《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》（何文閣） 第八章教案 8.3.3向量空間

課題向量空間課時(shí)1課時(shí)（45min）總66課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）理解向量空間的概念。（2）會(huì)求向量在基下的坐標(biāo)。思政育人目標(biāo)：能夠意識(shí)數(shù)學(xué)在整個(gè)生活中的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)解決生活實(shí)際問(wèn)題的妙處，培養(yǎng)熱愛(ài)學(xué)生熱愛(ài)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣，樹(shù)立探究意識(shí)，使其能激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維能力教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：向量空間的概念教學(xué)難點(diǎn)：向量在基下的坐標(biāo)的求法教學(xué)方法講練結(jié)合法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)→→→傳授新知（23min）→強(qiáng)化訓(xùn)練（10min）→課堂小結(jié)（3min）→教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過(guò)文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，完成課前任務(wù)請(qǐng)大家預(yù)習(xí)所學(xué)知識(shí)?！緦W(xué)生】完成課前任務(wù)通過(guò)課前任務(wù)，提升學(xué)習(xí)效率考勤（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到，清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況問(wèn)題導(dǎo)入（5min）【教師】提出以下問(wèn)題：回憶上一節(jié)學(xué)習(xí)的向量組的秩，那么秩是不是向量空間的維度？【學(xué)生】思考、舉手回答通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（23min）【教師】通過(guò)學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)知識(shí)點(diǎn)向量空間的概念?【教師】提出向量空間的概念定義7設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對(duì)于向量加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)集合為向量空間．所謂封閉，是指集合V中可以進(jìn)行向量的加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算．具體地說(shuō)，就是：若，則；若，則．?【學(xué)生】記憶和理解概念?【教師】提出例題例7證明：3維向量的全體，是一個(gè)向量空間例8判斷集合是否為向量空間．例9判斷集合是否為向量空間．例10設(shè)為兩個(gè)已知的維向量，集合，試判斷集合是否為向量空間．?【學(xué)生】理解，記憶，演算知識(shí)點(diǎn)n維向量構(gòu)成的向量空間?【教師】提出n維向量構(gòu)成的向量空間定義8設(shè)為一個(gè)維向量組，它們的線(xiàn)性組合構(gòu)成一個(gè)向量空間，記作?【學(xué)生】理解定義?【教師】提出例題例11設(shè)向量組與向量組等價(jià)，記，，試證：．?【學(xué)生】聆聽(tīng)，理解，記憶知識(shí)點(diǎn)子空間?【教師】提出子空間定義9設(shè)有向量空間及，若向量空間，則稱(chēng)是的子空間．顯然，零向量屬于任何向量空間．如果是向量空間，則和都是的子空間，將它們稱(chēng)為的平凡子空間．的其他子空間稱(chēng)為的非平凡子空間．任何維向量所構(gòu)成的向量空間都是的子空間．特別地，維向量組所生成的向量空間也是的子空間．?【學(xué)生】記憶和理解定義內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)向量空間的基與維數(shù)?【教師】提出向量空間的基與維數(shù)定義10設(shè)是向量空間，如果個(gè)向量，且滿(mǎn)足：（1）線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（2）中任一向量都可由線(xiàn)性表示，則稱(chēng)向量組為向量空間的一個(gè)基，稱(chēng)為向量空間的維數(shù)，并稱(chēng)為維向量空間．用表示向量空間的維數(shù)．n維向量空間中任n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量皆是n維空間中的一組基．?【學(xué)生】記憶和理解定義內(nèi)容?【教師】提出向量在基下的坐標(biāo)例題例12，，是的一個(gè)基，并將用這個(gè)基線(xiàn)性表示．?【學(xué)生】記憶和理解定理內(nèi)容。知識(shí)點(diǎn)過(guò)渡矩陣和坐標(biāo)變化公式?【教師】提出過(guò)渡矩陣和坐標(biāo)變化公式定義11設(shè)是向量空間的一個(gè)基，則對(duì)任意的，存在唯一一組有序數(shù)，使，則稱(chēng)這組有序數(shù)為向量在基下的坐標(biāo)，記作．設(shè)與是維向量空間的兩組基，則后一組基可用前一組基唯一表示，即上式稱(chēng)為兩組基之間的變換公式，矩陣形式為，其中矩陣稱(chēng)為由基到的過(guò)渡矩陣．設(shè)向量在上述兩組基下的坐標(biāo)分別為和，則，即，因此?【學(xué)生】記憶和理解定義內(nèi)容?【教師】講解例題例13設(shè)中的基本單位向量組為，且設(shè)，，其中．求基Ⅰ：到基Ⅱ：的過(guò)渡矩陣和坐標(biāo)變換公式．【學(xué)生】交流，理解，演算，對(duì)比教師的解析過(guò)程，查找自己的錯(cuò)誤點(diǎn)了解向量空間的定義根據(jù)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)理解向量空間的定義做練習(xí)題，加強(qiáng)知識(shí)的鞏固和消化強(qiáng)化訓(xùn)練（10min）變式訓(xùn)練（5min）【教師】通過(guò)課堂例題進(jìn)行變式訓(xùn)練判斷集合是否為向量空間．【學(xué)生】黑板板演【教師】巡視糾錯(cuò)使用講練結(jié)合的方式，充分了解學(xué)情課堂達(dá)標(biāo)（5min）【教師】布置練習(xí)題設(shè)，，證明是的一個(gè)基，并求在這個(gè)基下的坐標(biāo)．【學(xué)生】練習(xí)課堂小結(jié)（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了向量空間的概念，學(xué)會(huì)向量在基下的坐標(biāo)的求法。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固課上所學(xué)知識(shí)，為后面的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。按時(shí)預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固向量空間相關(guān)知識(shí)的印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)完成習(xí)題8.3的第5題【學(xué)生】完成課后任務(wù)通過(guò)課后作業(yè)復(fù)習(xí)鞏固學(xué)到的知識(shí)教學(xué)反思從教材處理方面：綜合教材本節(jié)課提出邊講知識(shí)點(diǎn)邊訓(xùn)練