(guān)于廣告費(fèi)用的變化速度。4、建立微分方程模型的依據(jù)根據(jù)問題的背景資料，或者我們自己查到的資料，隨著時間/空間的變化，問題中的某些指標(biāo)的變化情況，與另外一些指標(biāo)的數(shù)值或變化情況呈現(xiàn)比例關(guān)系，或其他的簡單函數(shù)關(guān)系，則可以據(jù)此建立微分方程模型。建立微分方程模型時，需要注意：所建立的方程或方程組應(yīng)滿足守恒定律；如果希望得到解析解進(jìn)行深入分析，則盡量簡化方程；注意掌握微分方程幾何理論，用于做定性的討論；如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的轉(zhuǎn)化為微分方程進(jìn)行定性討論；微分方程屬于比較理想化的建模方法，適合用于定性討論或精度要求不高的情形下。5、案例－物體的運(yùn)動、振動、受力形變導(dǎo)彈的運(yùn)動軌跡測算，運(yùn)動目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變此類問題一般都可以參照經(jīng)典的物理原理，建立微分方程模型，在此基礎(chǔ)上再考慮一些細(xì)節(jié)問題即可。比如往年美國競賽題中的摩托車特技飛躍問題。其中x表示特技演員的位置向量，g表示重力加速度，k表示空氣阻力系數(shù)，v表示標(biāo)量運(yùn)動速度，m表示演員+車的質(zhì)量。運(yùn)動方程不是模型的難點(diǎn)，但卻是一個關(guān)鍵的基礎(chǔ)問題。6、案例－生物的數(shù)量變化或密度變化自然環(huán)境中植物的生長，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進(jìn)，食物鏈問題；動植物、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長；傳染病的傳播與控制一個封閉的環(huán)境中，沒有天敵的某種生物，其數(shù)量變化一般都可以假設(shè)服從Logistic規(guī)律：或一個封閉的環(huán)境中，兩個種群競爭，其數(shù)量變化一般都可以假設(shè)滿足競爭模型：傳染病或病毒的擴(kuò)散，被感染者的數(shù)量變化一般可以用下面的模型表示：如果存在退出系統(tǒng)的情形，則被感染者的數(shù)量變化一般可以用下面的模型表示：涉及到狀態(tài)轉(zhuǎn)變時，特別注意系統(tǒng)的守恒問題！sir這里的不同之處在于，物質(zhì)或能量是一定的，不會有新的物質(zhì)或能量產(chǎn)生。比如不考慮重力影響時，空間中不同位置粉塵、煙霧的濃度變化可以用下面的擴(kuò)散方程描述：7、案例－物質(zhì)、能量的擴(kuò)散與傳遞粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)。

中心室周邊室給藥排除藥物在體內(nèi)的傳遞與排出問題8、案例－消費(fèi)品在市場上的銷售過程新產(chǎn)品入市之后，如果對銷量進(jìn)行預(yù)測？或者說，如何描述新產(chǎn)品占領(lǐng)市場的過程？設(shè)需求量有一個上界，并記此上界為K，記t時刻已銷售出的產(chǎn)品數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，則基于阻滯增長模型，可以認(rèn)為：記比例系數(shù)為k：研究機(jī)構(gòu)預(yù)測某種商品近期的銷量時，一般采用線性估計辦法給出銷量區(qū)間。如果希望預(yù)測較長時間內(nèi)的銷量，則可以采用上面的形式。在預(yù)測商品的銷量時，連續(xù)性模型一般不便于使用，采用離散形式的阻滯增長模型更方便一些。如果考慮更復(fù)雜一些的情形，比如部分早期用戶更新對銷量的影響，可以采用時滯微分方程。考慮早期用戶更新的因素，可以采用時滯微分方程。搜集數(shù)據(jù)，計算方程中的參數(shù)，即可得到銷量的遞推公式求解時滯微分方程求解需要初始條件！求解需要初始條件！已知過去一段時間的情況，希望了解將來。根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，推算過去發(fā)生了什么。9、微分方程定性分析方法簡介不求解，直接分析解的一些性態(tài)。1、x只能取正值；2、x<N；3、r和N均為正數(shù)。結(jié)論：1、隨著時間增加，x

始終單調(diào)遞增；2、時間趨于無窮時，x

無限逼近N；3、可以大致繪出解的曲線。xx0NtN/2tmxtxy2x+4y=0

希望知道時間充分長以后會如何，即研究事物最終的發(fā)展趨勢。10、穩(wěn)定性模型比如，前面提到的：(1)物體的運(yùn)動、振動、受力形變——極限是什么？(2)生物(動植物、微生物)的量變或密度變化——穩(wěn)定狀態(tài)？(3)物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞——均衡狀態(tài)是怎樣的？(4)消費(fèi)品在市場上的銷售過程——市場容量是多少？(5)信息的擴(kuò)散與傳播——最大影響范圍是什么？(1)運(yùn)動狀態(tài)穩(wěn)定下來之后會是什么情形？長期受力的結(jié)果是什么？(2)對生態(tài)系統(tǒng)放任自流，或者加以干涉，最終會導(dǎo)致什么后果？比如，前面提到的：(1)物體的運(yùn)動、振動、受力形變(2)生物(動植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化(3)物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞(4)消費(fèi)品在市場上的銷售過程(5)信息的擴(kuò)散與傳播(3)如果不斷有物質(zhì)或能量的補(bǔ)充，那么最終物質(zhì)和能量的分布情況如何？(4)商品不斷銷售，用戶也會報廢舊品，最終穩(wěn)定下來的市場銷量會是多少？(5)如果對信息的擴(kuò)散與傳播加以干涉，那么信息最后的分布情況如何？案例一、傳染病模型問題背景：通過建立數(shù)學(xué)模型，了解傳染病的傳播規(guī)律，從而為傳染病的防治和撲滅提供有益的科學(xué)依據(jù)。建立傳染病要考慮的因素非常多，如傳染速度、醫(yī)療能力、死亡、新生人口數(shù)量、人口年齡性別結(jié)構(gòu)等。具體到不同的疾病，還有傳播途徑、發(fā)作速度等問題。此外，傳染病模型可以參照用于討論計算機(jī)病毒的傳播特征等方面。模型目標(biāo)問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報傳染病高潮到來的時刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型模型假設(shè)基本假設(shè)：傳染病是由病人通過“接觸”健康人進(jìn)行傳播的.疾病流行區(qū)域內(nèi)的人分為三類：S類——易感人群；I類——病人；R類——移出者。為簡單起見，假設(shè)本地區(qū)總?cè)丝诓蛔?，為N。1、SI模型（只考慮S和I兩類人）(1)除染病、不染病之外，人群的個體之間沒有差異。病人與易感者的個體在人群中混合均勻，即S類、I類人群的數(shù)量只與時間有關(guān)。記s(t)為t時刻健康人占總?cè)丝诘谋壤齣(t)為t時刻病人的比例，則s(t)+i(t)=1。(2)人群數(shù)量足夠大，只考慮傳播過程中的平均效應(yīng)，即函數(shù)s(t)和i(t)可以視為連續(xù)且可微的。(3)每個I類的人每天“有效接觸”的人數(shù)（包括病人、健康人）為常數(shù)λ。這個常數(shù)實(shí)際上就是傳染率，反映本地區(qū)的衛(wèi)生水平。(4)不考慮出生與死亡，以及人群的遷入遷出因素。（簡化問題）構(gòu)造模型考慮t到t+Δt時間內(nèi)病人人數(shù)的變化，根據(jù)假設(shè)(1)，應(yīng)該分別是Ni(t)和Ni(t+Δt)，所以在Δt時間內(nèi)受感染的人數(shù)為：令Δt→0，得到微分方程：(Logistic模型)模型求解(Logistic模型)它的通解為

這個模型可以用于預(yù)報傳染病爆發(fā)早期，患病人數(shù)的發(fā)展規(guī)律，并預(yù)測傳染高峰的時間。SI模型圖形分析idi/dttmt0

1/2i1

(di/dt)m1/2i0病人比例隨時間的變化規(guī)律

病人數(shù)增長速率與病人數(shù)的關(guān)系

高峰期SI模型結(jié)果分析這個模型的缺陷是顯而易見的.比如t→+∞時，i(t)→1，這表明本地區(qū)最后所有人都會被感染。出現(xiàn)這種結(jié)果的原因是假設(shè)系統(tǒng)中只有兩種人，即病人和易感人群，而且沒有考慮病人會被治愈的因素。1.假設(shè)(前面四條都和模型A一樣，再添加一條)（5）病人以固定的比率痊愈，再次成為易感人群。每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為μ。2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）μ表示日治愈率，表現(xiàn)的是本地區(qū)的醫(yī)療水平，所以1/μ就可以表示傳染病的平均感染期，也是一個病人從發(fā)病到被治愈經(jīng)歷的時間。根據(jù)假設(shè)5，Logistic模型被修改為：構(gòu)造模型定義一個常數(shù)σ=λ∕μ，根據(jù)λ和1/μ的定義，σ就是一個病人在整個患病期間有效接觸的平均人數(shù)，這在模型里被稱為接觸數(shù)。將σ代入方程中，得到求解這個方程，得到解為模型求解σ>1時，t→+∞則i(t)→1-1/σ。畫出解的圖象為：σ<1，t→+∞時i(t)→0.σ=λ∕μ1-1/σiti0i0模型結(jié)果分析ii00tσ<1，t→+∞時i(t)→0.

σ=λ∕μ1、假設(shè)：這里的假設(shè)類似于模型B，只是引入R類人群。分別記s(t)、i(t)、r(t)為病人、易感人群、移出者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤?。s(t)+i(t)+r(t)=1。另外，日接觸率λ，日治愈率μ。3、SIR模型（免疫模型）根據(jù)假設(shè)，模型被修正為

初值條件為i(0)=i0，r(0)=r0，s(0)=s0。注意：此方程組無法求解析解?？梢郧髷?shù)值解模型求解將方程組轉(zhuǎn)化成下面的形式：其中s≥0，i≥0且s+i≤1。此方程是可以求解析解求解得到：考察隨著時間的推移，s(t)、i(t)、r(t)的變化規(guī)律。首先，t→+∞時，分別以s

,i

,r

記各自的極限，這些極限都存在。模型分析i

=0?（用反證法）假設(shè)i

0，那么必然有i

=>0。根據(jù)極限的定義，對于充分大的t，都應(yīng)該有i(t)>ε/2，把這個結(jié)論代入方程組。模型分析dr/dt=μi>με/2這會導(dǎo)致r(t)→+∞，這跟上面r(t)的極限也存在的結(jié)論有矛盾。所以只能有：i

=0，即傳染病最終將消失。其次，考慮隨著t的變化，i-s平面上解的軌線變化情況。大概的走勢圖為：模型分析i101/σsσ=λ∕μi101/σss0>1/

時，i(t)先升后降至0傳染病蔓延s0<1/

時，i(t)單調(diào)降至0傳染病不會蔓延開來1/σ是一個邊界點(diǎn)，為了讓傳染病不蔓延，需要調(diào)整s0和1/σ。具體的方法：一是降低s0，如接種疫苗，使S類人群直接變成R類；二是提高1/σ使之大于s0，σ=λ/μ,也就是降低λ而提高μ，強(qiáng)化衛(wèi)生教育和隔離病人，同時提高醫(yī)療水平。模型分析對參數(shù)σ的估計：令解兩端同時取t→+∞，因為i

=0，得到

參數(shù)估計根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和此公式就可以得到σ的估計值。關(guān)于傳染病模型，我們還可以進(jìn)一步考慮更復(fù)雜的情形，如考慮出生率、死亡率、防疫措施的作用、潛伏期等。其他類型的傳染病模型SIES模型——健康－染病－潛伏期－健康不免疫SIER模型——健康－染?。瓭摲冢瞥鱿到y(tǒng)SIRS模型——健康－染?。虝r免疫－健康(易感)考慮抵抗能力考慮地域傳播考慮傳播途徑(接觸、空氣、昆蟲、水源等)數(shù)學(xué)模型?微分方程穩(wěn)定性方法建模北京理工大學(xué)王宏洲

對象仍是動態(tài)過程，建模目的變成了時間充分長以后會如何？即研究事物最終的發(fā)展趨勢。

借助微分方程穩(wěn)定性理論，不求解微分方程，描述事物某些特征的最終穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定性模型比如，商品的價格與其價值的變化關(guān)系；食肉動物與草食性動物數(shù)量的變化規(guī)律；侵入人體的病菌與白血球的數(shù)量變化關(guān)系。隨著時間的推移，最終的結(jié)局是什么？穩(wěn)定性模型

由于諸多偶然因素以及參數(shù)變化的影響，通常微分方程用來做長期預(yù)測，效果并不夠好，在精度上難以讓人滿意。如各種人口模型。

不過即便誤差很大，但微分方程穩(wěn)定性模型反映出來的發(fā)展趨勢還是有借鑒意義的。

另外，很多微分方程穩(wěn)定性模型的最終目的并不是預(yù)測，而是尋找控制手段。事物發(fā)展的穩(wěn)定與不穩(wěn)定t這些現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中都有實(shí)用背景和研究價值微分、差分方程穩(wěn)定性理論簡介常微分方程穩(wěn)定性理論差分方程穩(wěn)定性理論參考書：《常微分方程幾何理論與分支問題》，張錦炎，北京大學(xué)出版社涉及“常微分方程定性理論”的其他書籍。一、常微分方程穩(wěn)定性理論1、一階微分方程方程右端不顯含t平衡點(diǎn)穩(wěn)定的幾何特征txx0穩(wěn)定不穩(wěn)定一階微分方程通常判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性有兩種方法，直接求解法和定性分析法。定性分析法1、若方程為線性，即f(x)=ax+b，則a<0穩(wěn)定，

a>0不穩(wěn)定；2、若方程為非線性，即x`(t)=f(x)，考慮f`(x0)。

f`(x0)<0穩(wěn)定，f`(x0)>0不穩(wěn)定。2、二階微分方程所以討論二階微分方程的穩(wěn)定性往往就歸結(jié)為對二維一階方程組的討論二階微分方程求方程組的平衡點(diǎn)，即求解下面設(shè)法給出P0穩(wěn)定的判斷準(zhǔn)則。二階微分方程首先將方程組線性化：其系數(shù)矩陣為：二階微分方程二階微分方程的穩(wěn)定性由p

和q

的正負(fù)決定。p>0且q>0時平衡點(diǎn)P0穩(wěn)定；p<0或q<0時平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定.3、一階線性差分方程4、二階線性差分方程5、一階非線性差分方程一、兩個生物種群的競爭模型考慮兩個生物種群競爭同一種有限資源的問題。在自然條件下，適應(yīng)環(huán)境能力弱的種群將趨于滅亡，適應(yīng)能力強(qiáng)的種群將增長到環(huán)境允許的最大數(shù)量。種群競爭模型現(xiàn)在已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到描述企業(yè)、國家等社會實(shí)體之間的競爭研究中。下面通過建立模型來解釋這種現(xiàn)象，并分析出現(xiàn)各種結(jié)局的條件。生存空間論戰(zhàn)略空間論能源競爭企業(yè)間的市場競爭1.模型的建立設(shè)同一環(huán)境中有甲、乙兩個種群，x1(t)、x2(t)分別記t時刻甲、乙種群的數(shù)量；r1、r2為各自固有的增長率，N1、N2為各自環(huán)境最大容量。據(jù)此建立下面的模型：其中

1，2是非常關(guān)鍵的指標(biāo)，反映一個種群對另一種群的競爭能力。2.穩(wěn)定性分析（競爭的結(jié)局）2.1求平衡點(diǎn)令f(x1,x2)=g(x1,x2)=0，得到四個平衡點(diǎn)：P1(N1,0)，P2(0,N2)，P3(0,0)，pq穩(wěn)定條件P1r1-r2(1-

2)-r1r2(1-

2)P2-r1(1-

1)+r2-r1r2(1-

1)P3-(r1+r2)r1r2P4[r1(1-

1)+r2(1-

2)](1-

1

2)-1r1r2(1-

1)(1-

2)(1-

1

2)-1

2>1(1<1)

1>1(

2<1)不穩(wěn)定

1<1

2<1p>0而且q>02.2平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性根據(jù)前面的方法不能給出各個平衡點(diǎn)全部的穩(wěn)定性條件。下面對

1和

2分情況討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件。考慮轉(zhuǎn)到相平面上，即在x1-x2平面上研究方程解沿著t增加所表現(xiàn)出的趨勢。x1’(t)=r1x1(1-x1/N1-

1x2/N2)x2’(t)=r2x2(1-

2x1/N1-x2/N2)可知，在任意時刻，x1(t)和x2(t)是增是減由

=1-x1/N1-

1x2/N2

和

=1-

2x1/N1-x2/N2

決定。1、

1<1，2>1S1S2S3ON1/

2N1x1x2N2/

1N2

=0

=0這時=0和

=0將相平面分為三個區(qū)域：S1：x’1>0,x’2>0;S2：x’1>0,x’2<0;S3：x’1<0,x’2<0.t增加時，所有解都將趨于P1，所以P1是穩(wěn)定的。ON1x1x2N22、1>1，2<1，P2穩(wěn)定3、

1<1，2<1，P3穩(wěn)定ON1N1/

2x1P3N2N2/

1x2ON1/

2N2x1P3x2N2N2/

14、

1>1，2>1，方程的解不存在統(tǒng)一的發(fā)展趨勢。一(2)生物互惠共生模型甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)甲可以獨(dú)自生存，乙不能；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。2)甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。3)甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。第一種情形模型假設(shè)甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進(jìn)增長。乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進(jìn)增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的

1

倍甲為乙提供食物是乙消耗的

2

倍平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析平衡點(diǎn)有三個：P1(N1,0),P3(0,0)種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點(diǎn)0

1<1,

2>1,

1

2<1

P2穩(wěn)定模型結(jié)果分析

1

2<1~

2>1

前提下P2存在的必要條件

2>1~甲必須為乙提供足夠的食物——甲為乙提供的食物是乙消耗的

2

倍

1<1~

2>1,

1

2<1

的需要，且

1必須足夠小，才能在

2>1條件下使

1

2<1

成立

P2穩(wěn)定條件：

1<1,

2>1,

1

2<1甲可以獨(dú)自生存乙不能獨(dú)立生存一(3)食餌-捕食者模型

種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。

模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？生態(tài)系統(tǒng)、農(nóng)業(yè)病蟲害研究市場經(jīng)濟(jì)管理企業(yè)經(jīng)營策略食餌（甲）數(shù)量x(t),

捕食者（乙）數(shù)量

y(t)甲獨(dú)立生存的增長率r乙使甲的增長率減小，減小量與

y成正比乙獨(dú)立生存的死亡率d甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無解析解食餌-