考點05函數(shù)的概念與基本性質(zhì)

考點05函數(shù)的概念與基本性質(zhì)1.【2023新高考Ⅱ卷】若f(x)=(x+a)ln2x?12x+1為偶函數(shù)，則a=A.?1 B.0 C.12 D.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，屬于基礎題．

根據(jù)偶函數(shù)有f(?x)=f(x)，即可求參數(shù)a．

【解答】

解：因為g(x)=ln2x?12x+1是奇函數(shù)，而f(x)=(x+a)g(x)為偶函數(shù)，有

f(?x)=(?x+a)g(?x)=?(?x+a)g(x)=(x+a)g(x)=f(x)，故x?a=x+a，則a=0，

2.【2023全國甲卷】已知函數(shù)f(x)=e?(x?1)2．記a=f(22)，b=f(A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】A

【解析】【分析】本題考查利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小，屬中檔題．

先通過函數(shù)解析式判斷函數(shù)對稱性和單調(diào)性，進一步可判斷選項．【解答】解：函數(shù)f(x)=e?(x?1)2圖象關(guān)于直線函數(shù)在(?∞,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，2則b>c>a.

故選A．3.【2022新高考Ⅱ卷】若函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)，f(1)=1，則k=122f(k)=A.?3 B.?2 C.0 D.1【答案】A

【解析】【分析】本題考查函數(shù)性質(zhì)的應用，涉及函數(shù)的周期與賦值法的應用。【解答】解：令y=1得f(x+1)+f(x?1)=f(x)?f(1)=f(x)?f(x+1)=f(x)?f(x?1)

故f(x+2)=f(x+1)?f(x)，f(x+3)=f(x+2)?f(x+1)，

消去f(x+2)和f(x+1)得到f(x+3)=?f(x)，故f(x)周期為6;

令x=1，y=0得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)?f(0)=2，

f(2)?=f(1)?f(0)=1?2=?1，

f(3)=f(2)?f(1)=?1?1=?2，

f(4)=f(3)?f(2)=?2?(?1)=?1，

f(5)=f(4)?f(3)=?1?(?2)=1，

f(6)=f(5)?f(4)=1?(?1)=2，

故k=122f(k)=3[f(1)+f(2)+?+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)

=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(?1)+(?2)+(?1)=?3

4.【2022全國乙卷】已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2?x)=5，g(x)?f(x?4)=7，若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4，則k=122f(k)=A.?21 B.?22 C.?23 D.?24【答案】D

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的對稱性，周期性，屬于拔高題．【解答】

解：若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，則g(2?x)=g(2+x)，因為

f(x)+g(2?x)=5，所以f(?x)+g(2+x)=5，故f(?x)=f(x)，f(x)為偶函數(shù).由

g(2)=4，f(0)+g(2)=5，得f(0)=1.由g(x)?f(x?4)=7，得g(2?x)=f(?x?2)+7，

代入f(x)+g(2?x)=5，得f(x)+f(?x?2)=?2，f(x)關(guān)于點(?1,?1)中心對稱，所以

f(1)=f(?1)=?1.由f(x)+f(?x?2)=?2，f(?x)=f(x)，得f(x)+f(x+2)=?2，所

以f(x+2)+f(x+4)=?2，故f(x+4)=f(x)，f(x)周期為4.由f(0)+f(2)=?2，得

f(2)=?3，又f(3)=f(?1)=f(1)=?1，所以k=122f(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=5.【2021全國甲卷】下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(

)A.f(x)=?x B.f(x)=(23)x C.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎題．

結(jié)合基本初等函數(shù)在定義域上的單調(diào)性分別檢驗各選項即可判斷．【解答】

解：由一次函數(shù)性質(zhì)可知f(x)=?x在R上是減函數(shù)，不符合題意；

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知f(x)=(23)x在R上是減函數(shù)，不符合題意；

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)=x2在R上不是增函數(shù)，不符合題意；

根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可知f(x)=36.【2021全國乙卷】設函數(shù)f(x)=1?x1+x，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是

(

)A.f(x?1)?1 B.f(x?1)+1 C.f(x+1)?1 D.f(x+1)+1【答案】B

【解析】【分析】本題考查了函數(shù)奇偶性和函數(shù)的圖象變換，解題的關(guān)鍵是確定f(x)的對稱中心，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．

先根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式，得到f(x)的對稱中心，然后通過圖象變換，使得變換后的函數(shù)圖象的對稱中心為(0,0)，從而得到答案．【解答】

解：因為f(x)=1?x1+x=?(x+1)+21+x=?1+2x+1，

所以函數(shù)f(x)的對稱中心為(?1,?1)，

所以將函數(shù)f(x)向右平移一個單位，向上平移一個單位，

得到函數(shù)y=f(x?1)+1，該函數(shù)的對稱中心為(0,0)，7.【2021全國Ⅱ卷】設函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+2)為偶函數(shù)，f(2x+1)為奇函數(shù)，則

(

)A.f?12=0 B.f(?1)=0 C.【答案】B

【解析】【分析】本題是對函數(shù)奇偶性和周期性的綜合考查．

推導出函數(shù)fx是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出f【解答】

解：因為函數(shù)fx+2為偶函數(shù)，則f2+x=f因為函數(shù)f2x+1為奇函數(shù)，則f1?2x=?f所以，f(x+3)=?f(x+1)，即f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，故函數(shù)fx是以4因為函數(shù)Fx=f2x+1故f?1故選B．8.【2021全國甲卷】設函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當x∈[1,2]時，f(x)=ax2+b.A.?94 B.?32 C.【答案】D

【解析】【分析】本題考查函數(shù)奇偶性的應用，屬于中檔題．

由f(x+1)為奇函數(shù)，可得f(1)=0，結(jié)合x∈[1,2]上的函數(shù)解析式可得b=?a，再根據(jù)f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，分別計算出f(0)與f(3)，結(jié)合條件可得a=?2，最后將f92轉(zhuǎn)化為【解答】

解：因為f(x+1)為奇函數(shù)，所以f(1)=0，即a+??b=0，所以b=???a.

又f(0)=??f(?1+1)=???f(1+1)=???f(2)=?4??a???b=?3??a.

f(3)=??f(1+2)=??f(?1+2)=f(1)=0，

由f(0)+??f(3)=6，得a=?2.

f(92)=f(2+52)=f(2?9.【2020全國Ⅰ卷】若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(?∞,0)單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x?1)≥0的x的取值范圍是

(

)A.[?1,1]∪[3,+∞) B.[?3,?1]∪[0,1] C.[?1,0]∪[1,+∞) D.[?1,0]∪[1,3]【答案】D

【解析】【分析】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，考查運算求解及邏輯推理能力，屬于一般題．

根據(jù)題意，不等式xf(x?1)?0可化為x?0f(x?1)?0

或x?0【解答】解：根據(jù)題意，不等式xf(x?1)?0可化為x?0f(x?1)?0

或由奇函數(shù)性質(zhì)得f(?2)=?f(2)=0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以x?00?x?1?2或x?1??2或x?0?2?x?1?0或x?1?2,

解得1?x?3滿足xf(x?1)?0的x的取值范圍是x∈[?1,0]∪[1,3]．故選D．10.【2023新高考Ⅰ卷】已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)A.f(0)=0 B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數(shù) D.x=0為f(x)的極小值點【答案】ABC

【解析】【分析】本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的極值點，屬中檔題．通過賦值法，可判斷ABC選項.對于D選項可設常函數(shù)f(x)=0

，進行排除．【解答】解：選項A，令x=y=0，則f(0)=0×f(0)+0×f(0)，則f(0)=0，故A正確;選項B，令x=y=1，則f(1)=1×f(1)+1×f(1)，則f(1)=0，故B正確;選項C，令x=y=?1，則f(1)=(?1)2×f(?1)+(?1再令y=?1，則f(?x)=(?1)2f(x)+x2f(?1)選項D，不妨設f(x)=0為常函數(shù)，且滿足原題f(xy)=y2f(x)+故選：ABC.11.【2022新高考Ⅰ卷】已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f′(x)的定義域為R，記g(x)=f′(x).若f(32?2x)，g(2+x)均為偶函數(shù)，則

(

)A.f(0)=0 B.g(?12)=0 C.f(?1)=f(4)【答案】BC

【解析】【分析】本題主要考查導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的對稱性及奇偶性，屬于難題.利用函數(shù)的奇偶性及周期性，導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系逐項分析即可．【解答】解：由f(32?2x)為偶函數(shù)可知f(x)關(guān)于直線x=32對稱，

由g(2+x)為偶函數(shù)可知g(x)關(guān)于直線x=2對稱，

結(jié)合g(x)=f′(x)，根據(jù)g(x)關(guān)于直線x=2對稱可知f(x)關(guān)于點(2,t)對稱，

根據(jù)f(x)關(guān)于直線x=32對稱可知：g(x)關(guān)于點(32,0)對稱，

綜上，函數(shù)f(x)與g(x)均是周期為2的周期函數(shù)，所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正確;

f(?1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(?1)=f(4)，所以C正確．

g(?12)=g(312.【2023全國甲卷】若f(x)=(x?1)2+ax+sin(x+π【答案】2

【解析】【分析】本題考查由函數(shù)的奇偶性求參，屬于基礎題．化簡表達式，由偶函數(shù)的定義可得結(jié)果．【解答】解：f(x)=(x?1)所以f(?x)=x由題意知f(x)=f(?x)，即(a?2)x=0對x∈R恒成立，故答案為2.

13.【2022北京】函數(shù)f(x)=1x+1?x【答案】(?∞,0)∪(0,1]

【解析】【分析】本題考查求函數(shù)的定義域，屬于基礎題．【解答】

解：依題意x≠0,1?x≥0,解得x∈(?∞,0)U(0,1]14.【2022全國乙卷】若f(x)=ln|a+11?x|+b是奇函數(shù)，則a=

，【答案】?ln【解析】【分析】本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求參，屬于較難題．【解答】

解：f(x)=lna?ax+11?x+b=lnax?a?1x?1+b，

f(?x)=lnax+a+1x+1+b，

f(x)+f(?x)=lnax?(a+1)x?115.【2022浙江】已知函數(shù)f(x)=?x2+2,x≤1,x+1x?1,x>1,則f(f(12))=

;【答案】373+【解析】【分析】本題考查函數(shù)值計算，利用函數(shù)值域求自變量取值范圍．【解答】

解：由題可知：f(12)=14=74，所以f(f(12))=f(74)=3728．

當x≤1時，令f(x)∈[1,3]，解得x∈[?1,1];

當16.【2022北京】設函數(shù)f(x)=?ax+1,x<a(x?2)2,x≥a，若f(x)存在最小值，則a的一個取值為

，【答案】0(答案不唯一)；1

【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)的取值問題，題目較難．【解答】

解：由題意知，函數(shù)最值與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)，故可考慮以0，2為分界點研究函數(shù)的性質(zhì)，

當a<0時，f(x)=?ax+1，x<a，該段的值域為(?∞,?a2+1)，故整個函數(shù)沒有最小值;

當a=0時，f(x)=?ax+1，x<a該段的值域為{1}，而f(x)=x?22，x?a的值域為[0,+∞)，故此時f(x)的值域為[0,+∞)，即存在最小值為0，故第一個空可填寫0;

當0<a?2時，f(x)=?ax+1，x<a，該段的值域為(?a2+1,+∞)，而f(x)=(x?2)2，x≥a的值域為[0,+∞)，若存在最小值，則需滿足?a2+1≥0，于是可得0<a?1;

當a>2時，f(x)=?ax+1，x<a，該段的值域為?a2+1,+∞.而f(x)=(x?217.【2021浙江】已知a∈R，函數(shù)f(x)=x2?4,x>2|x?3|+a,x≤2，若f(f(6【答案】2

【解析】【分析】本題考查了分段函數(shù)，屬于基礎題．

先得出f(【解答】

解：f(6)=6?4=2，

所以f(f(6))=f(2)=1+a=3，

可得18.【2021新高考Ⅱ卷】寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)fx:

．①fx1x2=fx1fx2；【答案】f(x)=x2(答案不唯一，f【解析】【分析】本題是開放性問題，合理分析所給條件找出合適的函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．

根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的fx【解答】

解：取f(x)=x2，則f(xf?′(x)=2x，x>0時有f′f?′(x)=2x又f?′(?x)=?2x=?f?′故答案為：f(x)=x2(答案不唯一，19.【2020北京】函數(shù)f(x)=1x+1+lnx的定義域是

【答案】{x|x>0}

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎題．

根據(jù)函